Bài 20. Tỉ lệ thức TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ Chương này giới thiệu khái niệm và các tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, đại lượng t

1. TỈ LỆ THỨC Nhận biết tỉ lệ thức HD1 Lá quốc kì cắm trên đỉnh cột cờ Lũng Cú, Tuyên Quang có chiều rộng 6 m, chiều dài 9 m. Lá quốc kì bố Linh treo tại nhà mỗ

Vận dụng 1
Mặt sân cỏ trong sân vận động Quốc gia Mỹ Đình có dạng hình chữ nhật có chiều dài 105 m và chiều rộng 68 m. Nam vẽ mô phỏng mặt sân cỏ này bằng một hình chữ nhật có chiều dài 21 cm và chiều rộng 13,6 cm. Hỏi Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế hay chưa?
Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình
2 TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC
Tính chất của tỉ lệ thức
HD2 Quay trở lại tỉ lệ thức tìm được ở HD1: $\dfrac{6}{9}=\dfrac{0{,}8}{1{,}2}$, em hãy tính các tích chéo $6 \cdot 1{,}2$ và $9 \cdot 0{,}8$ rồi so sánh kết quả.
Các tích $6 \cdot 1{,}2$ và $9 \cdot 0{,}8$ là các tích chéo.
HD3 Từ đẳng thức $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, ta có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?
Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ thì $ad=bc$.
Nếu $ad=bc$ (với $a,,b,,c,,d \neq 0$) thì ta có các tỉ lệ thức:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}; \quad \frac{a}{c}=\frac{b}{d}; \quad \frac{d}{b}=\frac{c}{a}; \quad \frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$$
Chẳng hạn, chia cả hai vế của đẳng thức $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ cho tích $6 \cdot 3$ ta được tỉ lệ thức $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$.
Chẳng hạn, từ đẳng thức $2 \cdot 45 = 6 \cdot 15$ (cùng bằng 90) ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau:
$$\frac{2}{6}=\frac{15}{45}; \quad \frac{2}{15}=\frac{6}{45}; \quad \frac{45}{6}=\frac{15}{2}; \quad \frac{45}{15}=\frac{6}{2}.$$
Luyện tập 2 Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $0{,}2 \cdot 4{,}5 = 0{,}6 \cdot 1{,}5$.
Nhận xét. Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ ($a,,b,,c,,d \neq 0$) suy ra
$$a=\frac{bc}{d}; \quad b=\frac{ad}{c}; \quad c=\frac{ad}{b}; \quad d=\frac{bc}{a}.$$
Ví dụ 2
Phương cùng các bạn dự định làm các lá quốc kì Việt Nam bằng giấy đảm bảo tỉ lệ quy định, chiều rộng 14 cm để tham gia Hội khoẻ Phù Đổng. Tính chiều dài của lá cờ.
Điểm chung về kích thước giữa các lá quốc kì Việt Nam chính là: tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của chúng luôn không đổi và bằng 2 : 3.

$Giải Gọi $x$ (cm) là chiều dài của lá cờ Phương và các bạn dự định làm. Ta có tỉ lệ thức $\dfrac{14}{x}=\dfrac{2}{3}$. Suy ra $x=\dfrac{14\cdot 3}{2}=21$ (cm).$

Giải
Gọi $x$ (cm) là chiều dài của lá cờ Phương và các bạn dự định làm.
Ta có tỉ lệ thức $\dfrac{14}{x}=\dfrac{2}{3}$. Suy ra $x=\dfrac{14\cdot 3}{2}=21$ (cm).
Vậy chiều dài của lá cờ là 21 cm.
VẬN DỤNG 2
Để gói 10 chiếc bánh chưng, bà Nam cần 5 kg gạo nếp. Nếu bà muốn gói 45 chiếc bánh chưng cùng loại gửi cho người dân vùng lũ thì bà cần bao nhiêu kilôgam gạo nếp?
BÀI TẬP
6.1. Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a) $\dfrac{10}{16}:\dfrac{4}{21}$;
b) $1{,}3:2{,}75$;
c) $\dfrac{-2}{5}:0{,}25$.
6.2. Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
$12:30;\quad \dfrac{3}{7}:\dfrac{18}{24};\quad 2{,}5:6{,}25.$
6.3. Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
a) $\dfrac{x}{6}=\dfrac{-3}{4}$;
b) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{15}{-20}$.
6.4. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $14\cdot(-15)=(-10)\cdot 21$.
6.5. Để pha nước muối sinh lí, người ta cần pha theo đúng tỉ lệ. Biết rằng cứ 3 lít nước tinh khiết thì pha với 27 g muối. Hỏi nếu có 45 g muối thì cần pha với bao nhiêu lít nước tinh khiết để được nước muối sinh lí?
6.6. Để cày hết một cánh đồng trong 14 ngày phải sử dụng 18 máy cày. Hỏi muốn cày hết cánh đồng đó trong 12 ngày thì phải sử dụng bao nhiêu máy cày (biết năng suất của các máy cày là như nhau)?
EM CÓ BIẾT?
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta thấy từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ có thể đổi chỗ các thành phần $a$ với $d$, $b$ với $c$ cho nhau để tạo ra các tỉ lệ thức mới.
Đổi chỗ $a$ với $d$
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \longrightarrow \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$
Đổi chỗ $b$ với $c$
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \longrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$
Đổi chỗ cả $a$ với $d$ và $b$ với $c$
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \longrightarrow \frac{d}{c}=\frac{b}{a}$$

Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng
Dãy tỉ số bằng nhau, - Nhận biết dãy tỉ số bằng nhau.
- Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong giải toán.
Để xây dựng một số phòng học cho một ngôi trường ở bản vùng khó khăn, người ta cần số tiền là 450 triệu đồng. Ba nhà từ thiện đã đóng góp số tiền đó theo tỉ lệ 3 : 5 : 7. Hỏi mỗi nhà từ thiện đã đóng góp bao nhiêu tiền?
Bài toán xây dựng phòng học cho trường ở bản vùng khó khăn.
Bài học này sẽ giúp em tìm được đáp số của bài toán trên.
Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau
HD1 Cho tỉ lệ thức $\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{9}$. Tính các tỉ số $\dfrac{2+6}{3+9}$ và $\dfrac{2-6}{3-9}$.
HD2 So sánh hai tỉ số nhận được ở HD1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.
Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ suy ra $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$.
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
Ví dụ 1
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{11}$ và $x+y=32$.
Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{x+y}{5+11}=\dfrac{x+y}{16}=\dfrac{32}{16}=2$.
Từ đây tính được $x=2\cdot 5=10$ và $y=2\cdot 11=22$.
Luyện tập
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\dfrac{x}{11}=\dfrac{y}{17}$ và $x-y=12$.
Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau
Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau.
Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:
Từ dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$ suy ra $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a-c+e}{b-d+f}$.
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$, ta còn nói các số $a$, $c$, $e$ tỉ lệ với các số $b$, $d$, $f$.
Khi đó ta cũng viết $a:c:e=b:d:f$.

Ví dụ 2 Em hãy giải bài toán mở đầu. Giải Gọi số tiền đóng góp của ba nhà từ thiện lần lượt là $x$, $y$, $z$ (triệu đồng). Ta có $x + y + z = 450$. Theo đề bài,

$Luyện tập chung Ví dụ 1 Lập các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số: 15; 18; 20; 24. Giải. Từ bốn số đã cho ta lập được đẳng thức: $15 \cdot 24 = 18 \cdot 20$ (vì$

Luyện tập chung
Ví dụ 1 Lập các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số: 15; 18; 20; 24.
Giải. Từ bốn số đã cho ta lập được đẳng thức: $15 \cdot 24 = 18 \cdot 20$ (vì đều bằng 360).
Từ đẳng thức này ta lập được bốn tỉ lệ thức sau: $\dfrac{15}{18} = \dfrac{20}{24};\ \dfrac{15}{20} = \dfrac{18}{24};\ \dfrac{24}{18} = \dfrac{20}{15};\ \dfrac{24}{20} = \dfrac{18}{15}$.
Ví dụ 2 Tìm $x$ và $y$ sao cho $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}$ và $x + y = 15$.
Giải. Từ $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}$ suy ra $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}$.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x+y}{3+2} = \dfrac{15}{5} = 3$.
Suy ra $x = 3 \cdot 3 = 9$ và $y = 3 \cdot 2 = 6$.
Ví dụ 3 Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết độ dài các cạnh của nó tỉ lệ với 2; 3; 4 và cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất 6 cm.
Giải. Gọi $x$, $y$, $z$ (cm) lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác (theo thứ tự từ nhỏ đến lớn). Theo đề bài, ta có $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ và $z - x = 6$.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{z-x}{4-2} = \frac{6}{2} = 3.$$
Suy ra $x = 3 \cdot 2 = 6$, $y = 3 \cdot 3 = 9$ và $z = 3 \cdot 4 = 12$.
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 6 cm, 9 cm và 12 cm.
Tam giác với ba cạnh x, y, z.
BÀI TẬP
6.11. Lập các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $3x = 4y$ ($x, y \neq 0$).
6.12. Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số: 5; 10; 25; 50.
6.13. Tìm $x$ và $y$, biết:
a) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{3}$ và $x + y = 16$;
b) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{4}$ và $x - y = -15$.
6.14. Tỉ số của số học sinh của hai lớp 7A và 7B là $0{,}95$. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh, biết số học sinh của một lớp nhiều hơn lớp kia là 2 em?
6.15. Người ta định làm một con đường trong 15 ngày. Một đội công nhân 45 người làm trong 10 ngày mới được một nửa công việc. Hỏi phải bổ sung thêm bao nhiêu người nữa để có thể hoàn thành công việc đúng hạn (biết năng suất lao động của mỗi người như nhau)?
6.16. Tìm ba số $x$, $y$, $z$, biết rằng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ và $x + 2y - 3z = -12$.

Bài 22. Đại lượng tỉ lệ thuận Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng - Đại lượng tỉ lệ thuận, - Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận. - Hệ số tỉ lệ, - Giải một

Ví dụ 1
Biết rằng $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận và $x = 2$ khi $y = -4$.
a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = ax$. Từ đó viết công thức tính $y$ theo $x$;
b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 3$;
c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 0{,}8$.
Giải
a) Ta có $a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-4}{2} = -2$. Do đó $y = -2x$.
b) Khi $x = 3$ thì $y = -2 \cdot 3 = -6$.
c) Từ $y = -2x$ suy ra $x = -\dfrac{1}{2},y$. Do đó khi $y = 0{,}8$ thì $x = -\dfrac{1}{2} \cdot 0{,}8 = -0{,}4$.
Ví dụ 2
Cho $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 5$.
a) Thay mỗi dấu "?" trong bảng bên bằng số thích hợp.
b) Tính $\dfrac{y_1}{x_1}$, $\dfrac{y_2}{x_2}$, $\dfrac{y_3}{x_3}$ và so sánh với hệ số tỉ lệ $a$.
$x$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$
$y$, $y_1 = \text{?}$, $y_2 = \text{?}$, $y_3 = \text{?}$
Giải
a) Theo đề bài, $y = 5x$. Do đó ta có bảng bên.
b) Ta có $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{10}{2} = 5$, $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{15}{3} = 5$, $\dfrac{y_3}{x_3} = \dfrac{20}{4} = 5$.
Vậy $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = 5 = a$.
$x$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$
$y$, $y_1 = 10$, $y_2 = 15$, $y_3 = 20$
Nhận xét. Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ thì:
Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
$$\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = \ldots = a.$$
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
$$\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2},\ \dfrac{y_1}{y_3} = \dfrac{x_1}{x_3},\ \dfrac{y_2}{y_3} = \dfrac{x_2}{x_3}, \ldots$$
Luyện tập 1
Theo Viện Dinh dưỡng Quốc gia, cứ trong 100 g đậu tương (đậu nành) thì có 34 g protein. Khối lượng protein trong đậu tương có tỉ lệ thuận với khối lượng đậu tương không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Vận dụng
Em hãy giải bài toán mở đầu.

2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Trong mục này ta sẽ vận dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận để giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận.
Giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, ta cần nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.
Ví dụ 3
Một công ty may quần áo bảo hộ lao động có hai xưởng may, xưởng thứ nhất có 25 công nhân, xưởng thứ hai có 30 công nhân. Mỗi ngày xưởng thứ hai may được nhiều hơn xưởng thứ nhất 20 bộ quần áo. Hỏi trong một ngày, mỗi xưởng may được bao nhiêu bộ quần áo (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?
Giải
Gọi số bộ quần áo may được trong một ngày của xưởng thứ nhất và xưởng thứ hai lần lượt là $x$, $y$ (bộ).
Ta có $y - x = 20$.
Vì năng suất của mỗi công nhân là như nhau nên số bộ quần áo may được tỉ lệ thuận với số công nhân. Do đó ta có: $\dfrac{x}{25} = \dfrac{y}{30}$.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\dfrac{x}{25} = \dfrac{y}{30} = \dfrac{y - x}{30 - 25} = \dfrac{20}{5} = 4$.
Suy ra: $x = 4 \cdot 25 = 100$ và $y = 4 \cdot 30 = 120$.
Vậy mỗi ngày xưởng thứ nhất may được 100 bộ quần áo và xưởng thứ hai may được 120 bộ quần áo.
Luyện tập 2
Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích tương ứng là 10 cm$^3$ và 15 cm$^3$. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng một thanh nặng hơn thanh kia 40 g?
Khối lượng của một vật đồng chất tỉ lệ thuận với thể tích của nó.
Ví dụ 4
Trong một đợt tặng đồ dùng học tập cho học sinh vùng cao, có 635 quyển vở được chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với số học sinh của mỗi lớp. Hỏi mỗi lớp được tặng bao nhiêu quyển vở, biết sĩ số của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 40; 42 và 45 học sinh?
Giải
Gọi $x$, $y$, $z$ (quyển) lần lượt là số vở ba lớp 7A, 7B, 7C được tặng.
Theo đề bài, ta có $x + y + z = 635$ và $\dfrac{x}{40} = \dfrac{y}{42} = \dfrac{z}{45}$.

$Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có $$\frac{x}{40} = \frac{y}{42} = \frac{z}{45} = \frac{x + y + z}{40 + 42 + 45} = \frac{635}{127} = 5.$$ Suy ra $x =$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
$$\frac{x}{40} = \frac{y}{42} = \frac{z}{45} = \frac{x + y + z}{40 + 42 + 45} = \frac{635}{127} = 5.$$
Suy ra $x = 5 \cdot 40 = 200$, $y = 5 \cdot 42 = 210$, $z = 5 \cdot 45 = 225$.
Vậy số vở mà ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt là 200 quyển, 210 quyển và 225 quyển.
Chú ý. Bài toán trên còn có thể phát biểu đơn giản thành: Chia số 635 thành ba phần tỉ lệ thuận với 40; 42; 45.
LUYỆN TẬP 3 Hãy chia 1 tấn gạo thành ba phần có khối lượng tỉ lệ thuận với 2; 3; 5.
BÀI TẬP
6.17. Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.
$x$, 2, 4, 5, ?, ?, ?
$y$, $-6$, ?, ?, 9, 18, 1,5
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng $x$ và $y$.
6.18. Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?
a)
$x$, 5, 9, 15, 24
$y$, 15, 27, 45, 72
b)
$x$, 4, 8, 16, 25
$y$, 8, 16, 30, 50
6.19. Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ có tỉ lệ thuận với $z$ không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
6.20. Hai bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tương ứng bằng nhau, nhưng chiều cao của bể thứ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ chiều cao của bể thứ hai. Để bơm đầy nước vào bể thứ nhất mất 4,5 giờ. Hỏi phải mất bao nhiêu thời gian để bơm đầy nước vào bể thứ hai (nếu dùng máy bơm có cùng công suất)?
6.21. Để chuẩn bị cho học sinh làm thí nghiệm, cô Hương chia 1,5 lít hoá chất thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 và đựng trong ba chiếc lọ. Hỏi mỗi chiếc lọ đựng bao nhiêu lít hoá chất đó?

Bài 23. Đại lượng tỉ lệ nghịch Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng - Đại lượng tỉ lệ nghịch, - Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch. - Hệ số tỉ lệ, - Giải

$Ví dụ 1 Biết rằng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x = 2$ thì $y = -4$. a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = \dfrac{a}{x}$. Từ đó viết công thức$

Ví dụ 1 Biết rằng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x = 2$ thì $y = -4$.
a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = \dfrac{a}{x}$. Từ đó viết công thức tính $y$ theo $x$.
b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 4$.
c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 0{,}5$.
Giải
a) Ta có $a = xy = 2 \cdot (-4) = -8$. Do đó $y = \dfrac{-8}{x}$.
b) Khi $x = 4$ ta có $y = \dfrac{-8}{4} = -2$.
c) Từ $y = \dfrac{-8}{x}$ suy ra $x = \dfrac{-8}{y}$. Do đó khi $y = 0{,}5$ ta có $x = \dfrac{-8}{0{,}5} = -16$.
Ví dụ 2 Cho $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 12$.
a) Thay mỗi dấu "?" trong bảng bên bằng số thích hợp.
b) Tính $x_1 y_1$, $x_2 y_2$, $x_3 y_3$ và so sánh với hệ số tỉ lệ $a$.
$x$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$
$y$, $y_1 = \text{?}$, $y_2 = \text{?}$, $y_3 = \text{?}$
Giải
a) Theo đề bài, ta có $y = \dfrac{12}{x}$. Do đó ta có bảng bên:
$x$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$
$y$, $y_1 = 6$, $y_2 = 4$, $y_3 = 3$
b) Ta có: $x_1 y_1 = 2 \cdot 6 = 12$, $x_2 y_2 = 3 \cdot 4 = 12$, $x_3 y_3 = 4 \cdot 3 = 12$.
Như vậy $x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = 12 = a$.
Nhận xét. Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau thì:
Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = \ldots = a \text{ hay } \frac{y_1}{\frac{1}{x_1}} = \frac{y_2}{\frac{1}{x_2}} = \frac{y_3}{\frac{1}{x_3}} = \ldots = a.$$
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
$$\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1};\ \frac{y_1}{y_3} = \frac{x_3}{x_1};\ \frac{y_2}{y_3} = \frac{x_3}{x_2};\ \ldots$$
LUYỆN TẬP
Luyện tập 1 Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm$^2$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
VẬN DỤNG
a) Một cửa hàng bán gạo cần đóng 300 kg gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.
Lượng gạo trong mỗi túi (kg), 5, 10, ?, ?
Số túi tương ứng, ?, ?, 15, 12
b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Trong mục này ta sẽ vận dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
Giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.
Ví dụ 3
Hãy giải bài toán mở đầu.
Giải
Gọi $x$ (ngày) là thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường.
Vì năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau nên số người thợ và thời gian để họ xây xong bức tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, ta có $\dfrac{x}{9}=\dfrac{4}{6}$.
Suy ra $x=\dfrac{4\cdot 9}{6}=6$ (ngày).
Vậy thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường là 6 ngày.
LUYỆN TẬP 2
Một nhà thầu ước tính rằng có thể hoàn thành một hợp đồng xây dựng trong 12 tháng với 280 công nhân. Nếu được yêu cầu phải hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng thì nhà thầu đó phải thuê bao nhiêu công nhân (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?
Ví dụ 4
Một người mua 65 quả trứng gà gồm ba loại: loại I giá 4 nghìn đồng một quả, loại II giá 3 nghìn đồng một quả và loại III giá 2 nghìn đồng một quả. Hỏi người đó mua bao nhiêu quả trứng mỗi loại, biết rằng số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau?
Giải
Gọi $x$, $y$, $z$ lần lượt là số quả trứng gà loại I, loại II và loại III. Ta có $x+y+z=65$.
Vì số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau nên
$$4x=3y=2z \text{ hay } \frac{x}{\dfrac{1}{4}}=\frac{y}{\dfrac{1}{3}}=\frac{z}{\dfrac{1}{2}}.$$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
$$\frac{x}{\dfrac{1}{4}}=\frac{y}{\dfrac{1}{3}}=\frac{z}{\dfrac{1}{2}}=\frac{x+y+z}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}=\frac{65}{\dfrac{13}{12}}=60.$$
Suy ra $x=\dfrac{1}{4}\cdot 60=15;\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 60=20;\quad z=\dfrac{1}{2}\cdot 60=30.$
Vậy số trứng gà loại I, loại II, loại III lần lượt là 15 quả; 20 quả và 30 quả.

$Chú ý. Trong thực hành, để tiện lợi từ dãy đẳng thức $4x = 3y = 2z$ ta thường chia $4x$; $3y$; $2z$ cho 12 (là BCNN của 4; 3; 2) để được dãy tỉ số bằng nhau $\d$

Chú ý. Trong thực hành, để tiện lợi từ dãy đẳng thức $4x = 3y = 2z$ ta thường chia $4x$; $3y$; $2z$ cho 12 (là BCNN của 4; 3; 2) để được dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}$. Sau đó giải tiếp tương tự như trên.
LUYỆN TẬP 3
Bạn An mua tổng cộng 34 quyển vở gồm ba loại: loại 120 trang giá 12 nghìn đồng một quyển, loại 200 trang giá 18 nghìn đồng một quyển và loại 240 trang giá 20 nghìn đồng một quyển. Hỏi An mua bao nhiêu quyển vở mỗi loại, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?
BÀI TẬP
6.22. Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.
$x$, 2, 4, 5, ?, ?, ?
$y$, $-6$, ?, ?, 3, 10, $0{,}5$
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng $x$ và $y$.
6.23. Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
a)
$x$, 3, 6, 16, 24
$y$, 160, 80, 30, 20
b)
$x$, 4, 8, 25, 32
$y$, 160, 80, 26, 20
6.24. Cho biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với $z$ và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?
6.25. Với cùng số tiền để mua 17 tập giấy A4 loại I có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại II, biết rằng giá tiền giấy loại II chỉ bằng 85% giá tiền giấy loại I?
6.26. Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy và năng suất của các máy như nhau?

Luyện tập chung Ví dụ 1 Cho biết $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ 2, $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ 3. Hỏi $x$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch v

BÀI TẬP
6.27. Các giá trị của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho bởi bảng sau đây:
$x$, $0{,}5$, $1$, $1{,}5$, $2$, $2{,}5$
$y$, $2{,}5$, $5$, $7{,}5$, $10$, $12{,}5$
Hỏi hai đại lượng $x$ và $y$ có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa $x$ và $y$.
6.28. Cho ba đại lượng $x$, $y$, $z$. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $z$, biết rằng:
a) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ thuận;
b) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch;
c) $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch.
6.29. Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ $6 : 4$. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất $150$ kg đồng thau.
6.30. Với thời gian để một thợ lành nghề làm được $12$ sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được $8$ sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong $48$ giờ?
6.31. Học sinh khối lớp $7$ đã quyên góp được một số sách nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D tương ứng là $38$; $39$; $40$ và $40$ em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là $4$ quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?
6.32. Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8, tổng cộng $121$ cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 lần lượt là $40$ nghìn đồng, $45$ nghìn đồng và $50$ nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?

$Bài tập cuối chương VI 6.33. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số sau: 0,2; 0,3; 0,8; 1,2. 6.34. Tìm thành phần chưa biết $x$ trong tỉ lệ thức: $\dfr$

Bài 24. Biểu thức đại số BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐẠI SỐ Biểu thức $(x + 1)(x + 2)(x + 3) - x^3$ có ý nghĩa gì? Chương này sẽ đưa các em vào ngưỡng

Biểu thức đại số
Ta đã biết những số và chữ được nối với nhau bởi dấu của các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) làm thành một biểu thức. Người ta thường phân biệt biểu thức số và biểu thức chứa chữ.
Từ "đại" trong "đại số" không phải là "to lớn" mà có nghĩa là "đại diện" hay "thay thế cho".
HĐ1 Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số, biểu thức chứa chữ.
a) $23 + 8 \cdot 9$; $\qquad$ b) $3a + 7$;
c) $(3^4 - 5) : 8$; $\qquad$ d) $\left(\dfrac{3}{x} - y^2\right) + 2$.
HĐ2 Hãy viết biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật có chiều rộng là $x$ (cm) và chiều dài hơn chiều rộng 3 cm.
Biểu thức không chứa chữ gọi là biểu thức số. Biểu thức chỉ chứa số hoặc chỉ chứa chữ hoặc chứa cả số và chữ gọi chung là biểu thức đại số.
Trong một biểu thức đại số, các chữ (nếu có) dùng để thay thế hay đại diện cho những số nào đó được gọi là các biến số (gọi tắt là các biến).
Chú ý
Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số, ta không viết dấu nhân giữa các biến, cũng như giữa biến và số. Chẳng hạn, $a \cdot b$ và $2 \cdot a$ tương ứng có thể viết là $ab$ và $2a$.
Thông thường ta không viết thừa số 1 trong một tích. Chẳng hạn, $1xy$ viết là $xy$; $(-1)ab$ viết là $-ab$.
Với các biến, ta cũng có thể áp dụng các quy tắc và tính chất của các phép tính như đối với các số. Chẳng hạn:
Một biểu thức đại số có thể chứa nhiều biến khác nhau.
$$x + x = 2x;\ x \cdot x \cdot x = x^3;\ x + y = y + x;$$
$$x(y + z) = xy + xz;\ -(x + y - z) = -x - y + z;\ \ldots$$
Luyện tập
Hãy chỉ ra các biến của mỗi biểu thức đại số sau:
a) $3x^2 - 1$; $\qquad$ b) $3a + b$.
Giá trị của biểu thức đại số
Nếu thay $p = 5$ và $q = 7$ vào biểu thức $A = 3p - q$ rồi thực hiện phép tính, ta được:
$$A = 3 \cdot 5 - 7 = 8.$$
Khi đó, ta nói: 8 là giá trị của biểu thức $A$ tại $p = 5$ và $q = 7$ hay khi $p = 5$ và $q = 7$ thì giá trị của biểu thức $A$ là 8.

Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ
Bác Hoà mua một túi rau và một số cam. Biết rằng mỗi kilôgam cam có giá 40 nghìn đồng và mỗi túi rau có giá 15 nghìn đồng.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoà phải trả nếu số cam bác Hoà mua là $x$ kilôgam.
b) Giả sử số cam bác Hoà mua là 2,5 kilôgam. Sử dụng kết quả câu a, em hãy tính xem bác Hoà phải trả tất cả bao nhiêu tiền.
Giải
a) Số tiền bác Hoà phải trả cho $x$ kilôgam cam là $40x$ (nghìn đồng). Tiền rau là 15 nghìn đồng. Vậy biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoà phải trả là:
$40x + 15$ (nghìn đồng).
b) Thay $x = 2,5$ vào biểu thức $40x + 15$, ta được:
$40 \cdot 2,5 + 15 = 115$ (nghìn đồng).
Vậy bác Hoà phải trả tất cả 115 nghìn đồng.
Vận dụng
Một người đi ô tô với vận tốc 40 km/h trong $x$ giờ, sau đó tiếp tục đi bộ với vận tốc 5 km/h trong $y$ giờ.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng quãng đường người đó đi được.
b) Tính giá trị của biểu thức trong câu a khi $x = 2,5$ (giờ) và $y = 0,5$ (giờ).
BÀI TẬP
7.1. Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Nửa tổng của $x$ và $y$;
b) Tổng của $x$ và $y$ nhân với tích của $x$ và $y$.
7.2. Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích của hình thang có hai đáy là $a$ và $b$, chiều cao là $h$ ($a$, $b$ và $h$ có cùng đơn vị đo).
7.3. Tính giá trị của biểu thức:
a) $4x + 3$ tại $x = 5,8$;
b) $y^2 - 2y + 1$ tại $y = 2$;
c) $(2m + n)(m - n)$ tại $m = 5,4$ và $n = 3,2$.
7.4. Một bác nông dân sử dụng hai chiếc máy bơm để tưới nước cho vườn cây. Máy bơm thứ nhất mỗi giờ bơm được 5 m³ nước. Máy bơm thứ hai mỗi giờ bơm được 3,5 m³ nước.
a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước bơm được của hai máy, nếu máy bơm thứ nhất chạy trong $x$ giờ và máy bơm thứ hai chạy trong $y$ giờ.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính lượng nước bơm được của cả hai máy khi $x = 2$ (giờ), $y = 3$ (giờ).

Bài 25. Đa thức một biến
Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng
• Đơn thức (một biến) • Đa thức (một biến) • Bậc của một đa thức • Hệ số cao nhất • Hệ số tự do • Nghiệm của đa thức, • Nhận biết đơn thức (một biến) và bậc của đơn thức. • Nhận biết đa thức (một biến) và các hạng tử của nó. • Thu gọn và sắp xếp đa thức. • Nhận biết bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một đa thức. • Tính giá trị của một đa thức khi biết giá trị của biến. • Nhận biết nghiệm của một đa thức.
Bài toán: Độ cao $H$ (mét) của một vật (so với mặt đất) khi được ném lên từ một điểm trên mặt đất được biểu thị bởi biểu thức $H=-5x^2+15x$, trong đó $x$ (giây) là thời gian tính từ thời điểm ném vật. Hỏi sau bao lâu kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?
Dễ thấy biểu thức $H$ có vai trò quan trọng trong bài toán trên.
Trong bài này chúng ta sẽ bước đầu tìm hiểu về các biểu thức tương tự như biểu thức $H$, đó là các đa thức một biến.
1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN
Chúng ta bắt đầu bằng những biểu thức đơn giản nhất, đó là các đơn thức một biến. Biến có thể là một chữ cái tuỳ ý. Nhưng để dễ nhận biết, ta chỉ xét các biểu thức với biến $x$.
Sơ lược về đơn thức một biến
Các biểu thức như $-0,5x$; $3x^2$; $-\dfrac{3}{4}x^5$ là những ví dụ về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một luỹ thừa của $x$.
Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức. Chẳng hạn:
• Biểu thức $4x^3$ là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của $x$ là bậc của đơn thức đó.
• Đơn thức $-0,5x$ có hệ số là $-0,5$ và có bậc là 1 (vì $x=x^1$).
• Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.
Chú ý. Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.
Số 2 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi rằng $2=2x^0$.
Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:
a) $2x^6$; b) $-\dfrac{1}{5}x^2$; c) $-8$; d) $32x$.

Với các đơn thức một biến, ta có thể:
Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn:
$$-3x^4 + x^4 = (-3 + 1)x^4 = -2x^4;$$
$$3{,}7x^2 - 1{,}2x^2 = (3{,}7 - 1{,}2)x^2 = 2{,}5x^2.$$
Nhân hai đơn thức tuỳ ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn:
$$(0{,}5x) \cdot (6x^2) = (0{,}5 \cdot 6) \cdot (x \cdot x^2) = 3x^3;$$
$$\left(-6x^3\right) \cdot \left(\frac{2}{3}x^2\right) = \left[(-6) \cdot \frac{2}{3}\right](x^3 \cdot x^2) = -4x^5.$$
❓ Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?
LUYỆN TẬP 1
Tính: a) $5x^3 + x^3$; b) $\dfrac{7}{4}x^5 - \dfrac{3}{4}x^5$; c) $(-0{,}25x^2) \cdot (8x^3)$.
2 KHÁI NIỆM ĐA THỨC MỘT BIẾN
Đa thức một biến là gì?
Các biểu thức $A = 6x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 7$ và $B = 2x^4 - 3x^2 + x + 1$ có chung một đặc điểm: chúng đều là tổng của những đơn thức với biến x. Đó là những ví dụ về đa thức một biến. Một cách tổng quát:
Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
Chú ý. Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn. Chẳng hạn:
$$A = A(x) = 6x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 7.$$
Một đơn thức cũng là một đa thức.
❓ Mỗi số thực có phải là một đa thức không? Tại sao?
Ví dụ 1
Đa thức $2x^3 - 5x^2 + 7$ có ba hạng tử là $2x^3$; $-5x^2$ và $7$.
LUYỆN TẬP 2
Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức $B = 2x^4 - 3x^2 + x + 1$.

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN
Đa thức thu gọn
Xét hai đa thức $A = 6x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 7$ và $B = 2x^4 - 3x^2 + x + 1$, ta thấy:
Trong đa thức $A$ có hai đơn thức cùng bậc là $6x^3$ và $-4x^3$.
Trong đa thức $B$ không có hai đơn thức nào cùng bậc.
Ta gọi các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.
Ví dụ 2 dưới đây sẽ cho thấy: nếu cho một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.
Ví dụ 2
Thu gọn đa thức $A = 6x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 7$.
Giải
$A = 6x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 7 = 6x^3 - 4x^3 - 5x^2 + 7$ $\quad$← Đổi chỗ hai đơn thức
$\phantom{A} = (6x^3 - 4x^3) - 5x^2 + 7$ $\quad$← Nhóm hai đơn thức bậc 3
$\phantom{A} = (6 - 4)x^3 - 5x^2 + 7$ $\quad$← Cộng hai đơn thức cùng bậc
$\phantom{A} = 2x^3 - 5x^2 + 7$.
Kết quả, ta được đa thức thu gọn $2x^3 - 5x^2 + 7$.
Luyện tập 3
Thu gọn đa thức $P = 2x^3 - 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$.
4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN
Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm của biến
Dưới đây, ta chỉ xét các đa thức khác đa thức không.
Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến. Chẳng hạn, sắp xếp các hạng tử của đa thức $P = 5x^2 - 2x + 1 - 3x^4$ theo luỹ thừa giảm của biến, ta được $P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$.
Trong đa thức $P$ ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta cũng có thể viết:
$$P = -3x^4 + 0x^3 + 5x^2 - 2x + 1.$$
Ở đây, ta coi rằng hệ số của luỹ thừa bậc 3 là 0.
Luyện tập 4
Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo luỹ thừa giảm của biến:
a) $A = 3x - 4x^4 + x^3$;
b) $B = -2x^3 - 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 - 5$;
c) $C = x^5 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{3}{4}x - x^5 + 6x^2 - 2$.
Chú ý. Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo luỹ thừa tăng của biến. Chẳng hạn, ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức $P$ trên đây như sau: $P = 1 - 2x + 5x^2 - 3x^4$.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức
Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức
Xét đa thức $P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức $P$ và trả lời các câu hỏi sau:
HĐ1 Trong đa thức $P$, bậc của hạng tử $5x^2$ là 2 (số mũ của $x^2$). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong $P$.
HĐ2 Trong đa thức $P$, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.
HĐ3 Trong đa thức $P$, hạng tử nào có bậc bằng 0?
Hạng tử có bậc cao nhất và hạng tử bậc 0 có vai trò đặc biệt trong một đa thức. Ta có định nghĩa:
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:
Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.
Chú ý
Đa thức không là đa thức không có bậc.
Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).
Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.
Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng bao nhiêu?
Ví dụ 3
Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $P = -x^3 - 2x^2 + x^3 + 4x + 5$.
Giải
Trước hết ta thu gọn $P$:
$$\begin{aligned} P &= -x^3 - 2x^2 + x^3 + 4x + 5 \ &= (-x^3 + x^3) - 2x^2 + 4x + 5 \ &= -2x^2 + 4x + 5. \end{aligned}$$
Trong dạng thu gọn của $P$, hạng tử có bậc cao nhất là $-2x^2$ nên bậc của $P$ là 2, hệ số cao nhất là $-2$; hạng tử bậc 0 là 5 nên hệ số tự do là 5.
Gọi 5 là hệ số tự do vì trong $P$, hạng tử 5 không chứa biến.
Luyện tập 5
Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:
a) $5x^2 - 2x + 1 - 3x^4$;
b) $1{,}5x^2 - 3{,}4x^4 + 0{,}5x^2 - 1$.

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Giá trị và nghiệm của một đa thức Xét đa thức $G(x)=x^2-4$. Giá trị của biểu thức $G(x)$ tại $x=3$ còn gọi là giá trị của đa thức

$BÀI TẬP 7.5. a) Tính $\left(\dfrac{1}{2}x^3\right)\cdot(-4x^2)$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được. b) Tính $\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{5}{2}x^3$. Tìm hệ số$

BÀI TẬP
7.5. a) Tính $\left(\dfrac{1}{2}x^3\right)\cdot(-4x^2)$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
b) Tính $\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{5}{2}x^3$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
7.6. Cho hai đa thức:
$A(x) = x^3 + \dfrac{3}{2}x - 7x^4 + \dfrac{1}{2}x - 4x^2 + 9$ và $B(x) = x^5 - 3x^2 + 8x^4 - 5x^2 - x^5 + x - 7$.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.
7.7. Cho hai đa thức:
$P(x) = 5x^3 + 2x^4 - x^2 + 3x^2 - x^3 - 2x^4 - 4x^3$ và $Q(x) = 3x - 4x^3 + 8x^2 - 5x + 4x^3 + 5$.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Sử dụng kết quả câu a để tính $P(1)$, $P(0)$, $Q(-1)$ và $Q(0)$.
7.8. Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được $22\text{ m}^3$ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được $16\text{ m}^3$ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong $x$ giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm $0{,}5$ giờ nữa thì bể nước đầy.
Hãy viết đa thức (biến $x$) biểu thị dung tích của bể ($\text{m}^3$), biết rằng trước khi bơm, trong bể có $1{,}5\text{ m}^3$ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
7.9. Viết đa thức $F(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
Bậc của $F(x)$ bằng 3.
Hệ số của $x^2$ bằng hệ số của $x$ và bằng 2.
Hệ số cao nhất của $F(x)$ bằng $-6$ và hệ số tự do bằng 3.
7.10. Kiểm tra xem:
a) $x = -\dfrac{1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x) = 4x + \dfrac{1}{2}$ không?
b) Trong ba số $1$; $-1$ và $2$, số nào là nghiệm của đa thức $Q(x) = x^2 + x - 2$?
7.11. Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá $x$ (nghìn đồng).
a) Hãy tìm đa thức (biến $x$) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.
b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?
EM CÓ BIẾT
Mỗi đa thức bậc nhất với biến $x$ đều có thể viết dưới dạng
$ax + b$ ($a$, $b$ là các số cho trước và $a \neq 0$).
Do đó ta còn gọi đa thức bậc nhất là nhị thức bậc nhất (gọi là nhị thức vì đa thức này có hai hạng tử).
Mỗi đa thức bậc hai với biến $x$ đều có thể viết dưới dạng
$ax^2 + bx + c$ ($a$, $b$ và $c$ là các số cho trước và $a \neq 0$).
Do đó ta còn gọi đa thức bậc hai là tam thức bậc hai (gọi là tam thức vì đa thức này có ba hạng tử).

Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng Tổng, hiệu của hai đa thức, • Thực hiện các phép tính cộng, trừ hai đa t

$Cách 2. Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc đặt thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột: $$ \begin{array}{r} x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x \ +\quad -x^3 + 4x^$

Chú ý. Tương tự như các số, đối với các đa thức $P$, $Q$, $R$, ta cũng có: Nếu $Q + R = P$ thì $R = P - Q$. Nếu $R = P - Q$ thì $Q + R = P$. VẬN DỤNG 2 Cho đa t

Luyện tập chung
Ví dụ 1
Ba bạn Lan, Bình và Dung rủ nhau đến cửa hàng sách để mua sách cũ được bán đồng giá (nghĩa là các cuốn sách cũ trong cửa hàng đó đều được bán với cùng một giá). Lan mua 5 cuốn, Bình mua 3 cuốn, Dung mua 6 cuốn. Gọi $x$ (đồng) là giá bán một cuốn sách cũ.
a) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền cả ba bạn phải trả.
b) Nếu mỗi cuốn sách cũ đều có giá là 30 000 đồng thì tổng số tiền cả ba bạn phải trả là bao nhiêu?
Giải. a) Lan mua 5 cuốn sách nên phải trả $5x$ (đồng).
Bình mua 3 cuốn nên phải trả $3x$ (đồng).
Dung mua 6 cuốn nên phải trả $6x$ (đồng).
Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền cả ba bạn phải trả là:
$$T(x) = 5x + 3x + 6x = (5 + 3 + 6)x = 14x.$$
b) Nếu mỗi cuốn sách cũ có giá 30 000 đồng thì tổng số tiền cả ba bạn phải trả là giá trị của đa thức $T(x) = 14x$ tại $x = 30;000$. Giá trị đó là:
$$T(30;000) = 14 \cdot 30;000 = 420;000 \text{ (đồng)}.$$
Ví dụ 2
Cho hai đa thức $F = x^3 - x^2 - 3x - 5$ và $G = 3x^2 - 2x - 1$.
a) Gọi $H(x)$ là tổng của hai đa thức $F$ và $G$. Tìm $H(x)$.
b) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của $H(x)$.
c) Trong tập hợp ${-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}$, những số nào là nghiệm của $H(x)$?
Giải
a) Ta có: $H(x) = (x^3 - x^2 - 3x - 5) + (3x^2 - 2x - 1)$
$\quad\quad\quad\quad\quad = x^3 - x^2 - 3x - 5 + 3x^2 - 2x - 1$
$\quad\quad\quad\quad\quad = x^3 + (-x^2 + 3x^2) + (-3x - 2x) + (-5 - 1)$
$\quad\quad\quad\quad\quad = x^3 + 2x^2 - 5x - 6.$
b) Hệ số cao nhất của $H(x)$ là $1$; hệ số tự do của $H(x)$ là $-6$.
c) Để tính giá trị của $H(x)$ tại các giá trị đã cho của $x$ ta lập bảng sau:
$x$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$
$x^3$, $-27$, $-8$, $-1$, $0$, $1$, $8$, $27$
$2x^2$, $18$, $8$, $2$, $0$, $2$, $8$, $18$
$-5x$, $15$, $10$, $5$, $0$, $-5$, $-10$, $-15$
$H(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, $0$, $4$, $0$, $-6$, $-8$, $0$, $24$
Trong đó, số ghi trong mỗi ô thuộc dòng cuối bằng tổng các số ở cùng cột và thuộc ba dòng không tô màu phía trên, cộng thêm $-6$.

$Dựa vào bảng trên ta được: [ H(-3)=0;\quad H(-2)=4;\quad H(-1)=0;\quad H(0)=-6; ] [ H(1)=-8;\quad H(2)=0;\quad H(3)=24. ] Từ đó suy ra (x=-3; x=-1) và (x=2) là$

Dựa vào bảng trên ta được:
[
H(-3)=0;\quad H(-2)=4;\quad H(-1)=0;\quad H(0)=-6;
]
[
H(1)=-8;\quad H(2)=0;\quad H(3)=24.
]
Từ đó suy ra (x=-3; x=-1) và (x=2) là ba nghiệm của đa thức (H(x)).
BÀI TẬP
7.18. Cho các đơn thức: (2x^6; -5x^3; -3x^5; x^3; \frac{3}{5}x^2; -\frac{1}{2}x^2; 8; -3x). Gọi (A) là tổng của các đơn thức đã cho.
a) Hãy thu gọn tổng (A) và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.
b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của (x^2) của đa thức thu được.
7.19. Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích thước theo tỉ lệ:
Chiều cao : chiều rộng : chiều dài (=1:2:3).
Trong bể hiện còn (0,7\ \text{m}^3) nước. Gọi chiều cao của bể là (x) (mét).
Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước. Xác định bậc của đa thức đó.
7.20. Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ C), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ F để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem (x\ ^\circ\text{C}) tương ứng với bao nhiêu độ F, ta dùng công thức:
[
T(x)=1{,}8x+32.
]
Chẳng hạn, (0\ ^\circ\text{C}) tương ứng với (T(0)=32\ ^\circ\text{F}).
a) Hỏi (0\ ^\circ\text{F}) tương ứng với bao nhiêu độ C?
b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là (35\ ^\circ\text{C}). Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ F?
c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mỹ) là (41\ ^\circ\text{F}). Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ C?
7.21. Cho hai đa thức (P=-5x^4+3x^3+7x^2+x-3) và (Q=5x^4-4x^3-x^2+3x+3).
a) Xác định bậc của mỗi đa thức (P+Q) và (P-Q).
b) Tính giá trị của mỗi đa thức (P+Q) và (P-Q) tại (x=1; x=-1).
c) Đa thức nào trong hai đa thức (P+Q) và (P-Q) có nghiệm là (x=0)?
7.22. Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội – Lào Cai) với vận tốc (60\ \text{km/h}). Sau đó 25 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc (85\ \text{km/h}). Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.
a) Gọi (D(x)) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và (K(x)) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được (x) giờ. Tìm (D(x)) và (K(x)).
b) Chứng tỏ rằng đa thức (f(x)=K(x)-D(x)) có nghiệm là (x=1). Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm (x=1) của đa thức (f(x)).

Bài 27. Phép nhân đa thức một biến Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng Tích của hai đa thức, • Thực hiện các phép tính nhân hai đa thức cùng biến. • Nhận b

$Vận dụng 1 a) Rút gọn biểu thức $P(x) = 7x^2(x^2 - 5x + 2) - 5x(x^3 - 7x^2 + 3x)$. b) Tính giá trị của biểu thức $P(x)$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$. Thử thách nhỏ R$

Vận dụng 1
a) Rút gọn biểu thức $P(x) = 7x^2(x^2 - 5x + 2) - 5x(x^3 - 7x^2 + 3x)$.
b) Tính giá trị của biểu thức $P(x)$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$.
Thử thách nhỏ
Rút gọn biểu thức $x^3(x + 2) - x(x^3 + 2^3) - 2x(x^2 - 2^2)$.
2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Nhân hai đa thức tuỳ ý
HD3 Tính $(2x - 3) \cdot (x^2 - 5x + 1)$ bằng cách thực hiện các bước sau:
Bước 1. Nhân $2x$ với đa thức $x^2 - 5x + 1$.
Bước 2. Nhân $-3$ với đa thức $x^2 - 5x + 1$.
Bước 3. Cộng các đa thức thu được ở hai bước trên và thu gọn.
Kết quả thu được là tích của đa thức $2x - 3$ với đa thức $x^2 - 5x + 1$.
Tổng quát, ta có quy tắc sau:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 2
Thực hiện phép nhân: $(x + 3) \cdot (2x^2 - 3x - 5)$.
Giải
$(x + 3) \cdot (2x^2 - 3x - 5) = x \cdot (2x^2 - 3x - 5) + 3 \cdot (2x^2 - 3x - 5)$
$= x \cdot 2x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot (-3x) + 3 \cdot (-5)$
$= 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6x^2 - 9x - 15$
$= 2x^3 - 3x^2 + 6x^2 - 5x - 9x - 15$ ← Đổi chỗ
$= 2x^3 - (3x^2 - 6x^2) - (5x + 9x) - 15$ ← Nhóm các hạng tử cùng bậc
$= 2x^3 + 3x^2 - 14x - 15$.
Chú ý
Ta có thể trình bày phép nhân trên bằng cách đặt tính nhân:
× 2x² − 3x − 5
x + 3
─────────────────
6x² − 9x − 15 ← Nhân 3 với 2x² − 3x − 5
+ 2x³ − 3x² − 5x ← Nhân x với 2x² − 3x − 5
─────────────────
2x³ + 3x² − 14x − 15
Khi trình bày theo cách này ta cần:
Nhân lần lượt mỗi hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên và viết kết quả trong một dòng riêng.
Viết các dòng sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau (để thực hiện phép cộng theo cột).
Khi nhân các hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên, bạn nên nhân các hạng tử theo thứ tự từ bậc thấp đến bậc cao.

$Phép nhân đa thức cũng có các tính chất: Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$. Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$. Phân phối đối với phép cộng:$

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất:
Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$.
Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$.
Phân phối đối với phép cộng: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$.
LUYỆN TẬP 2
Tính $(x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2)$. Trình bày lời giải theo hai cách.
VẬN DỤNG 2
Rút gọn biểu thức $(x - 2)(2x^3 - x^2 + 1) + (x - 2)x^2(1 - 2x)$.
VẬN DỤNG 3
Trở lại bài toán đoán tuổi, để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau:
Gọi $x$ là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến $x$) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai.
Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng.
Từ đó hãy nêu cách tìm $x$.
BÀI TẬP
7.23. Thực hiện các phép nhân sau:
a) $6x^2 \cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)$;
b) $(-1{,}2x^2) \cdot (2{,}5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1{,}5)$.
7.24. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)$;
b) $\dfrac{3}{2}x!\left(x^2 - \dfrac{2}{3}x + 2\right) - \dfrac{5}{3}x^2!\left(x + \dfrac{6}{5}\right)$.
7.25. Thực hiện các phép nhân sau:
a) $(x^2 - x) \cdot (2x^2 - x - 10)$;
b) $(0{,}2x^2 - 3x) \cdot 5(x^2 - 7x + 3)$.
7.26.
a) Tính $(x^2 - 2x + 5) \cdot (x - 2)$.
b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân $(x^2 - 2x + 5) \cdot (2 - x)$. Giải thích cách làm.
7.27. Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là $x$; $x + 1$; $x - 1$ (cm) với $x > 1$. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm$^3$) của hình hộp chữ nhật đó.
7.28. Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:
a) $5x^3 - 2x^2 + 4x - 4$ và $x^3 + 3x^2 - 5$;
b) $-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1$ và $4x^3 - 2x + 6$.
7.29. Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là $x$. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Bài 28. Phép chia đa thức một biến Khái niệm, thuật ngữ Phép chia hết Phép chia có dư Thương, dư (trong phép chia đa thức) Kiến thức, kĩ năng Thực hiện các phép

Để thực hiện phép chia $6x^4$ cho $(-2x^3)$, ta làm như sau: Chia hai hệ số: $6 : (-2) = -3$. Chia hai luỹ thừa của biến: $x^4 : x^3 = x$. Nhân hai kết quả trên

$Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của $B$: $$(-5x^3) : x^2 = -5x.$$ Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích $B \cdot (-$

3. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC, TRƯỜNG HỢP CHIA CÓ DƯ Phép chia có dư Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức $D = 5x^3 - 3x^2 - x + 7$ cho đa thức $E = x^2 + 1$ được v

$Bài tập 7.30. Tính: a) $8x^5 : 4x^3$; c) $\dfrac{3}{4}(-x)^3 : \dfrac{1}{8}x$; b) $120x^7 : (-24x^5)$; d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2)$. 7.31. Thực hiện các phép chia$

Luyện tập chung LUYỆN TẬP CHUNG Ví dụ 1 Cho một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là $x$; $x + 1$ và $x + 2$ ($x > 0$). a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị thể

BÀI TẬP 7.36. Rút gọn biểu thức sau: $(5x^3 - 4x^2) : 2x^2 + (3x^4 + 6x) : 3x - x(x^2 - 1)$. 7.37. Rút gọn các biểu thức sau: a) $2x(x + 3) - 3x^2(x + 2) + x(3x

Bài tập cuối chương VII 7.42. Một hãng taxi quy định giá cước như sau: 0,5 km đầu tiên giá 8 000 đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá 11 000 đồng. Giả sử một ngườ

Chương VIII Bài 29. LÀM QUEN VỚI BIẾN CỐ LÀM QUEN VỚI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ XÁC SUẤT Trong cuộc sống, ta thường gặp những sự kiện, hiện tượng mà ta kh

Biến cố
Đọc các sự kiện, hiện tượng sau và thực hiện HĐ1, HĐ2.
Múc nước lũ trên sông Hồng trong tháng Bảy sang năm trên mức báo động 3.
② Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía tây.
③ Có sáu cơn bão đổ bộ vào nước ta trong năm tới.
④ Khi gieo hai con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc đều là 6.
Khi gieo một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 7.
HĐ1 Tìm các sự kiện, hiện tượng không thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không xảy ra.
HĐ2 Tìm các sự kiện, hiện tượng có thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không xảy ra.
Các hiện tượng, sự kiện trong tự nhiên, cuộc sống được gọi chung là biến cố.
Biến cố chắc chắn là biến cố biết trước được luôn xảy ra.
Biến cố không thể là biến cố biết trước được không bao giờ xảy ra.
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không.
Trong HĐ1 và HĐ2, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Ví dụ 1
Trong các biến cố sau, em hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên.
A: "Trong điều kiện thường, nước đun đến 100 °C sẽ sôi".
B: "Tháng Hai năm sau có 31 ngày".
C: "Khi gieo hai con xúc xắc thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 8".
Giải
Biến cố A là biến cố chắc chắn vì nó luôn xảy ra.
Biến cố B là biến cố không thể vì nó không bao giờ xảy ra.
Biến cố C là biến cố ngẫu nhiên vì ta không biết trước nó có xảy ra hay không.
Chẳng hạn, biến cố C xảy ra nếu số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là (2; 6) và không xảy ra nếu số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là (5; 5).

LUYỆN TẬP 1
Chọn từ thích hợp (ngẫu nhiên, chắc chắn, không thể) thay vào dấu "?" để được câu đúng.
❶ Vuông và Tròn mỗi người gieo một con xúc xắc.
Biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lớn hơn 1” là biến cố ?...
Biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7” là biến cố ?...
❷ Một túi đựng các quả cầu được ghi số 3; 6; 9; 12; 15; 18; 24. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi.
Biến cố “Lấy được quả cầu có ghi số chia hết cho 3” là biến cố ?...
Biến cố “Lấy được quả cầu có ghi số chia hết cho 7” là biến cố ?...
VÍ DỤ 2
Trong một chiếc hộp có bốn tấm thẻ được ghi số 1; 2; 3; 6. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Xét ba biến cố sau:
$A$: “Rút được thẻ ghi số là số nguyên tố”.
$B$: “Rút được thẻ ghi số nhỏ hơn 7”.
$C$: “Rút được thẻ ghi số lớn hơn 10”.
Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Giải
• Biến cố $B$ là biến cố chắc chắn vì ta luôn rút được thẻ ghi một trong các số 1; 2; 3; 6, đều là các số nhỏ hơn 7.
• Biến cố $C$ là biến cố không thể vì ta chỉ rút được thẻ ghi một trong các số 1; 2; 3; 6, đều là các số nhỏ hơn 10.
• Biến cố $A$ là biến cố ngẫu nhiên vì ta không chắc chắn sẽ rút được thẻ ghi số nào. Chẳng hạn, nếu ta rút được thẻ ghi số 2 thì biến cố $A$ xảy ra; rút được thẻ ghi số 6 thì biến cố $A$ không xảy ra.
LUYỆN TẬP 2
Lan tham gia trò chơi Vòng quay may mắn như Hình 8.1.
Xét ba biến cố sau:
$A$: “Lan quay vào ô có số điểm lớn hơn 500 điểm”.
$B$: “Lan quay vào ô có số điểm nhỏ hơn 100 điểm”.
$C$: “Lan quay vào ô có số điểm là số tròn trăm”.
Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Hình 8.1

THỬ THÁCH NHỎ
Cho hai chiếc túi kín $I$, $II$ đựng một số viên bi có cùng kích thước, trong đó tất cả các viên bi ở túi $I$ có màu đen. Người chơi lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi và sẽ thắng cuộc nếu trong hai viên bi lấy ra có viên bi màu đỏ. Trong túi $II$ cần có những viên bi màu gì để biến cố “Người chơi thắng” là:
a) Biến cố chắc chắn;
b) Biến cố không thể;
c) Biến cố ngẫu nhiên?
BÀI TẬP
8.1. Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong một túi đựng 5 viên bi trắng và 5 viên bi đen có cùng kích thước. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?
$A$: “Minh lấy được viên bi màu trắng”.
$B$: “Minh lấy được viên bi màu đen”.
$C$: “Minh lấy được viên bi màu trắng hoặc màu đen”.
$D$: “Minh lấy được viên bi màu đỏ”.
8.2. Có hai chiếc hộp, mỗi hộp đựng 6 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi hộp. Thay dấu “?” bằng các từ thích hợp trong các từ sau: chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên.
Biến cố, Loại biến cố
Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai tấm thẻ bé hơn 3, ?
Tổng các số ghi trên hai tấm thẻ bằng 7, ?
Tổng các số ghi trên hai tấm thẻ lớn hơn 1, ?
Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai tấm thẻ bằng 6, ?
8.3. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp ${2; 3; 5; 6; 7; 8; 10}$. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?
$A$: “Số được chọn là số nguyên tố”.
$B$: “Số được chọn là số bé hơn 11”.
$C$: “Số được chọn là số chính phương”.
$D$: “Số được chọn là số chẵn”.
$E$: “Số được chọn là số lớn hơn 1”.

Bài 30. Làm quen với xác suất của biến cố
Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng
• Xác suất của biến cố • Đồng khả năng, Làm quen với xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số ví dụ đơn giản.
Ngày mai chắc trời sẽ có mưa?
Chắc đến mức nào ạ?
Chắc đến 80%.
DỰ BÁO THỜI TIẾT
NGÀY MAI
Khả năng có mưa: 80%
Trong cuộc sống ta thường gặp những câu mô tả khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên, chẳng hạn:
Nhiều khả năng ngày mai trời sẽ có mưa.
Ít khả năng xảy ra động đất ở Hà Nội.
Nếu gieo hai con xúc xắc thì ít khả năng số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc đều là 6.
Trong bài này, chúng ta sẽ làm quen với việc đo lường khả năng xảy ra của một biến cố bằng con số.
1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Xác suất là gì?
HĐ1 Chọn cụm từ thích hợp (không thể, ít khả năng, nhiều khả năng, chắc chắn) thay vào dấu “?” trong các câu sau:
a) Tôi ... đi bộ 20 km mà không nghỉ.
b) ... có tuyết rơi ở Hà Nội vào mùa đông.
c) Anh An là một học sinh giỏi. Anh An ... sẽ đỗ thủ khoa trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia sắp tới.
HĐ2 Một hộp đựng 20 viên bi, trong đó 13 viên màu đỏ và 7 viên màu đen có cùng kích thước. Bạn Nam lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong hộp. Hỏi khả năng Nam lấy được viên bi màu nào lớn hơn?
Nếu có thể đo lường được khả năng xảy ra của biến cố “Lấy được viên bi đỏ” và biến cố “Lấy được viên bi đen” bằng một con số rồi so sánh hai số đó với nhau thì ta sẽ có câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi trong HĐ2.
Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó.

Nhận xét. Xác suất của một biến cố càng gần 1 thì biến cố đó càng có nhiều khả năng xảy ra. Xác suất của một biến cố càng gần 0 thì biến cố đó càng ít khả năng

2. XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ BIẾN CỐ ĐƠN GIẢN Xác suất của biến cố chắc chắn, biến cố không thể Khả năng xảy ra của biến cố chắc chắn là 100%. Vậy biến cố chắc chắn c

Ví dụ 4 Trong buổi liên hoan, lớp 7A tổ chức trò chơi Rút phiếu trúng thưởng. Cô giáo đã chuẩn bị 10 lá phiếu giống nhau ghi các số từ 1 đến 10, được gấp lại và

BÀI TẬP 8.4. Mai và Việt mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 1; b) Tích số

Luyện tập chung
Ví dụ
Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 6 phần bằng nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn có ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6 như Hình 8.3, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm.
Bạn Nam quay tấm bìa.
a) Tìm xác suất của các biến cố sau:
A: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số bé hơn 7";
B: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0";
C: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 2".
b) Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1 hoặc 2 thì Nam nhận được 100 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 3 hoặc 4 thì Nam nhận được 200 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 5 hoặc 6 thì Nam nhận được 300 điểm. Xét các biến cố sau:
E: "Nam nhận được 100 điểm";
F: "Nam nhận được 200 điểm";
G: "Nam nhận được 300 điểm".
Các biến cố E, F, G có đồng khả năng không? Vì sao?
Tìm xác suất của các biến cố E, F, G.
Giải
a)
Biến cố A là biến cố chắc chắn, do đó có xác suất bằng 1.
Biến cố B là biến cố không thể, do đó có xác suất bằng 0.
Vì 6 hình quạt có diện tích bằng nhau nên 6 biến cố sau đồng khả năng:
"Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1"; "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 2";
"Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 3"; "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 4";
"Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 5"; "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 6".
Mặt khác, luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong sáu biến cố này.
Vậy xác suất của biến cố C là $\dfrac{1}{6}$.
b)
Biến cố E xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OAB.
Biến cố F xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OBC.
Biến cố G xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OCA.
Vì ba hình quạt này có diện tích bằng nhau nên ba biến cố E, F, G là đồng khả năng.
Vì luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong ba biến cố này nên xác suất của biến cố E, F, G bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{3}$.

BÀI TẬP 8.8. Một túi đựng các tấm thẻ được ghi số 9; 12; 15; 18; 21; 24. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhi

Bài tập cuối chương VIII
8.12. Một túi đựng các quả cầu có cùng kích thước, được ghi số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu "?" trong các câu sau:
Biến cố $A$: "Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương" là biến cố ?.
Biến cố $B$: "Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3" là biến cố ?.
Biến cố $C$: "Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 5" là biến cố ?.
8.13. Một thùng kín đựng 5 quả bóng màu đỏ, 10 quả bóng màu xanh, 20 quả bóng màu vàng, có cùng kích thước. Ngọc lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Hỏi khả năng Ngọc lấy được quả bóng màu gì lớn nhất?
8.14. Một chiếc hộp đựng 7 tấm thẻ như nhau được ghi số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tìm xác suất để rút được tấm thẻ:
a) Ghi số nhỏ hơn 10.
b) Ghi số 1.
c) Ghi số 8.
8.15. Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn có ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 như Hình 8.4, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm.
Hình 8.4
Bạn Việt quay tấm bìa.
a) Tìm xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt:
Ghi số lẻ.
Ghi số 6.
b) Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1 hoặc 2 thì Việt nhận được 100 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 3 hoặc 4 thì Việt nhận được 200 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 5 hoặc 6 thì Việt nhận được 300 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 7 hoặc 8 thì Việt nhận được 400 điểm.
Xét các biến cố sau:
$A$: "Việt nhận được 100 điểm"; $C$: "Việt nhận được 300 điểm";
$B$: "Việt nhận được 200 điểm"; $D$: "Việt nhận được 400 điểm".
Các biến cố $A$, $B$, $C$, $D$ có đồng khả năng không? Vì sao?
Tìm xác suất của các biến cố $A$, $B$, $C$ và $D$.

HÌNH HỌC PHẲNG Qua chương IV, các em đã biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của tam giác và sự đặc biệt của chúng trong tam gi

1. GÓC ĐỐI DIỆN VỚI CẠNH LỚN HƠN TRONG MỘT TAM GIÁC
Ta đã biết trong tam giác cân $ABC$, $AB = AC$, góc đối diện với cạnh $AB$ (góc $C$), bằng góc đối diện với cạnh $AC$ (góc $B$). Hỏi trong một tam giác, nếu biết hai cạnh không bằng nhau thì có thể so sánh được hai góc đối diện với hai cạnh đó không?
⏱ So sánh hai góc theo cạnh đối diện
HĐ1 Quan sát ê ke có góc $60^\circ$. Kí hiệu đỉnh góc vuông là $A$, đỉnh góc $60^\circ$ là $B$ và đỉnh góc $30^\circ$ là $C$. Xét tam giác $ABC$ (H.9.2a).
Sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn. Sắp xếp độ lớn các góc theo thứ tự từ bé đến lớn.
Góc lớn nhất đối diện với cạnh nào? Góc bé nhất đối diện với cạnh nào?
Hình 9.2a
HĐ2 Em hãy vẽ một tam giác $ABC$ có $AB = 3$ cm, $AC = 5$ cm. Quan sát hình vừa vẽ và dự đoán xem trong hai góc $B$ và $C$, góc nào lớn hơn.
Ta có thể chứng minh được định lí sau:
Định lí 1
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
GT | $\triangle ABC$, $AC > AB$
KL | $\widehat{B} > \widehat{C}$.
Ví dụ 1
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2$ cm, $BC = 4$ cm, $AC = 5$ cm (H.9.3).
a) Hãy so sánh góc $A$ và góc $C$ của tam giác $ABC$.
b) Trong tam giác $ABC$, góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất?
Giải
a) Trong tam giác $ABC$, vì $AB = 2$ cm, $BC = 4$ cm nên $BC > AB$. Do đó, theo định lí 1 ta có: $\widehat{A} > \widehat{C}$.
b) Sắp xếp độ dài các cạnh từ lớn đến bé ta có: $AC > BC > AB$.
Từ đó, theo định lí 1 ta được: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$.
Vậy trong tam giác $ABC$, góc $B$ lớn nhất, góc $C$ nhỏ nhất.
Hình 9.2b
Hình 9.3
Góc $A$ đối diện cạnh $BC$,
góc $B$ đối diện cạnh $AC$,
góc $C$ đối diện cạnh $AB$.
Luyện tập 1
Cho tam giác $MNP$ có độ dài các cạnh: $MN = 3$ cm, $NP = 5$ cm, $MP = 7$ cm. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc của tam giác $MNP$ theo thứ tự từ bé đến lớn.

$2. CẠNH ĐỐI DIỆN VỚI GÓC LỚN HƠN TRONG MỘT TAM GIÁC Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} > \widehat{C}$. Liệu có thể so sánh được các cạnh đối diện tương ứng là $$

Nhận xét (H.9.5). Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất. Tương tự trong tam giác

Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng • Đường vuông góc • Đường xiên • Khoảng cách từ một điểm đến một đườ

So sánh đường vuông góc và đường xiên HD Cho điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $d$. a) Hãy vẽ đường vuông góc $AH$ và một đường xiên $AM$ từ $A$ đến $d$. b) E

BÀI TẬP 9.6. Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không? 9.7. Cho hình vuông $ABC

Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng Bất đẳng thức tam giác, Nhận biết liên hệ về độ dài của ba cạnh trong một

$GT, $\triangle ABC$ KL, $AB < AC + BC,$ $AC < AB + BC,$ $BC < AB + AC.$ Hình 9.15 Ba hệ thức $AB < AC + BC,$ $AC < AB + BC,$ $BC < AB + AC,$ gọi là các bất đẳng$

Giải a) Ta có: $2 + 4 = 6 < 7$, ba độ dài 2 cm, 4 cm, 7 cm không thoả mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác. b) Ta có: $2

BÀI TẬP 9.10. Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau: a) 2 cm, 3 cm, 5 cm; b) 3 cm, 4 cm, 6 cm; c) 2 cm, 4 cm, 5 cm. Hỏi bộ ba nào không thể là độ dài ba cạ

Luyện tập chung LUYỆN TẬP CHUNG Ví dụ 1 Cho $M$ là một điểm nằm bên trong góc $xOy$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến hai cạnh $Ox$, $Oy$ của góc bằng nhau. Chứng

BÀI TẬP
9.14. Hãy giải thích: Nếu $M$ là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh $BC$ hoặc $CD$ của hình vuông $ABCD$ thì độ dài đoạn thẳng $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông đó (H.9.21).
Hình 9.21
9.15. Hỏi có tam giác nào với độ dài ba cạnh là $2,5$ cm; $3,4$ cm và $6$ cm không? Vì sao?
9.16. Tính chu vi của tam giác cân biết hai cạnh của nó có độ dài là $2$ cm và $5$ cm.
9.17. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng $7$ cm và $2$ cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.
9.18. Biết hai cạnh của tam giác có độ dài $a$ và $b$. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, hãy giải thích tại sao chu vi của tam giác đó lớn hơn $2a$ và nhỏ hơn $2(a+b)$.
9.19. Hai khu vườn $A$ và $B$ nằm về một phía của con kênh $d$. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với $A$ và $B$, một điểm $C$ để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất (HD: Gọi $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$ (H.9.22). Khi đó $CB = CB'$. Xem Vận dụng, Bài 33).
Hình 9.22
EM CÓ BIẾT
Cho tam giác $ABC$. Ta có thể chứng minh bất đẳng thức tam giác $BC < AB + AC$ như sau:
Xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Góc $B$ là góc tù (H.9.23) hoặc góc vuông. Khi đó, trong tam giác $ABC$ có $\widehat{B}$ là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với nó là $AC$ lớn nhất, từ đó $BC < AB + AC$.
Trường hợp 2: Góc $C$ là góc tù (H.9.24) hoặc góc vuông. Khi đó, $\widehat{C}$ là góc lớn nhất. Tương tự trên, ta có:
$BC < AB + AC$.
Trường hợp 3: Cả hai góc $B$ và $C$ là góc nhọn. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ (H.9.25). Xét hai tam giác vuông $ABH$ và $ACH$ có:
$BH < AB,\ HC < AC$.
Suy ra $BC = BH + HC < AB + HC < AB + AC$.
Vậy trong mọi trường hợp ta có $BC < AB + AC$.
Hình 9.23
Hình 9.24
Hình 9.25

Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng • Đường trung tuyến • Đường phân gi

HD2 Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh $A$, $B$, $C$ rồi vẽ tam giác $ABC$ (H.9.29). Vẽ hai đường trung tuyến $BN$, $CP$

Tranh luận Tớ tìm trọng tâm của một tam giác bằng cách lấy giao điểm của hai đường trung tuyến. Tớ còn cách khác nữa cơ. Các em có những cách nào? VẬN DỤNG 1 Tr

Ta có thể chứng minh được định lí sau: Định lí 2 Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chẳng hạn

BÀI TẬP 9.20. Cho tam giác $ABC$ với hai đường trung tuyến $BN$, $CP$ và trọng tâm $G$. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức: [ BG = ?,BN,

Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng • Đường trung trực, • Nhận biết đường trun

Sự đồng quy của ba đường trung trực HĐ1 Vẽ tam giác $ABC$ (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Quan sát hình và cho biết ba đư

$Chứng minh Hai tam giác $AIB$ và $AIC$ có: $AB = AC$ (GT), $IB = IC$ (do $AI$ là trung tuyến); cạnh $AI$ chung. Do đó $\triangle AIB = \triangle AIC$ (c.c.c). T$

Ta có thể chứng minh được định lí sau: Định lí 2 Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Chẳng hạn, trong tam giác $ABC$ (H.9.43), các đường cao $A

LUYỆN TẬP 2
a) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường trung trực của cạnh $BC$ là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Trong tam giác cân tại $A$, đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó.
BÀI TẬP
9.26. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác $HBC$, $HCA$, $HAB$.
9.27. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=100^\circ$ và trực tâm $H$. Tính góc $BHC$.
9.28. Xét điểm $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng nếu $O$ nằm trên một cạnh của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là một tam giác vuông.
9.29.
a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?
Hình 9.46
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm $M$ cách đều $A$, $B$, $C$ để quy hoạch một trường học.
9.30. Cho hai đường thẳng không vuông góc $b$, $c$ cắt nhau tại điểm $A$ và cho điểm $H$ không thuộc $b$ và $c$ (H.9.47). Hãy tìm điểm $B$ thuộc $b$, điểm $C$ thuộc $c$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm.
Hình 9.47
EM CÓ BIẾT?
Ta có thể chứng minh trong tam giác $ABC$, ba đường cao $AI$, $BJ$, $CK$ đồng quy như sau:
– Ở bên ngoài tam giác $ABC$, ghép thêm ba tam giác $CB'A$, $BAC'$ và $A'CB$ cùng bằng tam giác $ABC$ (H.9.48).
– Khi đó ba góc tại đỉnh $A$ bằng ba góc của tam giác $ABC$ nên có tổng số đo bằng $180^\circ$, suy ra ba điểm $B'$, $C'$ và $A$ thẳng hàng. Do $AB'=AC'=BC$ nên $A$ là trung điểm của $B'C'$.
– Đường thẳng $AB$ cắt hai đường thẳng $B'C'$ và $BC$ tạo thành hai góc so le trong bằng nhau nên $B'C' // BC$. Vì đường cao $AI$ vuông góc với $BC$ nên nó vuông góc với $B'C'$, từ đó $AI$ là đường trung trực của cạnh $B'C'$.
– Tương tự, $BJ$, $CK$ lần lượt là trung trực của $A'C'$, $A'B'$. Suy ra $A'B'C'$ là tam giác nhận $AI$, $BJ$, $CK$ là ba đường trung trực.
Ta đã biết ba đường trung trực của tam giác $A'B'C'$ đồng quy nên $AI$, $BJ$, $CK$ đồng quy.

Luyện tập chung Ví dụ 1 Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ cũng là đường phân giác thì $ABC$ là tam giác cân tại $A$. Giải (H.9.49) Hình 9

$b) Tam giác $AHK$ vuông tại $K$ nên $\widehat{HAK} + \widehat{H_1} = 90^\circ$. Tam giác $HIC$ vuông tại $I$ nên $\widehat{HCB} + \widehat{H_1} = 90^\circ$. Do$

b) Tam giác $AHK$ vuông tại $K$ nên $\widehat{HAK} + \widehat{H_1} = 90^\circ$.
Tam giác $HIC$ vuông tại $I$ nên $\widehat{HCB} + \widehat{H_1} = 90^\circ$. Do đó $\widehat{HAK} = \widehat{HCB}$.
Hai tam giác $HAK$ và $BCK$ có:
$AK = CK$ (chứng minh câu a));
$\widehat{HAK} = \widehat{HCB}$;
$\widehat{AKH} = \widehat{BKC} (= 90^\circ)$.
Do đó, $\triangle HAK = \triangle BCK$ (g.c.g), suy ra $AH = BC$.
BÀI TẬP
9.31. Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
9.32. Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng $A$, $B$, $C$. Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A$. Với điểm $M$ thuộc $d$, $M$ khác $A$, vẽ đường thẳng $CM$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $CM$, cắt $d$ tại $N$. Chứng minh đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $CN$.
9.33. Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?
9.34. Cho tam giác $ABC$. Kẻ tia phân giác $At$ của góc tạo bởi tia $AB$ và tia đối của tia $AC$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia $At$ song song với đường thẳng $BC$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$.
9.35. Kí hiệu $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$.
a) Chứng minh $S_{GBC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}$.
Gợi ý. Sử dụng $GM = \dfrac{1}{3}AM$ để chứng minh $S_{GBM} = \dfrac{1}{3}S_{ABM}$, $S_{GCM} = \dfrac{1}{3}S_{ACM}$.
b) Chứng minh $S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}$.
Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: $S_{GBC} = S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}$, điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.

$Bài tập cuối chương IX 9.36. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}$ là một góc tù. Lấy điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B$; lấy điểm $E$ nằm giữa $A$ và $C$ (H.9.51). C$

Chương X MỘT SỐ HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIỄN HÌNH HỌC TRỰC QUAN Trong thực tế đời sống, chúng ta dễ gặp các hình như hộp đựng quà, bể cá cảnh, chiếc đèn lồng, khối

1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Một số yếu tố cơ bản của hình hộp chữ nhật, hình lập phương HĐ1 Hình nào dưới đây là đồ vật hoặc kiến trúc có dạng hình hộ

THỰC HÀNH Sử dụng bìa cứng, cắt và gấp một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước như Hình 10.3 theo hướng dẫn sau: Hình 10.3 Bước 1. Vẽ hình khai t

$Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: $S_{\mathrm{xq}} = 2(a+b)c$. Diện tích xung quanh của hình lập phương: $S_{\mathrm{xq}} = 4a^2$. Chú ý. Khi tính diệ$

Thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương Hình 10.8 Người ta xếp các hộp đựng đồ chơi dạng hình lập phương nhỏ có cạnh 1 dm vào một chiếc hộp carton có dạ

$LUYỆN TẬP 2 Một hình lập phương có cạnh bằng $a$ cm, diện tích xung quanh bằng $100\text{ cm}^2$. Hỏi thể tích của hình lập phương đó bằng bao nhiêu? VẬN DỤNG 2$

10.4. Một xe đông lạnh có thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật, kích thước lòng thùng hàng dài 5,6 m, rộng 2 m, cao 2 m. Tính thể tích của lòng thùng hàng. 10.5. M

Luyện tập LUYỆN TẬP Ví dụ 1 Quan sát Hình 10.13 và kể tên các đỉnh, cạnh, đường chéo của hình hộp chữ nhật $MNPQ.M'N'P'Q'$. Giải. Các đỉnh là: $M, N, P, Q, M',

BÀI TẬP 10.7. Kể tên các đỉnh, cạnh và đường chéo của hình lập phương $MNPQ.EFGH$ ở Hình 10.16. Hình 10.16 10.8. Một chiếc hộp đựng đồ đa năng có dạng hình hộp

Bài 37. Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác Khái niệm, thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng • Hình lăng trụ đứng tam giác • Hình lăng trụ đứng tứ

HĐ2 Một số yếu tố của hình lăng trụ đứng tứ giác được chỉ rõ trong Hình 10.19. Em hãy nêu các yếu tố tương tự của hình lăng trụ đứng tam giác trong Hình 10.20 v

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng

LUYỆN TẬP Luyện tập 1 Một lều chữ A dạng hình lăng trụ đứng có kích thước như Hình 10.26. Tính diện tích vải để làm hai mái và trải đáy của lều. Hình 10.26 VẬN

VÍ DỤ 3 Một lăng kính được làm bằng thủy tinh có dạng một hình lăng trụ đứng tam giác như Hình 10.28. Tính thể tích thủy tinh dùng để làm lăng kính. Hình 10.28

10.12. Quan sát Hình 10.32 và cho biết cạnh nào trong các cạnh ①, ②, ③ ghép với cạnh $AB$ để có được hình lăng trụ đứng. Hình 10.32 10.13. Tính diện tích xung q

Luyện tập
LUYỆN TẬP
Ví dụ 1
Gọi tên đỉnh, cạnh, mặt bên, mặt đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ở Hình 10.37.
Hình 10.37
Giải
Các đỉnh của hình lăng trụ là: $A$, $B$, $C$, $M$, $N$, $P$.
Các cạnh của hình lăng trụ là: $AB$, $BC$, $CA$, $MN$, $NP$, $PM$, $AM$, $BN$, $CP$.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật $ABNM$, $BCPN$, $ACPM$.
Các mặt đáy của hình lăng trụ là các tam giác $ABC$ và $MNP$.
Ví dụ 2
Ông Khôi làm một khối gỗ hình lăng trụ đứng tam giác, kích thước như Hình 10.38, để chèn bánh xe. Tính thể tích của khối gỗ.
Hình 10.38
Giải
Thể tích của khối gỗ là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 90 \cdot 70 = 189,000 \text{ (cm}^3\text{)} = 0{,}189 \text{ (m}^3\text{)}.$$
Ví dụ 3
Chi đội của bạn Trang dựng một lều ở trại hè có dạng lăng trụ đứng tam giác với kích thước như Hình 10.39.
a) Tính thể tích khoảng không bên trong lều.
b) Biết lều phủ vải bạt 4 phía, trừ mặt tiếp đất. Tính diện tích vải bạt cần phải có để dựng lều.
Hình 10.39
Giải
a) Diện tích đáy lăng trụ là: $S_{\text{đáy}} = (3{,}2 \cdot 1{,}2) : 2 = 1{,}92 \text{ (m}^2\text{)}$.
Thể tích khoảng không bên trong lều là: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 1{,}92 \cdot 5 = 9{,}6 \text{ (m}^3\text{)}$.
b) Diện tích vải bạt cần có để dựng lều chính là diện tích toàn phần của lăng trụ trừ đi diện tích mặt bên có kích thước là 5 m và 3,2 m.
Diện tích xung quanh lăng trụ là: $S_{\text{xq}} = C \cdot h = (2 + 2 + 3{,}2) \cdot 5 = 36 \text{ (m}^2\text{)}$.
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: $S_{\text{tp}} = S_{\text{xq}} + 2S_{\text{đáy}} = 36 + 2 \cdot 1{,}92 = 39{,}84 \text{ (m}^2\text{)}$.
Diện tích mặt bên kích thước 5 m và 3,2 m là: $5 \cdot 3{,}2 = 16 \text{ (m}^2\text{)}$.
Vậy diện tích vải bạt cần có để dựng lều là: $39{,}84 - 16 = 23{,}84 \text{ (m}^2\text{)}$.

BÀI TẬP 10.17. Viết tên đỉnh, cạnh, mặt bên, mặt đáy của hình lăng trụ đứng tứ giác ở Hình 10.40. 10.18. Một cái bánh ngọt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác,

Bài tập cuối chương X 10.20. Người ta làm một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa với chiều dài 20 cm, chiều rộng 14 cm và chiều cao 15 cm. a) Tính thể t

Đại lượng tỉ lệ trong đời sống MỤC TIÊU: Biết chuyển đổi một số đơn vị đo chiều dài và khối lượng thông dụng. Thực hành tính toán việc tăng, giảm theo giá trị p

CHUYỂN ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO CHIỀU DÀI
Inch viết tắt là in, là đơn vị đo chiều dài phổ biến ở Mỹ, Anh và một số nước khác; mỗi inch bằng 2,54 cm. Ngoài ra, người ta còn dùng các đơn vị đo độ dài khác như foot viết tắt là ft (1 ft = 12 in); yard viết tắt là yd (1 yd = 3 ft); mile viết tắt là mi (1 mi = 1 760 yd). Trong văn chuyên về đường biển hoặc đường hàng không, người ta thường dùng đơn vị hải lí, viết tắt là nmi hoặc NM (từ tiếng Anh tương ứng là nautical mile) (1 nmi = 1 852 m).
HĐ1 Tượng Nữ thần Tự do ở Mỹ cao 151 ft 1 in (không kể bệ tượng).
(Theo nps.gov)
Hãy tính chiều cao của tượng Nữ thần Tự do theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
CHUYỂN ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO KHỐI LƯỢNG
Pound hay cân Anh, viết tắt là lb, là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác. Hiện nay giá trị được quốc tế công nhận là mỗi pound bằng 0,45359237 kg và bằng 16 ounce.
HĐ2 Dưới đây là một số thông tin về khối lượng của tượng Nữ thần Tự do.
Khối lượng đồng dùng trong bức tượng, 60 000 lb
Khối lượng thép dùng trong bức tượng, 250 000 lb
Tổng khối lượng bức tượng, 450 000 lb
(Theo nps.gov)
Hãy đổi các thông tin khối lượng trên sang đơn vị tấn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
VẬN DỤNG 1
Dưới đây là một số thông số kĩ thuật của một dòng máy bay.
Chiều dài, 206 ft 1 in
Sải cánh, 197 ft 3 in
Chiều cao, 55 ft 10 in
Khối lượng rỗng, 284 000 lb
Khối lượng cất cánh tối đa, 560 000 lb
Tầm bay với cấu hình bình thường, 7 635 nmi
Độ cao bay vận hành, 43 000 ft
(Theo flugzeuginfo.net)
Hãy đổi các thông số kĩ thuật trên sang các đơn vị đo lường quen thuộc là mét (riêng tầm bay đổi sang kilômét) và kilôgam (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

2. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ TRONG TÀI CHÍNH HĐ3 Thực hành tính toán việc tăng, giảm theo giá trị phần trăm của một mặt hàng Trong đợt khuyến mại, một cửa hàng quần áo gi

Vòng quay may mắn MỤC TIÊU: Làm quen với các biến cố và nhận ra được biến cố có xảy ra hay không. Cảm nhận được xác suất xảy ra mỗi biến cố nhiều hay ít. Chuẩn

Lần chơi, Người thắng, Phần thưởng 1, Vuông, Áo phông ..., ..., ... 10, Tròn, Rubik Bảng T.1 Bước 3. Thống kê lại kết quả chơi của cả lớp theo mẫu Bảng T.2 và B

Hộp quà và chân đế lịch để bàn của em MỤC TIÊU: Vận dụng các kiến thức đã học về một số hình khối trong thực tiễn vào giải quyết một số tình huống trong thực ti

Hoạt động 2. CHÂN ĐẾ LỊCH ĐỂ BÀN Chuẩn bị Vật liệu: Bìa màu cứng. Dụng cụ: Kéo, thước, keo dán. Địa điểm thực hiện: Ở lớp học hoặc ở nhà. Hướng dẫn thực hiện Bư

$BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM SỐ VÀ ĐẠI SỐ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\sqrt{25}+(2^2\cdot3)^2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+2,020^0+\left|-\dfrac{1$

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
SỐ VÀ ĐẠI SỐ
1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\sqrt{25}+(2^2\cdot3)^2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+2,020^0+\left|-\dfrac{1}{4}\right|$;
b) $\dfrac{3^2-0{,}25\cdot(7{,}5-5{,}1)}{-6{,}2+2\cdot(0{,}5+1{,}6)}$.
2. Tính một cách hợp lí.
a) $\dfrac{5}{11}-\dfrac{10}{19}+1{,}5+\dfrac{17}{11}-\dfrac{9}{19}$.
b) $2\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)-2\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$.
3. a) Tìm $x$, biết $\dfrac{2}{5}x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{5}-\left(-\dfrac{1}{4}\right)$.
b) Có hay không số $x$ thoả mãn điều kiện: $|x|+\dfrac{1}{5}=-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)$?
c) Hãy ước tính (không tra bảng hay dùng máy tính) số dương $x$ (lấy đến một chữ số sau dấu phẩy) sao cho $x^2=13$. Sau đó dùng máy tính cầm tay (hoặc tra bảng) để tính $x$, chính xác đến hàng phần chục để kiểm tra xem con số em ước tính chênh lệch bao nhiêu so với kết quả tính bằng máy tính.
4. Hai người thợ cùng làm tổng cộng được 136 sản phẩm (thời gian làm như nhau). Hỏi mỗi người thợ làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thợ thứ nhất làm một sản phẩm mất 9 phút, còn người thứ hai làm một sản phẩm mất 8 phút?
5. Ba khối 6, 7, 8 của một trường Trung học cơ sở tham gia quyên góp vở tặng các bạn vùng khó khăn. Biết rằng số vở quyên góp được của ba khối theo thứ tự tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 và số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển. Hỏi mỗi khối quyên góp được bao nhiêu quyển vở?
6. Cho hai đa thức $A=6x^3-4x^2-12x-7$ và $B=2x^2-7$.
a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.
b) Tính giá trị của đa thức $A+B$ tại $x=-2$.
c) Chứng minh rằng $x=0$, $x=-1$ và $x=2$ là ba nghiệm của đa thức $A-B$.
d) Thực hiện phép nhân $A\cdot B$ bằng hai cách.
e) Tìm đa thức $R$ có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu $A-R$ chia hết cho $B$.
7. Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng $x$ (dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng $x+1$, $x+3$ và $x+2$ (xem hình bên).
a) Tìm đa thức biểu thị thể tích nước còn lại trong bể.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức trong câu a. c) Sử dụng kết quả câu a để tính lượng nước còn lại trong bể (đơn vị: dm³) khi $x = 7$ d

a) Số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 có xu thế tăng hay giảm? b) Hãy lập bảng thống kê về số lượng học sinh phổ thông của cả nước từ năm 20

Trong trò chơi Vòng quay may mắn, người chơi sẽ quay một bánh xe hình tròn. Bánh xe được chia làm 12 phần như nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn như hình bên.

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi