Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chương này giới thiệu khái niệm góc lượng giác, giá trị lượng giác của góc lượng giác, các công thức lượng giác cơ bản, hàm số lượng giác, cách giải phương trình lượng giác cơ bản và một số ứng dụng của lượng giác trong thực tiễn.
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
THUẬT NGỮ
Góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác
Đường tròn lượng giác
Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.
Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
Mô tả bằng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau $\pi$.
Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.
Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc $45^{\circ}$ ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Hình 1.1

1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
HĐ1. Nhận biết khái niệm góc lượng giác
Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?
12 giờ 10 phút
Hình 1.2
Trong mặt phẳng, cho hai tia $Ou$, $Ov$. Xét tia $Om$ cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia $Om$ quay quanh điểm $O$, theo một chiều nhất định từ $Ou$ đến $Ov$, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ và kí hiệu là $(Ou,Ov)$.
Góc lượng giác $(Ou,Ov)$ chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia $Om$ từ tia đầu $Ou$ đến tia cuối $Ov$ (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
Hình 1.3
Khi đó, nếu tia $Om$ quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia $Om$ quay góc $360^{\circ}$, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc $720^{\circ}$; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc $-180^{\circ}$, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc $-1{,}5 \cdot 360^{\circ} = -540^{\circ}$, ...
Khi tia $Om$ quay góc $\alpha^{\circ}$ thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo $\alpha^{\circ}$. Số đo của góc lượng giác có tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ được kí hiệu là $sđ(Ou,Ov)$.
Mỗi góc lượng giác gốc $O$ được xác định bởi tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ và số đo của nó.
Chú ý. Cho hai tia $Ou,Ov$ thì có vô số góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là $(Ou,Ov)$. Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của $360^{\circ}$.

$Ví dụ 1. Cho góc hình học $uOv$ có số đo $60^{\circ}$ (H.1.4). Xác định số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ và $(Ov, Ou)$. Giải Ta có: Các góc lượng giác ti$

$Giải Số đo của các góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ là $$sd (Ou, Ov) = sd (Ox, Ov) - sd (Ox, Ou) + k360^\circ$$ $$= 135^\circ - (-270^\circ) + k360^\c$

Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ là
$$sd (Ou, Ov) = sd (Ox, Ov) - sd (Ox, Ou) + k360^\circ$$
$$= 135^\circ - (-270^\circ) + k360^\circ = 405^\circ + k360^\circ$$
$$= 45^\circ + (k + 1)360^\circ = 45^\circ + m360^\circ \quad (m = k + 1, m \in \mathbb{Z}).$$
Vậy các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $45^\circ + m360^\circ \quad (m \in \mathbb{Z})$.
» Luyện tập 2. Cho một góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $240^\circ$ và một góc lượng giác $(Ox, Ov)$ có số đo $-270^\circ$. Tính số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a) Đơn vị đo góc và cung tròn
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc $1^\circ$ bằng $\frac{1}{180}$ góc bẹt.
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: $1^\circ = 60'$; $1' = 60''$.
Đối với các góc lượng giác, khi mà số vòng quay trong chuyển động tương ứng từ tia đầu đến tia cuối là khá lớn thì số đo của chúng tính bằng độ sẽ trở nên cồng kềnh. Do đó, trong khoa học và kĩ thuật, bên cạnh việc đo bằng độ, người ta còn sử dụng đơn vị đo góc bằng radian.
Đơn vị radian: Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$, bán kính $R$ và một cung $AB$ trên $(O)$ (H.1.6).
Ta nói cung tròn $AB$ có số đo bằng $1$ radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính $R$.
Khi đó ta cũng nói rằng góc $AOB$ có số đo bằng $1$ radian và viết: $\widehat{AOB} = 1 \text{ rad}$.
Hình 1.6
Quan hệ giữa độ và radian: Do đường tròn có độ dài là $2\pi R$ nên nó có số đo $2\pi$ rad. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng $360^\circ$ nên ta có $360^\circ = 2\pi \text{ rad}$.
Do đó ta viết:
$$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \quad \text{và} \quad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ.$$
Chú ý. Khi viết số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi}{2}$ được hiểu là góc $\frac{\pi}{2}$ rad.

$Ví dụ 3 a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau: $45^{\circ}$; $150^{\circ}$. b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: $\frac{\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{4}$. Giải a)$

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC a) Đường tròn lượng giác HD4. Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ đường tròn tâm

$b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác HĐ5. Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ của góc $$

Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn $M$ trên đường tròn lượng giác (H.1.10). Giá trị lượng giác / Góc phần

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi

$Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \left(\a$

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \left(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right)$$
$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})$$
$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad \left(\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right).$$
Ví dụ 9. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Giải
Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$. Mặt khác, từ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ suy ra
$$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}.$$
Do đó, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}.$
Luyện tập 7. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết: $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
HD7. Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau
Xét hai điểm $M, N$ trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm $M, N$ đối với hệ trục $Oxy$? Từ đó rút ra liên hệ giữa: $\cos(-\alpha)$ và $\cos \alpha$; $\sin(-\alpha)$ và $\sin \alpha$.
b) Từ kết quả HD7a, rút ra liên hệ giữa: $\tan(-\alpha)$ và $\tan \alpha$; $\cot(-\alpha)$ và $\cot \alpha$.
Với kết quả HD7, ta có liên hệ giữa các giá trị lượng giác:
• Góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)
$$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$$
$$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$$
$$\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$$
$$\cot(-\alpha) = -\cot \alpha.$$
Hình 1.12a

$Tương tự HD7, ta cũng có liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau, phụ nhau và hơn kém $\pi$, như sau: Góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi - \alpha$) $\sin$

Vận dụng 2. Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức:
$$B(t) = 80 + 7 \sin\frac{\pi t}{12},$$
trong đó $t$ là số giờ tính từ lúc nửa đêm và $B(t)$ tính bằng mmHg (milimét thuỷ ngân).
Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng; b) 10 giờ 30 phút sáng; c) 12 giờ trưa; d) 8 giờ tối.
BÀI TẬP
1.1. Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ, $15^{\circ}$, ?, $0^{\circ}$, $900^{\circ}$, ?, ?
Số đo radian, ?, $\frac{3\pi}{8}$, ?, ?, $-\frac{7\pi}{12}$, $-\frac{11\pi}{8}$
1.2. Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
a) $\frac{\pi}{12}$; b) 1,5; c) $35^{\circ}$; d) $315^{\circ}$.
1.3. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) $\frac{2\pi}{3}$; b) $-\frac{11\pi}{4}$; c) $150^{\circ}$; d) $-225^{\circ}$.
1.4. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết:
a) $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
b) $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;
c) $\tan\alpha = \sqrt{5}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;
d) $\cot\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
1.5. Chứng minh các đẳng thức:
a) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$;
b) $\frac{\cos^2\alpha + \tan^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha} = \tan^2\alpha$.
1.6. Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Bài 2. Công thức lượng giác
THUẬT NGỮ
Công thức cộng
Công thức nhân đôi
Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tổng thành tích
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.
Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần $f_1(t) = 5 \sin t$ và phát lại được nốt thuần $f_2(t) = 5 \cos t$ thì âm kết hợp là $f(t) = f_1(t) + f_2(t)$, trong đó $t$ là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng $f(t) = k \sin(t + \varphi)$, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm $k$ và pha ban đầu $\varphi$ ($-\pi \leq \varphi \leq \pi$) của sóng âm.
1. CÔNG THỨC CỘNG
HD1. Nhận biết công thức cộng
a) Cho $a = \frac{\pi}{3}$ và $b = \frac{\pi}{6}$, hãy chứng tỏ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.
b) Bằng cách viết $a + b = a - (-b)$ và từ công thức ở HD1a, hãy tính $\cos(a + b)$.
c) Bằng cách viết $\sin(a - b) = \cos\left[\frac{\pi}{2} - (a - b)\right] = \cos\left[\left(\frac{\pi}{2} - a\right) + b\right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HD1b, hãy tính $\sin(a - b)$.
$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).
Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy tính:
a) $\cos 75^\circ$;
b) $\tan \frac{\pi}{12}$.

$Giải a) $\cos 75^{\circ} = \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\$

Giải
a) $\cos 75^{\circ} = \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
b) $\tan \frac{\pi}{12} = \tan \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \cdot \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = 2 - \sqrt{3}$.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$.
Giải
Ta có
$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sin x + \cos x$.
Đẳng thức được chứng minh.
Luyện tập 1. Chứng minh rằng:
a) $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$;
b) $\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \quad \left( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right)$.
Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
HD2. Xây dựng công thức nhân đôi
Lấy $b = a$ trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: $\sin 2a$; $\cos 2a$; $\tan 2a$.
$$
\begin{aligned}
& \sin 2a = 2 \sin a \cos a \
& \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2 \sin^2 a \
& \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}.
\end{aligned}
$$
Ví dụ 3. Cho $\cos a = -\frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} < a < \pi \right)$. Tính $\sin 2a$.
Giải
Vì $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $\sin a > 0$. Do đó $\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left( -\frac{1}{3} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

$Luyện tập 2. Không dùng máy tính, tính $\cos \frac{\pi}{8}$. Công thức hạ bậc: $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$. 3. CÔNG TH$

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH HĐ4. Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u = a - b$, $v

$BÀI TẬP 1.7. Sử dụng $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$. 1.8. Tính: a) $\cos\left(a + \frac{\pi}{6}\ri$

BÀI TẬP
1.7. Sử dụng $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$.
1.8. Tính:
a) $\cos\left(a + \frac{\pi}{6}\right)$, biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;
b) $\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right)$, biết $\cos a = -\frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.
1.9. Tính $\sin 2a$, $\cos 2a$, $\tan 2a$, biết:
a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;
b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}$.
1.10. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = \frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{15}}{\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}}$;
b) $B = \sin \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8}$.
1.11. Chứng minh đẳng thức sau:
$\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a$.
1.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^{\circ}$; $\widehat{C} = 45^{\circ}$ và $a = BC = 12$ cm.
a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}ab \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ cho bởi công thức
$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$.
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.
1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$, $A$ là biên độ dao động ($A > 0$) và $\varphi \in [-\pi; \pi]$ là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:
$x_1(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right)$ (cm),
$x_2(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)$ (cm).
Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Bài 3. Hàm số lượng giác
THUẬT NGỮ
Hàm số lượng giác
Hàm số chẵn
Hàm số lẻ
Hàm số tuần hoàn
Đồ thị của hàm số lượng giác
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
Nhận biết các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
Nhận biết các hàm số lượng giác $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ thông qua đường tròn lượng giác. Mô tả bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì.
Vẽ đồ thị của các hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$.
Giải thích tập xác định; tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ dựa vào đồ thị.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác.
Giả sử vận tốc $v$ (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức
$$v = 0,85 \sin \frac{\pi t}{3},$$
trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.
1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HĐ1. Hoàn thành bảng sau:
x, sin x, cos x, tan x, cot x
$\frac{\pi}{6}$, ?, ?, ?, ?
0, ?, ?, ?, ?
$-\frac{\pi}{2}$, ?, ?, ?, ?
Với mỗi số thực $x$, ta xác định được duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác $(OA, OM)$ bằng $x$. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác $\sin x$ và $\cos x$ của $x$ lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm $M$. Nếu $\cos x \neq 0$, ta định nghĩa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ và nếu $\sin x \neq 0$, ta định nghĩa $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$Từ đây, ta có định nghĩa sau về các hàm số lượng giác. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với số thực $\sin x$ được gọi là hàm số sin, kí hiệu là $y = \sin x$

$a) Tìm các tập xác định $D_f$, $D_g$ của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$. b) Chứng tỏ rằng $f(-x)=f(x), \forall x \in D_f$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ t$

a) Tìm các tập xác định $D_f$, $D_g$ của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$.
b) Chứng tỏ rằng $f(-x)=f(x), \forall x \in D_f$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?
c) Chứng tỏ rằng $g(-x)=-g(x), \forall x \in D_g$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y=g(x)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?
Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D$.
• Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=f(x)$.
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
• Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-f(x)$.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Nhận xét. Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.
» Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x)=x\sin x$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
Do đó, nếu $x$ thuộc tập xác định $D$ thì $-x$ cũng thuộc tập xác định $D$.
Ta có: $f(-x)=(-x)\sin(-x)=x\sin x=f(x), \forall x \in D$.
Vậy $f(x)=x\sin x$ là hàm số chẵn.
» Luyện tập 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $g(x)=\frac{1}{x}$.
b) Hàm số tuần hoàn
» HĐ3. So sánh:
a) $\sin(x+2\pi)$ và $\sin x$;
b) $\cos(x+2\pi)$ và $\cos x$;
c) $\tan(x+\pi)$ và $\tan x$;
d) $\cot(x+\pi)$ và $\cot x$.
Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số $T \neq 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có:
i) $x+T \in D$ và $x-T \in D$;
ii) $f(x+T)=f(x)$.
Số $T$ dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
❓ Hàm số hằng $f(x)=c$ ($c$ là hằng số) có phải là hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

$Nhận xét a) Các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. b) Để vẽ đồ$

Nhận xét
a) Các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.
b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì $T$, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn $[a; a + T]$, sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là $T, 2T, 3T, \dots$ ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
Ví dụ 3. Xét tính tuần hoàn của hàm số $y = \sin 2x$.
Giải
Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ và với mọi số thực $x$, ta có:
$x - \pi \in \mathbb{R}, x + \pi \in \mathbb{R},$
$\sin 2(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x.$
Vậy $y = \sin 2x$ là hàm số tuần hoàn.
Chú ý. Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số $y = A \sin \omega x$ và $y = A \cos \omega x$ ($\omega \neq 0$) là những hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.
Luyện tập 3. Xét tính tuần hoàn của hàm số $y = \tan 2x$.
3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = sin x
HD4. Cho hàm số $y = \sin x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$ bằng cách tính giá trị của $\sin x$ với những $x$ không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\sin x$ với những $x$ âm.
x, $-\pi$, $-\frac{3\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{4}$, 0, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$
$y = \sin x$, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?
Bằng cách lấy nhiều điểm $M(x; \sin x)$ với $x \in [-\pi; \pi]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[-\pi, \pi]$.
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì $T = 2\pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \sin x$ như hình dưới đây.
Hình 1.14

$Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$. Hàm số $y = \sin x$: Có tập xác định là $$

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$.
Hàm số $y = \sin x$:
Có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $[-1; 1]$;
Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $2\pi$;
Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;;;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),k \in \mathbb{Z};$
Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.
Ví dụ 4. Sử dụng đồ thị ở Hình 1.14, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ để hàm số $y = \sin x$:
a) Nhận giá trị bằng 0;
b) Nhận giá trị dương.
Giải
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, $y = 0$ khi $x = 0;x = \pi .$
b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, thì $y > 0$ khi $x \in (0;\pi )$.
Luyện tập 4. Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$.
Vận dụng 1. Xét tính hướng mở đầu.
a) Giải bài toán ở tính hướng mở đầu.
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi $v > 0$ và quá trình thở ra xảy ra khi $v < 0$. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?
4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \cos x$
HD5. Cho hàm số $y = \cos x$.
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[ - \pi ;\pi ]$ bằng cách tính giá trị của $\cos x$ với những $x$ không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\cos x$ với những $x$ âm.
$x$, $-\pi$, $-\frac{3\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{4}$, $0$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$
$y=\cos x$, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?
Bằng cách lấy nhiều điểm $M(x;\cos x)$ với $x \in [ - \pi ;\pi ]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[ - \pi ;\pi ]$.

$c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì $T=2 \pi$, ta được đồ thị của hàm số $y=\cos x$ như hình dưới đây. Hình 1.15 Từ đồ thị ở$

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì $T=2 \pi$, ta được đồ thị của hàm số $y=\cos x$ như hình dưới đây.
Hình 1.15
Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\cos x$.
Hàm số $y=\cos x$:
• Có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $[-1 ; 1]$;
• Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì $2 \pi$;
• Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+k 2 \pi ; k 2 \pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 \pi ; \pi+k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}$;
• Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
Ví dụ 5. Sử dụng đồ thị ở Hình 1.15, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\frac{3 \pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ để hàm số $y=\cos x$:
a) Nhận giá trị bằng 0;
b) Nhận giá trị âm.
Giải
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{3 \pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right], y=0$ khi $x=-\frac{3 \pi}{2}, x=-\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2}$.
b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{3 \pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, thì $y<0$ khi $x \in\left(-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right)$.
Luyện tập 5. Tìm tập giá trị của hàm số $y=-3 \cos x$.
Vận dụng 2. Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t, A$ là biên độ dao động $(A>0), \omega t+\varphi$ là pha của dao động tại thời điểm $t$ và $\varphi \in[-\pi ; \pi]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).
Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình $x(t)=-5 \cos 4 \pi t(\mathrm{~cm})$.
a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.
b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t=2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

$5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \tan x$ HĐ6. Cho hàm số $y = \tan x$. a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \ta$

$Ví dụ 6. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[ -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$ để hàm số $y = \tan x$: a) Nhận giá$

$Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$. Hàm số $y = \cot x$: Có tập xác định là $\mathbb{R} \setminus {k\p$

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$.
Hàm số $y = \cot x$:
Có tập xác định là $\mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$;
Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$;
Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$;
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 7. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ để hàm số $y = \cot x$:
a) Nhận giá trị bằng 0;
b) Nhận giá trị âm.
Giải
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$, $y = 0$ khi $x = -\frac{\pi}{2}$; $x = \frac{\pi}{2}$; $x = \frac{3\pi}{2}$.
b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ thì $y < 0$ khi $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$.
Luyện tập 7. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ để hàm số $y = \cot x$ nhận giá trị dương.
BÀI TẬP
1.14. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$;
b) $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2 - \cos x}}$.
1.15. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) $y = \sin 2x + \tan 2x$;
b) $y = \cos x + \sin^2 x$;
c) $y = \sin x \cos 2x$;
d) $y = \sin x + \cos x$.
1.16. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$;
b) $y = \sqrt{1 + \cos x} - 2$.
1.17. Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x = 0$.
1.18. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h(t) = 90\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)$, trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản THUẬT NGỮ Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác cơ bản Công thức nghiệm KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết công thức n

$Luyện tập 1. Xét sự tương đương của hai phương trình sau: $$\frac{x-1}{x+1}=0 \text{ và } x^2-1=0.$$ Chú ý. Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phươn$

Luyện tập 1. Xét sự tương đương của hai phương trình sau:
$$\frac{x-1}{x+1}=0 \text{ và } x^2-1=0.$$
Chú ý. Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:
$$f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x).$$
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác $0$ hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác $0$:
$$f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x) h(x)=g(x) h(x),(h(x) \neq 0).$$
2. PHƯƠNG TRÌNH $\sin x=m$
HD2. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $[0 ; 2 \pi)$.
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Minh hoạ bằng đồ thị: Nghiệm của phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$.
Hình 1.19
Hình 1.20. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$
Tổng quát, xét phương trình $\sin x=m()$.
– Nếu $|m|>1$ thì phương trình $()$ vô nghiệm vì $|\sin x| \leq 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
– Nếu $|m| \leq 1$ thì tồn tại duy nhất $\alpha \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha=m$. Khi đó, trên đoạn có độ dài $2 \pi$ là $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right]$, phương trình (*) có các nghiệm $\alpha$ và $\pi-\alpha$ (H.1.21).
Hình 1.21

$Do tính tuần hoàn với chu kì $2\pi$ của hàm sin, ta chỉ việc cộng vào các nghiệm này các bội nguyên của $2\pi$ thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình (*$

Do tính tuần hoàn với chu kì $2\pi$ của hàm sin, ta chỉ việc cộng vào các nghiệm này các bội nguyên của $2\pi$ thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình (*).
Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \le 1$.
Khi $|m| \le 1$, sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha = m$. Khi đó $\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Chú ý
a) Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì
$\sin x = \sin \alpha^\circ \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha^\circ + k360^\circ \ x = 180^\circ - \alpha^\circ + k360^\circ \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
b) Một số trường hợp đặc biệt:
$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
$\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\sin x = \frac{1}{3}$.
Giải
a) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \ x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
$\sin u = \sin v \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + k2\pi \ u = \pi - v + k2\pi \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
b) Gọi $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ là góc thoả mãn $\sin \alpha = \frac{1}{3}$. Khi đó ta có:
$\sin x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 3. Giải phương trình $\sin 2x = \sin(60^\circ - 3x)$.
Giải
$\sin 2x = \sin(60^\circ - 3x) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 60^\circ - 3x + k360^\circ \ 2x = 180^\circ - (60^\circ - 3x) + k360^\circ \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 5x = 60^\circ + k360^\circ \ -x = 120^\circ + k360^\circ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 12^\circ + k72^\circ \ x = -120^\circ - k360^\circ \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
$x = 12^\circ + k72^\circ$ $(k \in \mathbb{Z})$ và $x = -120^\circ - k360^\circ$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 4. Giải bài toán ở tình huống mở đầu. Giải Chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình bên. Khi đó,

$Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \le 1$. Khi $|m| \le 1$, sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in [0; \pi]$ thoả mãn $\cos \alpha = m$. Khi đó $\$

Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \le 1$.
Khi $|m| \le 1$, sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in [0; \pi]$ thoả mãn $\cos \alpha = m$. Khi đó
$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
Hình 1.22b
Chú ý
a) Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì
$\cos x = \cos \alpha^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha^\circ + k360^\circ \ x = -\alpha^\circ + k360^\circ \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
b) Một số trường hợp đặc biệt:
• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
• $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
• $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\cos x = 0,1$.
Giải
a) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
b) Gọi $\alpha \in [0; \pi]$ là góc thoả mãn $\cos \alpha = 0,1$. Khi đó ta có:
$\cos x = 0,1 \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
$\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 6. Giải phương trình $\cos 2x = \cos(45^\circ - x)$.
Giải
$\cos 2x = \cos(45^\circ - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = 45^\circ - x + k360^\circ \ 2x = -(45^\circ - x) + k360^\circ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = 45^\circ + k360^\circ \ x = -45^\circ + k360^\circ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 15^\circ + k120^\circ \ x = -45^\circ + k360^\circ \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z}).$
Luyện tập 3. Giải các phương trình sau: a) $2\cos x = -\sqrt{2}$; b) $\cos 3x - \sin 5x = 0$.
Vận dụng
Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là $\alpha \ (0^\circ \le \alpha \le 360^\circ)$ thì tỉ lệ $F$ của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức
$F = \frac{1}{2}(1 - \cos \alpha).$
(Theo usno.navy.mil).

$Xác định góc $\alpha$ tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng: a) $F = 0$ (trăng mới); b) $F = 0{,}25$ (trăng lưỡi liềm); c) $F = 0{,}5$ (trăng bán nguyệt đầu t$

5. PHƯƠNG TRÌNH cot x = m HĐ5. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = −1 a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số y

$6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ Các phím $(\sin^{-1})$, $(\cos^{-1})$ và $(\tan^{-1})$ của máy tính cầm tay được dùng$

6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ
Các phím $(\sin^{-1})$, $(\cos^{-1})$ và $(\tan^{-1})$ của máy tính cầm tay được dùng để tìm số đo (độ hoặc radian) của một góc khi biết một trong các giá trị lượng giác của nó.
Đề tìm số đo ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ D), ta ấn SHIFT MODE 3
Muốn tìm số đo radian (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ R), ta ấn SHIFT MODE 4
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết sin, côsin hay tang của góc $\alpha$ cần tìm bằng $m$, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS và TAN, rồi nhập giá trị lượng giác $m$ và cuối cùng ấn phím =. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$ (độ hoặc radian).
Chú ý
Khi ở chế độ radian, các phím $(\sin^{-1})$, $(\tan^{-1})$, cho kết quả là một số thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, phím $(\cos^{-1})$ cho kết quả là một số thuộc khoảng $(0; \pi)$, tất nhiên với $(\sin^{-1})$ và $(\cos^{-1})$ thì $|m| \leq 1$.
Khi ở chế độ số đo độ, các phím $(\sin^{-1})$ và $(\tan^{-1})$ cho kết quả là số đo góc $\alpha$ từ $-90^{\circ}$ đến $90^{\circ}$, phím $(\cos^{-1})$ cho kết quả là số đo góc $\alpha$ từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$, với $(\sin^{-1})$ và $(\cos^{-1})$ thì $|m| \leq 1$.
Khi có kết quả (trường hợp chọn đơn vị đo độ), ấn phím [°'"] thì đưa kết quả về dạng độ - phút - giây.
Ví dụ 9. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc $\alpha$, biết $\sin \alpha = 0{,}58$.
Giải
Số đo độ:
$\sin \alpha$, Bấm phím, Màn hình hiện, Kết quả của $\alpha$ (gần đúng)
$0{,}58$, SHIFT MODE 3 SHIFT sin 0 . 5 8 = °'", $35{,}45054264$, $35^{\circ}27'2''$
Số đo radian:
$\sin \alpha$, Bấm phím, Màn hình hiện, Kết quả của $\alpha$ (gần đúng)
$0{,}58$, SHIFT MODE 4 SHIFT sin 0 . 5 8 =, $0{,}6187286907$, $0{,}61873$
Luyện tập 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc $\alpha$, biết:
a) $\cos \alpha = -0{,}75$;
b) $\tan \alpha = 2{,}46$;
c) $\cot \alpha = -6{,}18$.

$BÀI TẬP 1.19. Giải các phương trình sau: a) $\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; b) $2\cos x = - \sqrt 2$; c) $\sqrt 3 \tan \left( {\frac{x}{2} + {{15}^ \circ }} \r$

BÀI TẬP
1.19. Giải các phương trình sau:
a) $\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$;
b) $2\cos x = - \sqrt 2$;
c) $\sqrt 3 \tan \left( {\frac{x}{2} + {{15}^ \circ }} \right) = 1$;
d) $\cot \left( {2x - 1} \right) = \cot \frac{\pi }{5}$.
1.20. Giải các phương trình sau: a) $\sin 2x + \cos 4x = 0$; b) $\cos 3x = - \cos 7x$.
1.21. Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0 = 500$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha}}{x^2} + x\tan \alpha$, ở đó $g = 9,8$ m/s² là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).
b) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
1.22. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
$$x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right).$$
Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần.
Em có biết?
Lượng giác được phát triển bởi các nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại, những người coi bầu trời là nằm bên trong của một mặt cầu, do đó lẽ tự nhiên là các hình tam giác trên mặt cầu được nghiên cứu khá sớm bởi Menelaus ở Alexandria vào khoảng năm 100 sau Công nguyên và các hình tam giác trên mặt phẳng được nghiên cứu muộn hơn nhiều. Cuốn sách đầu tiên chứa đựng các phương pháp xử lí có hệ thống về lượng giác phẳng và lượng giác cầu được viết bởi nhà thiên văn học người Ba Tư Nasir Eddin, khoảng năm 1250 sau Công nguyên.
Regiomontanus (1436 – 1476) là người có công lớn trong việc chuyển Lượng giác từ Thiên văn học sang Toán học. Công trình của ông đã được cải tiến bởi Copernicus (1473 – 1543) và một học trò của Copernicus là Rhaeticus (1514 – 1576). Cuốn sách của Rhaeticus là cuốn sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác là tỉ số các cạnh của tam giác, mặc dù ông chưa đưa ra tên gọi như hiện nay của chúng. Các tên gọi và kí hiệu như ngày nay chúng ta dùng được đưa ra bởi Leonhard Euler (1707 – 1783), người đã xây dựng lí thuyết hiện đại về các hàm số lượng giác trong cuốn “Mở đầu về giải tích các đại lượng vô cùng bé” xuất bản năm 1748.
Lượng giác là ngành khoa học có nhiều ứng dụng. Có thể kể đến việc sử dụng Lượng giác trong các vấn đề đo đạc của Thiên văn và Địa lí, cũng như những ứng dụng phong phú của Lượng giác trong Lí thuyết số, Cơ học, Điện học, Hoá học, Sinh học, Hải dương học, Đồ hoạ máy tính, Lí thuyết âm nhạc và nhiều lĩnh vực khác.
(Theo C.B. Boyer, U.C. Merzbach, A History of Mathematics, Third Edition, Wiley, 2011).

$Bài tập cuối chương I A – TRẮC NGHIỆM 1.23. Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = -\frac{5\pi}{6}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, $\gamma = \frac{25\pi}{3}$, $\delt$

Bài tập cuối chương I
A – TRẮC NGHIỆM
1.23. Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = -\frac{5\pi}{6}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, $\gamma = \frac{25\pi}{3}$, $\delta = \frac{17\pi}{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
A. $\beta$ và $\gamma$.
B. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
C. $\beta$, $\gamma$, $\delta$.
D. $\alpha$ và $\beta$.
1.24. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
B. $\cos(\pi - \alpha) = \cos \alpha$.
C. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$.
D. $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.
1.25. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
B. $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$.
C. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
D. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
1.26. Rút gọn biểu thức $M = \cos(a + b)\cos(a - b) - \sin(a + b)\sin(a - b)$, ta được
A. $M = \sin 4a$.
B. $M = 1 - 2\cos^2 a$.
C. $M = 1 - 2\sin^2 a$.
D. $M = \cos 4a$.
1.27. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là $[-1; 1]$.
C. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
1.28. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A. $y = \tan x + x$.
B. $y = x^2 + 1$.
C. $y = \cot x$.
D. $y = \frac{\sin x}{x}$.
1.29. Đồ thị của các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-2\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ ?
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
1.30. Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x}{\sin x - 1}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus {k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.
B. $\mathbb{R} \setminus \left{\frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right}$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right}$.
D. $\mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.

$B – TỰ LUẬN 1.31. Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\sin\le$

B – TỰ LUẬN
1.31. Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$;
b) $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$;
c) $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$;
d) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$.
1.32. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$;
b) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$.
1.33. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 1$;
b) $y = \sin x + \cos x$.
1.34. Giải các phương trình sau:
a) $\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b) $2\sin^2 x - 1 + \cos 3x = 0$;
c) $\tan\left(2x + \frac{\pi}{5}\right) = \tan\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.
1.35. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số
$$p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t),$$
trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số $p(t)$.
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
1.36. Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới $i$ liên hệ với góc khúc xạ $r$ bởi Định luật khúc xạ ánh sáng
$$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1}.$$
Ở đây, $n_1$ và $n_2$ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới $i = 50^\circ$, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
Hình 1.26

Bài 5. Dãy số
Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số (hữu hạn và vô hạn), một loại hàm số mà biến số là những số nguyên dương, và trình bày một cách hệ thống hai dãy số đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn là cấp số cộng và cấp số nhân.
Bài 5. DÃY SỐ
THUẬT NGỮ
Dãy số
Dãy số tăng
Dãy số giảm
Dãy số bị chặn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
Thể hiện cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả.
Nhận biết tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản.
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân $P_n$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức $P_n = 500(1 + 0,02)^n$. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ
HD1. Nhận biết dãy số vô hạn
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$.
Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết được dãy gồm tất cả các số chính phương.
Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là $u = u(n)$.
Ta thường viết $u_n$ thay cho $u(n)$ và kí hiệu dãy số $u = u(n)$ bởi $(u_n)$, do đó dãy số $(u_n)$ được viết dưới dạng khai triển $u_1, u_2, u_3, ..., u_n, ...$
Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
Chú ý. Nếu $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = c$ thì $(u_n)$ được gọi là dãy số không đổi.

$Ví dụ 1. Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau: a) Dãy số $(u_n)$ các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: $1, 3, 5, 7, \dots$ b) Dãy số$

Ví dụ 1. Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:
a) Dãy số $(u_n)$ các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: $1, 3, 5, 7, \dots$
b) Dãy số $(v_n)$ các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn: $5, 10, 15, 20, \dots$
Giải
a) Dãy $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 1$ và số hạng tổng quát $u_n = 2n - 1$.
b) Dãy $(v_n)$ có số hạng đầu $v_1 = 5$ và số hạng tổng quát $v_n = 5n$.
HD2. Nhận biết dãy số hữu hạn
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng $u_n$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của $n$.
Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M = {1; 2; 3; \dots; m}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1, u_2, \dots, u_m$. Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, số $u_m$ gọi là số hạng cuối.
Ví dụ 2. Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.
a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.
Giải
a) Các số hạng của dãy số là: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$.
b) Số hạng đầu của dãy số này là 1 và số hạng cuối của dãy số là 19.
Luyện tập 1. a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
HD3. Nhận biết các cách cho một dãy số
Xét dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn:
$$5, 10, 15, 20, 25, 30, \dots$$
a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ $n$ theo số hạng thứ $n - 1$ của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Hãy để ý đến hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số.

Một dãy số có thể cho bằng:
Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy số hữu hạn và có ít số hạng);
Công thức của số hạng tổng quát;
Phương pháp mô tả;
Phương pháp truy hồi.
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hạng tổng quát sau:
a) $u_n = 2n$;
b) $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.
Giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: $2, 4, 6, 8, 10$.
Số hạng thứ $100$ của dãy số là $u_{100} = 2 \cdot 100 = 200$.
b) Năm số hạng đầu của dãy số là: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}$.
Số hạng thứ $100$ của dãy số là $u_{100} = \frac{(-1)^{100}}{100} = \frac{1}{100}$.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ mà chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.
Ví dụ 4. Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.
Giải. Năm số hạng đầu của dãy số là: $2, 3, 5, 7, 11$.
Chú ý. Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ $n$ là số nguyên tố thứ $n$). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ $n$ theo $n$ (với $n$ bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ $n$ theo một vài số nguyên tố đứng trước nó.
Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ $n$ của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Ví dụ 5. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bằng hệ thức truy hồi:
$$u_1 = 1, u_n = 3u_{n-1} + 2 \text{ với } n \ge 2.$$
Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
Giải
Ta có: $u_1 = 1, u_2 = 3u_1 + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5, u_3 = 3u_2 + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$.
Ví dụ 6. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Ở đây ta có $n = 2030 - 2020 = 10$. Vậy số dân của thành phố đó vào năm $2030$ sẽ là
$$P_{10} = 500 \cdot (1,02)^{10} \approx 609 \text{ (nghìn người)}.$$
Luyện tập 2.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = n!$.
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi
$$\begin{cases} F_1 = 1, F_2 = 1 \ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \ge 3). \end{cases}$$

$Chú ý. Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{2^n}$. Nă$

Chú ý. Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{2^n}$. Năm số hạng đầu của dãy số này là $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = \frac{1}{4}$, $u_3 = -\frac{1}{8}$, $u_4 = \frac{1}{16}$, $u_5 = -\frac{1}{32}$ và được biểu diễn trên trục số như sau:
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
HĐ4. Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
a) Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_n$.
b) Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = \frac{1}{n^2}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_n$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Ví dụ 7. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, với $u_n = -2n + 5$.
Giải
Ta có
$u_{n+1} - u_n = [-2(n + 1) + 5] - (-2n + 5) = (-2n + 3) + 2n - 5 = -2 < 0$, tức là $u_{n+1} < u_n$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
Luyện tập 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, với $u_n = \frac{1}{n+1}$.
HĐ5. Nhận biết dãy số bị chặn
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n+1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) So sánh $u_n$ và 1.
b) So sánh $u_n$ và 2.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m, M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Ví dụ 8. Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$, với $u_n = \frac{n-1}{n}$.

$Giải Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên, vì $u_n = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Dãy số $(u_n)$ cũng bị chặn dưới, vì $u_n = \frac{$

Giải
Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên, vì $u_n = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ cũng bị chặn dưới, vì $u_n = \frac{n-1}{n} \ge 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn.
» Luyện tập 4. Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$, với $u_n = 2n - 1$.
» Vận dụng. Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ $n$ mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:
$$s_1 = 200, s_n = s_{n-1} + 25 \text{ với } n \ge 2.$$
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
BÀI TẬP
2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát cho bởi:
a) $u_n = 3n - 2$;
b) $u_n = 3 \cdot 2^n$;
c) $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
2.2. Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $u_1 = 1, u_n = n \cdot u_{n-1}$ với $n \ge 2$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.
2.3. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n = 2n - 1$;
b) $u_n = -3n + 2$;
c) $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}$.
2.4. Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_n = n - 1$;
b) $u_n = \frac{n+1}{n+2}$;
c) $u_n = \sin n$;
d) $u_n = (-1)^{n-1}n^2$.
2.5. Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1.
2.6. Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức
$$A_n = 100\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^n.$$
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

$2.7. Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất $0,8%$ số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi $A_n \$

2.7. Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất $0,8%$ số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi $A_n \ (n \in \mathbb{N})$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau $n$ tháng.
a) Tìm lần lượt $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_n)$.
Em có biết?
Dãy số Fibonacci
Fibonacci là nhà toán học nổi tiếng người Italia. Trong cuốn sách Liber Abaci (Sách tính) của ông, được viết năm 1202, có bài toán sau:
"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?".
Việc giải quyết bài toán nói trên dẫn đến việc nghiên cứu dãy số $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi
$$
\begin{cases} F_1 = 1, F_2 = 1 \ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \ (n \geq 3). \end{cases}
$$
Fibonacci (1170 – 1250)
Dãy số này được gọi là dãy số Fibonacci và các số hạng của nó được gọi là các số Fibonacci.
Người ta chứng minh được rằng số hạng tổng quát của dãy Fibonacci cho bởi
$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right].$$
Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất đẹp, chẳng hạn:
$F_n^2 = F_{n-1}F_{n+1} + (-1)^{n-1}$ với mọi $n \geq 2$;
$F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}$ với mọi $n \geq 1$;
$F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}$ với mọi $n \geq 1$.
Dãy số Fibonacci liên quan mật thiết với nhiều vấn đề của Toán học, Vật lí, Hội hoạ, Âm nhạc.
Các số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên.
Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: $F_4, F_5, F_6, F_7, F_8, F_9, F_{10}, F_{11}$. Chẳng hạn, hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa cải ô rô thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.

Bài 6. Cấp số cộng THUẬT NGỮ Cấp số cộng Công sai Số hạng tổng quát Tổng của $n$ số hạng đầu KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết một dãy số là cấp số cộng. Giải thích

$Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 5n - 1$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của nó. Giải Ta có $u_n - u_{n$

Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 5n - 1$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của nó.
Giải
Ta có $u_n - u_{n-1} = (5n - 1) - [5(n - 1) - 1] = 5$, với mọi $n \ge 2$.
Do đó $(u_n)$ là cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 5 \cdot 1 - 1 = 4$ và công sai $d = 5$.
Để chứng minh $(u_n)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp $u_n - u_{n-1}$ không đổi.
Luyện tập 1. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
HĐ2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
a) Tính các số hạng $u_2, u_3, u_4, u_5$ theo $u_1$ và $d$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo $u_1$ và $d$.
Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định theo công thức
$$u_n = u_1 + (n - 1)d.$$
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số cộng $(u_n)$: 10, 5, ...
Giải
Cấp số cộng này có số hạng đầu $u_1 = 10$ và công sai $d = 5 - 10 = -5$.
Do đó năm số hạng đầu là: 10, 5, 0, $-5$, $-10$.
Số hạng thứ 100 là $u_{100} = u_1 + (100 - 1)d = 10 + 99 \cdot (-5) = -485$.
Ví dụ 4. Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng $(u_n)$ bằng 48 và số hạng thứ 18 bằng 88. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.
Giải
Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $d$ là công sai của cấp số cộng đó. Ta có:
$$u_{10} = u_1 + 9d = 48$$
$$u_{18} = u_1 + 17d = 88.$$
Giải hệ này ta được $u_1 = 3$ và $d = 5$.
Vậy số hạng thứ 100 của cấp số cộng này là $u_{100} = u_1 + 99d = 3 + 99 \cdot 5 = 498$.
Luyện tập 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 4n - 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát $u_n$ dưới dạng $u_n = u_1 + (n - 1)d$.

3. TỔNG $n$ SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
HD3. Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
Để tính tổng của $n$ số hạng đầu
$$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1} + u_n,$$
hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$ theo số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
b) Viết $S_n$ theo thứ tự ngược lại: $S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_2 + u_1$ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo $u_1$ và $d$.
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính $S_n$ theo $u_1$ và $d$.
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Khi đó
$$S_n = \frac{n}{2}\big[2u_1 + (n - 1)d\big].$$
Chú ý. Sử dụng công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$, ta có thể viết tổng $S_n$ dưới dạng
$$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}.$$
Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải. Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu $u_1 = 16$ và công sai $d = 2$. Tổng các số hạng này là
$$S_{25} = u_1 + u_2 + \dots + u_{25} = \frac{25}{2}\big[2u_1 + (25 - 1)d\big] = \frac{25}{2}\big[2 \cdot 16 + 24 \cdot 2\big] = 1000.$$
Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1 000 ghế.
Ví dụ 6. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng 2, 5, 8, ... để được kết quả bằng 345?
Giải
Cấp số cộng này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có
$$345 = S_n = \frac{n}{2}\big[2u_1 + (n - 1)d\big] = \frac{n}{2}\big[2 \cdot 2 + (n - 1) \cdot 3\big] = \frac{n}{2}(3n + 1).$$
Do đó $3n^2 + n - 690 = 0$. Giải phương trình bậc hai này ta được $n = -\frac{230}{15}$ (loại) và $n = 15$.
Vậy phải lấy tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng 345.
Vận dụng. Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

$Góc công nghệ Kí hiệu tổng $\sum$ và cách tính tổng bằng máy tính cầm tay Cho dãy số $(u_n)$. Tổng $n$ số hạng đầu của dãy số này: $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_$

Góc công nghệ
Kí hiệu tổng $\sum$ và cách tính tổng bằng máy tính cầm tay
Cho dãy số $(u_n)$. Tổng $n$ số hạng đầu của dãy số này: $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ được kí hiệu ngắn gọn như sau: $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ (kí hiệu $\sum$ đọc là xích ma).
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng $n$ số hạng liên tiếp của một dãy số khi biết công thức của số hạng tổng quát.
Chẳng hạn, cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_n = 3n + 1$. Để tính tổng 35 số hạng đầu của dãy số đó, ta có thể dùng máy tính cầm tay, nhấn lần lượt các phím: SHIFT $\rightarrow$ x, [SHIFT] [$x^{\square}$]. Khi đó màn hình hiện ra như hình bên, lưu ý rằng giao diện máy tính mặc định là x, ở đây được hiểu là n trong công thức số hạng tổng quát.
Tiếp theo ta nhập công thức số hạng tổng quát vào trong ngoặc (), rồi nhấn $\downarrow$ để nhập giá trị đầu tiên của x (ở đây là 1), sau đó nhấn $\uparrow$ để nhập giá trị cuối cùng của x (trường hợp này là 35), cuối cùng nhấn phím [=]. Khi đó, màn hình sẽ hiển thị kết quả cần tính như hình bên.
BÀI TẬP
2.8. Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:
a) 4, 9, 14, 19, ...;
b) 1, -1, -3, -5, ...
2.9. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai $d$ và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n = u_1 + (n-1)d$.
a) $u_n = 3 + 5n$;
b) $u_n = 6n - 4$;
c) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + n$;
d) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + 3$.
2.10. Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.
2.11. Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?
2.12. Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
2.13. Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
2.14. Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Bài 7. Cấp số nhân
THUẬT NGỮ
Cấp số nhân
Công bội
Số hạng tổng quát
Tổng của $n$ số hạng đầu
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết một dãy số là cấp số nhân.
Giải thích công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).
1. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1. Nhận biết cấp số nhân
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3 \cdot 2^n$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_n$ và $u_{n-1}$.
Hãy xét tỉ số $\frac{u_n}{u_{n-1}}$.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$. Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ được cho bởi hệ thức truy hồi
$$u_n = u_{n-1} \cdot q \text{ với } n \ge 2.$$
? Dãy số không đổi $a, a, a, \dots$ có phải là một cấp số nhân không?
Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = -2$. Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.
Giải
Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:
$u_1 = 5, u_2 = u_1 \cdot q = 5 \cdot (-2) = -10, u_3 = u_2 \cdot q = (-10) \cdot (-2) = 20,$
$u_4 = u_3 \cdot q = 20 \cdot (-2) = -40, u_5 = u_4 \cdot q = (-40) \cdot (-2) = 80.$
Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{1}{3^{n-1}}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

$Giải Với mọi $n \ge 2$, ta có $\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{1}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^{n-2}}{1} = \frac{1}{3},$ tức là $u_n = \frac{1}{3} \cdot u_{n-1}$ với mọi$

Giải
Với mọi $n \ge 2$, ta có
$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{1}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^{n-2}}{1} = \frac{1}{3},$
tức là $u_n = \frac{1}{3} \cdot u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{3^0} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$.
Để chứng minh dãy số $(u_n)$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số $\frac{u_n}{u_{n-1}}$ không đổi.
Luyện tập 1. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
HD2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.
a) Tính các số hạng $u_2, u_3, u_4, u_5$ theo $u_1$ và $q$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ $n$ theo $u_1$ và $q$.
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức
$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ với $n \ge 2$.
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân: $8, -4, \dots$
Giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 8$ và công bội $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
Do đó năm số hạng đầu là: $8, -4, 2, -1, \frac{1}{2}$.
Số hạng thứ 100 là: $u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{99} = -\frac{1}{2^{96}}$.
Ví dụ 4. Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1 536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.
Giải
Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $q$ là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:
$\begin{cases} u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 1,536 \ u_{12} = u_1 \cdot q^{11} = 6,144. \end{cases}$
Từ đây suy ra $q^2 = 4$, tức là $q = 2$ hoặc $q = -2$.
Với $q = 2$, ta tính được $u_1 = 3$.
Với $q = -2$, ta tính được $u_1 = -3$ (trường hợp này loại vì $u_1 > 0$ theo giả thiết).

$Do đó $u_1 = 3$ và $q = 2$. Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là $u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 1,572,864$. Luyện tập 2. Trong một lọ nuô$

Do đó $u_1 = 3$ và $q = 2$.
Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là $u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 1,572,864$.
Luyện tập 2. Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
3. TỔNG CỦA $n$ SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
HD3. Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \neq 1$.
Để tính tổng của $n$ số hạng đầu
$$S_n = u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} + u_n,$$
thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_1$ và $q$ để được biểu thức tính tổng $S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với $q$ để được biểu thức tính tích $q \cdot S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $(1-q)S_n$ theo $u_1$ và $q$. Từ đó suy ra công thức tính $S_n$.
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \neq 1$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n$. Khi đó
$$S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}.$$
Nếu cấp số nhân có công bội $q = 1$ thì tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?
Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu $u_1 = 240$ và công bội $q = 1,05$. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng
$$S_{10} = \frac{u_1(1-q^{10})}{1-q} = \frac{240[1-(1,05)^{10}]}{1-1,05} \approx 3,019.$$
Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.
Ví dụ 6. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18, ... để được kết quả bằng 728?

$Giải Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có $$728 = S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_$

Giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có
$$728 = S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{2(1-3^n)}{1-3} = 3^n - 1.$$
Từ đây ta được $3^n = 729 = 3^6$. Suy ra $n = 6$.
Vậy phải lấy 6 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 728.
Vận dụng. Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:
– Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.
– Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.
Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?
BÀI TẬP
2.15. Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) $1, 4, 16, \dots$;
b) $2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots$
2.16. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội $q$ và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
a) $u_n = 5n$; b) $u_n = 5^n$; c) $u_1 = 1, u_n = nu_{n-1}$; d) $u_1 = 1, u_n = 5u_{n-1}$.
2.17. Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
2.18. Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5 115?
2.19. Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.
2.20. Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.
2.21. Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Bài tập cuối chương II A – TRẮC NGHIỆM 2.22. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới. B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên. C. Một dãy

B – TỰ LUẬN
2.27. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
2.28. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
2.29. Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng $(u_n)$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$$u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad \text{với } k \ge 2.$$
b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$$u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \quad \text{với } k \ge 2.$$
2.30. Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
2.31. Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sàn 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sàn.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sàn.
2.32. Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1 Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?
Hình 2.1

Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm Ở lớp 10 ta đã được làm quen với các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm. Trong nhiều trường hợp, ta chỉ có số liệu dưới d

1. GIỚI THIỆU VỀ MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HĐ1. Xét dữ liệu cho trong tình huống mở đầu.
a) Mẫu số liệu về tổng điểm, kí hiệu là (T), có bao nhiêu giá trị?
b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu (T) thì có dễ hình dung được bức tranh tổng thể về kết quả thi không? Vì sao?
c) Mẫu số liệu (T) được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:
Tổng điểm, $< 6$, $[6; 7)$, $[7; 8)$, ..., $[28; 29)$, $[29; 30]$
Số thí sinh, 23, 69, 192, ..., 216, 12
Hãy đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trong bảng thống kê.
Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu. Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định. Nhóm số liệu thường được cho dưới dạng $[a; b)$, trong đó $a$ là đầu mút trái, $b$ là đầu mút phải.
Nhận xét
Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu của bài toán mà ta phải biểu diễn mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.
Trong một số trường hợp, nhóm số liệu cuối cùng có thể lấy đầu mút bên phải.
Ví dụ 1. Mẫu số liệu sau cho biết phân bố theo độ tuổi của dân số Việt Nam năm 2019.
Độ tuổi, Dưới 15 tuổi, Từ 15 đến dưới 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên
Số người, 23 371 882, 65 420 451, 7 416 651
(Theo Báo cáo số liệu tổng điều tra dân số năm 2019)
a) Mẫu số liệu đã cho có là mẫu số liệu ghép nhóm hay không?
b) Nêu các nhóm và tần số tương ứng. Dân số Việt Nam năm 2019 là bao nhiêu?
Giải
a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 đến dưới 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên. Có 23 371 882 người dưới 15 tuổi; 65 420 451 người từ 15 đến dưới 65 tuổi và 7 416 651 người từ 65 tuổi trở lên.
Dân số Việt Nam năm 2019 là $23,371,882 + 65,420,451 + 7,416,651 = 96,208,984$ người.
Luyện tập 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Thời gian, $[15; 20)$, $[20; 25)$, $[25; 30)$, $[30; 35)$, $[35; 40)$, $[40; 45)$, $[45; 50)$
Số nhân viên, 6, 14, 25, 37, 21, 13, 9
Đọc và giải thích mẫu số liệu này.

2. GHÉP NHÓM MẪU SỐ LIỆU
HD2. Chỉ số BMI (đo bằng w/h², trong đó w là cân nặng đơn vị là kilôgam, h là chiều cao đơn vị là mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:
19,2 21,1 16,8 23,5 20,6 25,2 18,7 19,1.
Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn 18,5 được xem là thiếu cân; từ 18,5 đến dưới 23 là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ 23 trở lên là thừa cân. Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bước 1. Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.
Bước 2. Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm.
• Độ dài của nhóm $[a; b)$ là $b - a$.
• Không nên chia thành quá nhiều nhóm hoặc quá ít nhóm. Các nhóm không giao nhau, các nhóm nên có độ dài như nhau và tổng độ dài các nhóm lớn hơn khoảng biến thiên.
Ví dụ 2. Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên (VĐV) trong một giải chạy Marathon.
Thời gian, 129, 130, 133, 134, 135, 136, 138, 141, 142, 143, 144, 145
Số VĐV, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 2, 5
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 3.
Giải
Giá trị nhỏ nhất là 129, giá trị lớn nhất là 145 nên khoảng biến thiên là $145 - 129 = 16$. Tổng độ dài của sáu nhóm là 18. Để cho thuận tiện, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 127,5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 145,5 ta được các nhóm là $[127,5; 130,5)$, $[130,5; 133,5)$, ..., $[142,5; 145,5)$. Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Thời gian, [127,5; 130,5), [130,5; 133,5), [133,5; 136,5), [136,5; 139,5), [139,5; 142,5), [142,5; 145,5)
Số VĐV, 3, 1, 4, 3, 7, 12
Luyện tập 2. Cân nặng (kg) của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:
43 51 47 62 48 40 50 62 53 56 40 48 56 53 50 42 55
52 48 46 45 54 52 50 47 44 54 55 60 63 58 55 60 58 53.
Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm $[40; 45)$.

Vận dụng. Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:
Chiều cao (cm), [150;160), [160; 167), [167; 170), [170; 175), [175; 180)
Cỡ áo, S, M, L, XL, XXL
Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của 36 học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là centimét):
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164
165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168
168 168 169 169 170 171 171 172 172 174.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.
b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?
BÀI TẬP
3.1. Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.
a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.
Số tiền (nghìn đồng), [0; 50), [50; 100), [100; 150), [150; 200), [200; 250)
Số sinh viên, 5, 12, 23, 17, 3
b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau:
Nhiệt độ ($^{\circ}C$), [19; 22), [22; 25), [25; 28), [28; 31)
Số ngày, 7, 15, 12, 6
3.2. Số sản phẩm mỗi công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:
18 25 39 12 54 27 46 25 19 8 36 22
20 19 17 44 5 18 23 28 25 34 46 27 16.
Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.
3.3. Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:
653 632 609 572 565 535 516 514 508 505 504 504 503 499 496 492.
(Theo https://www.premierleague.com)
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
THUẬT NGỮ
Số trung bình
Trung vị
Tứ phân vị
Mốt
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.
Hiểu ý nghĩa, vai trò của các số đặc trưng của mẫu số liệu thực tế.
Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: $x_1, x_2, ..., x_{35}$ trong đó $x_i$ là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ $i$. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:
Số tiền (nghìn đồng), [0; 30), [30; 60), [60; 90), [90; 120)
Số khách hàng, 3, 15, 10, 7
Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Chúng ta cùng tìm hiểu vấn đề này!
1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HĐ1. Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên.
a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không?
c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?
Mỗi ngày em tự học trong bao nhiêu giờ?
A. Dưới 1,5 giờ.
B. Từ 1,5 giờ đến dưới 3 giờ.
C. Từ 3 giờ đến dưới 4,5 giờ.
D. Từ 4,5 giờ trở lên.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
Nhóm, $[a_1; a_2)$, ..., $[a_i; a_{i+1})$, ..., $[a_k; a_{k+1})$
Tần số, $m_1$, ..., $m_i$, ..., $m_k$
Bảng 3.2
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}$.
$$\bar{x} = \frac{m_1x_1 + ... + m_kx_k}{n}$$
trong đó $n = m_1 + ... + m_k$ là cỡ mẫu và $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ ($i = 1, ..., k$) là giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$.

$Chú ý. Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng $k_1$ - $k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$. Nhóm $k_1$ - $k_2$ được hiểu là nhóm g$

Chú ý. Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng $k_1$ - $k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$. Nhóm $k_1$ - $k_2$ được hiểu là nhóm gồm các giá trị $k_1, k_1 + 1, ..., k_2$. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm $k_1$ - $k_2$ với $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ thành nhóm $[k_1 - 0,5; k_2 + 0,5)$. Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong Bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được Bảng 3.4.
Điểm thi, 1-4, 5-7, 8-10
Số học sinh, 5, 20, 10
Bảng 3.3
Điểm thi, [0,5; 4,5), [4,5; 7,5), [7,5; 10]
Số học sinh, 5, 20, 10
Bảng 3.4
Ví dụ 1. Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong Bảng 3.5.
Cân nặng (kg), [40,5; 45,5), [45,5; 50,5), [50,5; 55,5), [55,5; 60,5), [60,5; 65,5), [65,5; 70,5)
Số học sinh, 10, 7, 16, 4, 2, 3
Bảng 3.5. Cân nặng của học sinh lớp 11D
Giải
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Cân nặng (kg), 43, 48, 53, 58, 63, 68
Số học sinh, 10, 7, 16, 4, 2, 3
Tổng số học sinh là $n = 42$. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là
$$\bar{x} = \frac{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}{42} \approx 51,81 \text{ (kg)}.$$
Luyện tập 1. Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian (giờ), [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25)
Số học sinh, 8, 16, 4, 2, 2
Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.
Ý nghĩa. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HĐ2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 21 cây na giống.
Chiều cao (cm), [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20)
Số cây, 3, 8, 7, 3
Gọi $x_1, x_2, ..., x_{21}$ là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, $x_1, ..., x_3$ thuộc [0; 5), $x_4, ..., x_{11}$ thuộc [5; 10), ... Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$.
Bước 2. Trung vị là $M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - (m_1 + ... + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$,
trong đó $n$ là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm $p$. Với $p = 1$, ta quy ước $m_1 + ... + m_{p-1} = 0$.
Ví dụ 2. Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút), [9,5; 12,5), [12,5; 15,5), [15,5; 18,5), [18,5; 21,5), [21,5; 24,5)
Số học sinh, 3, 12, 15, 24, 2
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Giải
Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$.
Gọi $x_1, ..., x_{56}$ là thời gian truy cập Internet của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{x_{28} + x_{29}}{2}$. Do hai giá trị $x_{28}, x_{29}$ thuộc nhóm $[15,5; 18,5)$ nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, $p = 3; a_3 = 15,5; m_3 = 15; m_1 + m_2 = 3 + 12 = 15; a_4 - a_3 = 3$ và ta có
$$M_e = 15,5 + \frac{\frac{56}{2} - 15}{15} \cdot 3 = 18,1.$$
Luyện tập 2. Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên. Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Tốc độ $v$ (km/h), Số lần
$150 \le v < 155$, 18
$155 \le v < 160$, 28
$160 \le v < 165$, 35
$165 \le v < 170$, 43
$170 \le v < 175$, 41
$175 \le v < 180$, 35
Ý nghĩa. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.
3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm nào.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng 3.2.
Với tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ lần lượt có 25%, 50%, 75% số giá trị nhỏ hơn $Q_1, Q_2, Q_3$.

$Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_1$, giả sử đó là nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$. Khi đó, $$Q_1 =$

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_1$, giả sử đó là nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$. Khi đó,
$$Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - (m_1 + ... + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p),$$
trong đó $n$ là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm $p$, với $p=1$ ta quy ước $m_1 + ... + m_{p-1} = 0$.
Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_3$. Giả sử đó là nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$. Khi đó,
$$Q_3 = a_p + \frac{\frac{3n}{4} - (m_1 + ... + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p),$$
trong đó $n$ là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm $p$, với $p=1$ ta quy ước $m_1 + ... + m_{p-1} = 0$.
Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị $M_e$.
Ví dụ 3. Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm cho trong Ví dụ 2.
Giải
Cỡ mẫu là $n = 56$.
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là $\frac{x_{14} + x_{15}}{2}$. Do $x_{14}, x_{15}$ đều thuộc nhóm $[12,5; 15,5)$ nên nhóm này chứa $Q_1$. Do đó, $p = 2; a_2 = 12,5; m_2 = 12; m_1 = 3; a_3 - a_2 = 3$ và ta có
$$Q_1 = 12,5 + \frac{\frac{56}{4} - 3}{12} \cdot 3 = 15,25.$$
Với tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là $\frac{x_{42} + x_{43}}{2}$. Do $x_{42}, x_{43}$ đều thuộc nhóm $[18,5; 21,5)$ nên nhóm này chứa $Q_3$. Do đó, $p = 4; a_4 = 18,5; m_4 = 24; m_1 + m_2 + m_3 = 3 + 12 + 15 = 30; a_5 - a_4 = 3$ và ta có
$$Q_3 = 18,5 + \frac{\frac{3 \cdot 56}{4} - 30}{24} \cdot 3 = 20.$$
Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$ nhờ tính chất: có khoảng $\left( \frac{r \cdot n}{4} \right)$ giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
Luyện tập 3. Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
Ý nghĩa. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HD4. Với số liệu cho trong Luyện tập 1:
a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt?
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm $j$: $[a_j; a_{j+1})$.
Bước 2. Mốt được xác định là: $M_o = a_j + \frac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h$
trong đó $m_j$ là tần số của nhóm $j$ (quy ước $m_0 = m_{k+1} = 0$) và $h$ là độ dài của nhóm.
Lưu ý. Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.
Ví dụ 4. Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.
Khoảng chiều cao (cm), [145; 150), [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170)
Số học sinh, 7, 14, 10, 10, 9
Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?
Giải
Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150; 155). Ta có, $j = 2$, $a_2 = 150$, $m_2 = 14$, $m_1 = 7$, $m_3 = 10$, $h = 5$. Do đó
$$M_o = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} \cdot 5 \approx 153,18.$$
Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm là nhiều nhất.
Luyện tập 4. Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
Thời gian (phút), [0,5; 10,5), [10,5; 20,5), [20,5; 30,5), [30,5; 40,5), [40,5; 50,5)
Số học sinh, 2, 10, 6, 4, 3
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Ý nghĩa. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Vận dụng. Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

BÀI TẬP 3.4. Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau: 5 3 10 20 25 11 13 7 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 2

Em có biết? Ta có thể sử dụng phần mềm GeoGebra để tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 theo các bước sau đây: Bước 1. Lập bảng tần số tí

Bài tập cuối chương III A – TRẮC NGHIỆM Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau: Thời gian (phú

Chương IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Ở các lớp dưới, ta đã học về Hình học phẳng, môn học nghiên cứu tính chất của các hình trong mặt phẳng như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn,... Tuy nhiên, các vật thể thường gặp trong thực tế đời sống như hộp phấn, cục tẩy, chặn giấy là các hình trong không gian. Một số tính chất của những hình này đã được giới thiệu và thừa nhận trong phần Hình học trực quan. Trong chương này, ta sẽ tiếp tục học về Hình học không gian, môn học nghiên cứu tính chất của các hình trong không gian dựa trên các lập luận toán học logic và chặt chẽ. Nội dung chính của chương liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng trong không gian và vị trí tương đối giữa chúng.
Hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong xây dựng và đồ hoạ như vẽ kĩ thuật, in 3D, thiết kế với sự hỗ trợ của máy tính CAD (Computer Aided Design).
Bài 10. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
THUẬT NGỮ
Mặt phẳng
Điểm thuộc mặt phẳng
Các điểm đồng phẳng
Giao tuyến của hai mặt phẳng
Hình chóp và hình tứ diện
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết các quan hệ liên thuộc cơ bản giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
Mô tả ba cách xác định mặt phẳng.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Nhận biết hình chóp và hình tứ diện.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
Điểm, đường thẳng và mối quan hệ liên thuộc giữa hai đối tượng hình học này đã được giới thiệu trong Hình học phẳng. Bài này tiếp tục trình bày một đối tượng hình học khác là mặt phẳng, đồng thời nghiên cứu mối quan hệ liên thuộc giữa điểm, đường thẳng với mặt phẳng.

1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Mặt bằng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
Chú ý
Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.
Hình 4.1
Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Trong Hình 4.1, ta có mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(\alpha)$.
Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế.
HĐ1. Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.
a) b)
Hình 4.2
– Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $A \in (P)$.
– Điểm $B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $B \notin (P)$.
Nếu $A \in (P)$ ta còn nói $A$ nằm trên $(P)$, hoặc $(P)$ chứa $A$, hoặc $(P)$ đi qua $A$.
Chú ý. Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:
– Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
– Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
– Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
– Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
Hình 4.3. Hình biểu diễn của hình chóp tam giác đều và hình lập phương

2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
» HĐ2. Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm $A, B$ của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm $A, B$ hay không?
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
❓ Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?
» HĐ3. Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.
a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nhận xét. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ là $(ABC)$. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.
Hình 4.4
❓ Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?
Cửu đỉnh bằng đồng ở cố đô Huế là một di sản văn hoá có giá trị to lớn của Việt Nam.
» Ví dụ 1. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng (H.4.5). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?
Giải
Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho, đó là các mặt phẳng $(DAB), (DAC), (DBC)$ và $(ABC)$.
» Luyện tập 1. Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?
Hình 4.5
» Vận dụng 1. Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi,...

HĐ4. Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không? Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thu

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB, AC$ (H.4.8).
a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN), (SCM)$ và khác điểm $S$.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ có đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ hay không?
Giải
a) Trong tam giác $ABC$, hai đường trung tuyến $BN$ và $CM$ cắt nhau tại trọng tâm $G$ của tam giác. Điểm $G$ thuộc $BN$ nên cũng thuộc mặt phẳng $(SBN)$. Điểm $G$ thuộc $CM$ nên cũng thuộc mặt phẳng $(SCM)$. Vậy $G$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$.
Hình 4.8
b) Vì $S, G$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $SG$. Đường thẳng này đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Nhận xét. Hai đường trung tuyến trong một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác là một tính chất đã được học trong hình học phẳng. Trong ví dụ trên, tính chất này đã được áp dụng cho tam giác $ABC$ trong mặt phẳng $(ABC)$.
Trong trường hợp tổng quát, ta có tính chất sau:
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SCN)$.
3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Ở mục 2, ta đã thừa nhận kết quả sau:
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Mục này sẽ tiếp tục giới thiệu thêm hai cách xác định một mặt phẳng.
HD6. Cho đường thẳng $d$ và điểm $A$ không thuộc $d$. Trên đường thẳng $d$ lấy hai điểm phân biệt $B, C$ (H.4.9). Mặt phẳng $(ABC)$ có chứa điểm $A$ và đường thẳng $d$ hay không? Mặt phẳng $(ABC)$ có chứa hai đường thẳng $AB$ và $BC$ hay không?
Hình 4.9
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý. Mặt phẳng được xác định bởi điểm $A$ và đường thẳng $d$ không chứa $A$ được kí hiệu là mp($A, d$). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ được kí hiệu là mp($a, b$).
▶ Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và gọi $S$ là một điểm không thuộc mp($a, b$) (H.4.10). Xác định giao tuyến của mp($S, a$) và mp($S, b$).
Hình 4.10
Giải
Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$. Vì $M$ thuộc $a$ nên $M$ thuộc mp($S, a$). Vì $M$ thuộc $b$ nên $M$ thuộc mp($S, b$). Hai điểm $S, M$ cùng thuộc mp($S, a$) và mp($S, b$) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng $SM$.
▶ Luyện tập 4. Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng $c$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp($S, a$) và mp($S, c$); mp($S, b$) và mp($S, c$).
▶ Vận dụng 2. Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to dập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.
4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
▶ HĐ7. Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?
Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh $A_1, A_2, ..., A_n$ để được $n$ tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3, ..., SA_nA_1$. Hình gồm $n$ tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3, ..., SA_nA_1$ và đa giác $A_1A_2...A_n$ được gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1A_2...A_n$.
Trong hình chóp $S.A_1A_2...A_n$, điểm $S$ được gọi là đỉnh và đa giác $A_1A_2...A_n$ được gọi là mặt đáy; các tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3, ..., SA_nA_1$ được gọi là các mặt bên; các cạnh $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ được gọi là các cạnh bên; các cạnh $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ được gọi là các cạnh đáy.
Chú ý
Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ (H.4.11). Hình chóp đó có bao nhiêu cạnh?
Giải
Hình chóp $S.ABCD$ có 8 cạnh là $SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA$.
Hình 4.11
Luyện tập 5. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.
HD8. Trong các hình chóp ở HD7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.
Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC, ACD, ABD$ và $BCD$ được gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là $ABCD$.
Trong hình tứ diện $ABCD$, các điểm $A, B, C, D$ được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA, AC, BD$ được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ được gọi là các mặt của tứ diện.
Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.
Nhận xét. Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.
Ví dụ 6. Cho hình tứ diện $ABCD$ và $E$ là một điểm nằm trong tam giác $BCD$. Gọi $F$ là một điểm nằm giữa $A$ và $E$ (H.4.12). Xác định giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.
Giải
Vì điểm $E$ nằm trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $BE$ cắt cạnh $CD$ tại một điểm $M$. Các điểm $A, E$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$ nên đường thẳng $AE$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$, do đó điểm $F$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$. Như vậy các điểm $A, B, E, F, M$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABM)$.
Trong tam giác $ABM$, đường thẳng $BF$ cắt $AM$ tại $N$. Vì $N$ thuộc $AM$ và $A, M$ cùng thuộc mặt phẳng $(ACD)$ nên $N$ thuộc mặt phẳng $(ACD)$. Vậy $N$ là giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.
Hình 4.12
Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Luyện tập 6. Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$.

BÀI TẬP
4.1. Trong không gian, cho hai đường thẳng $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $a$ chứa một điểm nằm trong $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.
b) Nếu $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.
c) Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $(P)$ thì giao điểm (nếu có) của $a$ và $b$ cũng nằm trong $(P)$.
d) Nếu $a$ nằm trong $(P)$ và $a$ cắt $b$ thì $b$ nằm trong $(P)$.
4.2. Cho tam giác $ABC$ và điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Lấy $D$, $E$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA$, $SB$ và $D$, $E$ khác $S$.
a) Đường thẳng $DE$ có nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ không?
b) Giả sử $DE$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$.
4.3. Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng $a$, $b$ nằm trong $(P)$. Một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng $c$ nằm trong mặt phẳng $(P)$.
4.4. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và $M$ là một điểm thuộc cạnh $SC$ ($M$ khác $S$, $C$). Giả sử hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$.
4.5. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và lấy một điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ của hình chóp ($E$ khác $S$, $A$). Trong mặt phẳng $(ABCD)$ vẽ một đường thẳng $d$ cắt các cạnh $CB$, $CD$ lần lượt tại $M$, $N$ và cắt các tia $AB$, $AD$ lần lượt tại $P$, $Q$.
a) Xác định giao điểm của mp($E$, $d$) với các cạnh $SB$, $SD$ của hình chóp.
b) Xác định giao tuyến của mp($E$, $d$) với các mặt của hình chóp.
4.6. Cho hình tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC$, $BC$, $BD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $AM = CM$, $BN = CN$, $BP = 2DP$.
a) Xác định giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.
4.7. Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.
4.8. Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Bài 11. Hai đường thẳng song song THUẬT NGỮ Hai đường thẳng đồng phẳng Hai đường thẳng chéo nhau KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳ

Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn. Dệt vải bằng khung cửi, một trong những nét đẹp văn hoá của một

Ví dụ 2. Cho hình tứ diện $ABCD$ (H.4.18). Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.
Giải
Nếu hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng, trái với giả thiết $ABCD$ là hình tứ diện. Do đó, hai đường thẳng $AB$ và $CD$ chéo nhau.
Lập luận tương tự, ta thấy trong tứ diện $ABCD$ còn có các cặp đường thẳng chéo nhau là $AC$ và $BD$, $AD$ và $BC$.
Hình 4.18
Luyện tập 2. Trong hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:
a) Chéo với đường thẳng $SA$;
b) Chéo với đường thẳng $BC$.
Hình 4.19
Vận dụng 1. Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?
Hình 4.20
2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
HĐ2. Trong không gian, cho một đường thẳng $d$ và một điểm $M$ không nằm trên $d$ (H.4.21). Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $d$.
a) Trên mặt phẳng $(P)$ có bao nhiêu đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$?
b) Nếu một đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không?
Hình 4.21
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
HĐ3. Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Các tia sáng Mặt Trời ở gần Trái Đất được coi như các đường thẳng đôi một song song với nhau.

Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB, CD, AD, BC, AC, BD$ (H.4.22).
a) Chứng minh rằng tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng $MN, PQ, RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.
Giải
a) Trong tam giác $ABC$, ta có $MQ$ là đường trung bình nên $MQ \parallel AC$ và $MQ = \frac{1}{2}AC$. Tương tự với tam giác $ACD$, ta có $PN \parallel AC$ và $PN = \frac{1}{2}AC$. Do đó $MQ \parallel PN$ và $MQ = PN$, suy ra tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.
Hình 4.22
b) Từ câu a suy ra hai đoạn thẳng $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Tương tự, hai đoạn thẳng $MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Do đó, các đoạn thẳng $MN, PQ, RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.
Nếu các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình bình hành.
Luyện tập 3. Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn điểm $C, D, E, F$ đồng phẳng và tứ giác $CDFE$ là hình bình hành.
HĐ4. Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$. Một mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$ và $(Q)$ lần lượt theo các giao tuyến $a$ và $b$ khác $c$.
a) Nếu hai đường thẳng $a$ và $c$ cắt nhau tại $M$ thì đường thẳng $b$ có đi qua $M$ hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.
b) Nếu hai đường thẳng $a$ và $c$ song song với nhau thì hai đường thẳng $b$ và $c$ có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.
Nếu hai đường thẳng $b$ và $c$ cắt nhau tại $N$ thì ta có thể sử dụng lại kết quả ở câu a.
Hình 4.23
Hình 4.24
Kết quả sau đây còn được biết đến với tên gọi "Định lí về ba đường giao tuyến".
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Chú ý. Từ kết quả trên có thể suy ra rằng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (H.4.25). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.
Giải
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$ và chứa hai đường thẳng song song là $AB$ và $CD$. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $m$ đi qua $S$ và song song với $AB$, $CD$.
Hình 4.25
Luyện tập 4. Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
Vận dụng 2. Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước $AB$ song song với cạnh $CD$ của bể nước.
Hình 4.26
BÀI TẬP
4.9. Trong không gian, cho ba đường thẳng $a$, $b$, $c$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
b) Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $c$ thì $a$ song song với $b$.
d) Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
4.10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
a) $AB$ và $CD$; b) $AC$ và $BD$; c) $SB$ và $CD$.
4.11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.
Hình 4.27
4.12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB // CD$). Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $SB$. Chứng minh rằng tứ giác $MNCD$ là hình thang.
4.13. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB // CD$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $SD$ (H.4.28).
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(SCD)$.
b) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(MAB)$. Chứng minh rằng $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

4.14. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $AC$.
a) Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$.
b) Chứng minh rằng $d$ song song với $BD$.
4.15. (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Hình 4.29
Hình 4.30
Em có biết?
Trong không gian, cố định một đường thẳng $\Delta$ thẳng đứng và gọi $d$ là một đường thẳng tuỳ ý. Ta hãy cùng tìm hiểu hình được tạo bởi đường thẳng $d$ khi quay đường thẳng này quanh đường thẳng $\Delta$ trong không gian. Nếu $d$ song song với $\Delta$ hoặc $d$ cắt $\Delta$ thì có thể dễ dàng hình dung được hình tạo ra là mặt trụ hoặc mặt nón (H.4.31).
Còn nếu $d$ và $\Delta$ chéo nhau thì sao? Trong hầu hết các trường hợp, hình tạo ra được gọi là mặt hypebol (hyperboloid) như trong Hình 4.32. Mặt hypebol có thể được coi như một "dạng 3D" của đường hypebol đã được dạy ở lớp 10. Một điều thú vị là nếu mặt hypebol được cắt bởi một mặt phẳng đi qua đường thẳng $\Delta$ (trục hypebol) thì vết cắt nhận được chính là một đường hypebol (H.4.33).
Hình ảnh của mặt hypebol xuất hiện rất nhiều trong xây dựng, kiến trúc, nghệ thuật,... và trong thực tiễn, chúng ta hoàn toàn có thể "dựng được" mặt hypebol bằng cách sử dụng các vật dụng đơn giản như nan tre thẳng, que tính hay những chiếc đũa,... Em có thể tìm thấy một cách dựng như vậy trên các trang web tìm kiếm với từ khoá "hyperboloid".
Hình 4.31
Hình 4.32
Hình 4.33

Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song
THUẬT NGỮ
Đường thẳng song song với mặt phẳng
Đường thẳng cắt mặt phẳng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giải thích điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giải thích tính chất cơ bản về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến đường thẳng song song với mặt phẳng.
Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?
1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
HĐ1. Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của xà ngang, cột dọc, thanh chống và thanh bên của khung thành với mặt đất.
Kích thước của khung thành được quy định khác nhau tuỳ theo sân bóng. Trong sân bóng đá mini 5 người, xà ngang của khung thành dài 3 mét, cột dọc cao 2 mét.
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Nếu $d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung thì ta nói $d$ song song với $(\alpha)$ hay $(\alpha)$ song song với $d$ và kí hiệu là $d \parallel (\alpha)$ hay $(\alpha) \parallel d$.
Ngoài ra:
Nếu $d$ và $(\alpha)$ có một điểm chung duy nhất $M$ thì ta nói $d$ và $(\alpha)$ cắt nhau tại điểm $M$ và kí hiệu $d \cap (\alpha) = {M}$ hay $d \cap (\alpha) = M$.
Nếu $d$ và $(\alpha)$ có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói $d$ nằm trong $(\alpha)$ hay $(\alpha)$ chứa $d$ và kí hiệu $d \subset (\alpha)$ hay $(\alpha) \supset d$.

Hãy chỉ ra một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong bức ảnh bên (H.4.34).
Ví dụ 1. Cho hình tứ diện $ABCD$ (H.4.35). Trong các mặt phẳng chứa các mặt của hình tứ diện, hãy cho biết:
a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào;
b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng nào.
Giải
a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.
b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.
Luyện tập 1. Trong Ví dụ 1, đường thẳng $AC$ cắt các mặt phẳng nào, nằm trong các mặt phẳng nào?
Hình 4.34. Cầu Long Biên, cây cầu được mệnh danh là "chứng nhân lịch sử" của nước ta.
Hình 4.35
2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
HĐ2. Cho đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $a$ và $b$ (H.4.36).
Nếu $a$ và $(P)$ cắt nhau tại điểm $M$ thì $M$ có thuộc $(Q)$ và $M$ có thuộc $b$ hay không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.
Ở Bài 11, ta đã biết có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
Hình 4.36
Phát biểu trên còn đúng không nếu bỏ điều kiện "$a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$"?
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng $a, b, c$ đôi một song song với nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng (H.4.37). Chứng minh rằng đường thẳng $a$ song song với mp$(b, c)$.
Giải
Ba đường thẳng $a, b, c$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng $a$ không nằm trong mp$(b, c)$. Vì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ nằm trong mp$(b, c)$ nên đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng mp$(b, c)$.
Hình 4.37
Luyện tập 2. Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng đường thẳng $c$ song song với mp$(a, b)$, đường thẳng $b$ song song với mp$(a, c)$.

Ví dụ 3. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Chứng minh rằng có một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.
Giải (H.4.38)
Lấy điểm $M$ bất kì thuộc $a$. Qua $M$ kẻ đường thẳng $b'$ song song với $b$ và đặt $(P) = \text{mp}(a, b')$.
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên đường thẳng $b$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$. Vì $b$ song song với $b'$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ nên $b$ song song với $(P)$. Vậy $(P)$ là mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.
Hình 4.38
Chú ý. Ta có thể chứng minh rằng mặt phẳng $(P)$ trong Ví dụ 3 là mặt phẳng duy nhất chứa đường thẳng $a$ và song song với đường thẳng $b$. Như vậy, cho trước hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Luyện tập 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB // CD$). Hai đường thẳng $SD$ và $AB$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng $SD$ và song song với $AB$.
Vận dụng. Trong tình huống mở đầu, hãy giải thích tại sao dây nhợ khi căng thì song song với mặt đất. Tác dụng của việc đó là gì?
HD3. Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là một mặt phẳng chứa $a$. Giả sử $(Q)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ (H.4.36).
a) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau không?
b) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể cắt nhau không?
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$.
Nhắc lại các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, CD$ (H.4.39). Xác định các giao tuyến của $(P)$ và các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Giải
Mặt phẳng $(ABC)$ chứa đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến song song với $AB$. Vẽ $EF // AB$ ($F$ thuộc $BC$) thì $EF$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$.
Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ cùng chứa đường thẳng $CD$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên chúng cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến song song với $CD$. Vẽ $EH, FG$ song song với $CD$ ($H$ thuộc $AD, G$ thuộc $BD$) thì $EH, FG$ lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với hai mặt phẳng $(ACD), (BCD)$. Khi đó $GH$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABD)$.
Hình 4.39

Mặt phẳng $(ABD)$ chứa đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên giao tuyến $GH$ của $(ABD)$ và $(P)$ song song với $AB$. Tứ giác $EFGH$ có $EF // GH$ (vì cùng song song với $AB$) và $EH // FG$ (vì cùng song song với $CD$) nên nó là hình bình hành.
Luyện tập 4. Trong Ví dụ 4, gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, AD$. Xác định giao tuyến của $(Q)$ với các mặt của tứ diện.
BÀI TẬP
4.16. Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ không song song với $(P)$.
b) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ và $(P)$ cắt nhau.
c) Nếu $a$ song song với $b$ và $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
d) Nếu $a$ và $b$ song song với $(P)$ thì $a$ song song với $b$.
4.17. Cho hai tam giác $ABC$ và $ABD$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC, AD$.
a) Đường thẳng $AM$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng $MN$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.
4.18. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $BC, CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ song song với mặt phẳng $(AMN)$.
4.19. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB // CD$). Gọi $E$ là một điểm nằm giữa $S$ và $A$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, AD$. Xác định giao tuyến của $(P)$ và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
4.20. Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.

Bài 13. Hai mặt phẳng song song
THUẬT NGỮ
Hai mặt phẳng song song
Định lí Thalès trong không gian
Hình lăng trụ
Hình hộp
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết hai mặt phẳng song song trong không gian.
Giải thích điều kiện để hai mặt phẳng song song.
Giải thích tính chất cơ bản về hai mặt phẳng song song.
Giải thích định lí Thalès trong không gian.
Giải thích tính chất cơ bản của hình lăng trụ và hình hộp.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến hai mặt phẳng song song trong không gian.
Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn như rau, củ, thịt, cá,... thành các miếng đều nhau và đẹp mắt. Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều đó?
1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
HĐ1. Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.
Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $(\alpha) // (\beta)$ hay $(\beta) // (\alpha)$.
Hình 4.40
Ruộng bậc thang có các mặt bậc thang gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng song song.
Nhận xét. Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau và đường thẳng $d$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ và $(\beta)$ không có điểm chung, tức là $d$ song song với $(\beta)$. Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?
Tháp nghiêng Pisa ở Ý có các mặt sàn ở mỗi tầng không song song với mặt đất.

$2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG HĐ2. Cho mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và $a, b$ cùng song song với mặt phẳng$

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
HĐ2. Cho mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và $a, b$ cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ (H.4.41).
Nếu $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$ thì hai đường thẳng $a$ và $c$ có song song với nhau hay không, hai đường thẳng $b$ và $c$ có song song với nhau hay không?
Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.
Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.
Hình 4.41
Hãy nhắc lại các tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng đã được học ở Bài 12.
❓ Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên còn đúng không?
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng mặt phẳng $(BCE)$ song song với mặt phẳng $(ADF)$ (H.4.42).
Giải
Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $BC // AD$, suy ra $BC // (ADF)$.
Vì tứ giác $ABEF$ là hình bình hành nên $BE // AF$, suy ra $BE // (ADF)$.
Mặt phẳng $(BCE)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $BC$ và $BE$ cùng song song với mặt phẳng $(ADF)$ nên mặt phẳng $(BCE)$ song song với mặt phẳng $(ADF)$.
Hình 4.42
Luyện tập 1. Trong không gian, cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Qua điểm $A$ vẽ hai đường thẳng $m, n$ lần lượt song song với hai đường thẳng $BC, BD$. Chứng minh rằng $\text{mp}(m, n)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$.
Vận dụng 1. Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.
Hình 4.43
HĐ3. Đặt một tấm bia cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bia song song với mặt đất. Khi đó mặt bia có trùng với mặt bàn hay không?
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
❓ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?
Hình 4.44

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA, SB, SC, SD$ (H.4.45). Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng song song với mặt phẳng $(ABCD)$, từ đó suy ra bốn điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng.
Giải
Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Do đó, $MN \parallel AB$ và suy ra $MN$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Tương tự, $NP$ cũng song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Vậy mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Lập luận tương tự ta có mặt phẳng $(NPQ)$ cũng song song với mặt phẳng $(ABCD)$.
Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng đi qua điểm $N$ và cùng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng.
Hình 4.45
Luyện tập 2. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA, SB, SC, SD$ sao cho $\frac{MA}{MS} = \frac{NB}{NS} = \frac{PC}{PS} = \frac{QD}{QS} = \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng.
HD4. Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$. Giả sử mặt phẳng $(R)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến $a$ (H.4.46).
a) Giải thích vì sao mặt phẳng $(R)$ cắt mặt phẳng $(Q)$.
b) Gọi $b$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(R)$ và $(Q)$. Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hình 4.46
Ví dụ 3. Trong Ví dụ 2, gọi $E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB, CD$ (H.4.47). Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MEF)$ và mặt phẳng $(MNPQ)$.
Giải
Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt phẳng $(MNPQ)$ và $(ABCD)$ song song với nhau. Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng $(MEF)$ với hai mặt phẳng $(MNPQ)$ và $(ABCD)$ song song với nhau. Trong mặt phẳng $(MEF)$, qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $EF$ cắt $PQ$ tại $G$ thì đường thẳng $MG$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(MNPQ)$.
Hình 4.47

Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng $(EMQ)$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
3. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG KHÔNG GIAN
HĐ5. Cho ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ và $(R)$ đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt $d$ và $d'$ cắt ba mặt phẳng lần lượt tại $A$, $B$, $C$ và $A'$, $B'$, $C'$ ($C$ khác $C'$). Gọi $D$ là giao điểm của $AC'$ và $(Q)$ (H.4.48).
a) Các cặp đường thẳng $BD$ và $CC'$, $B'D$ và $AA'$ có song song với nhau không?
b) Các tỉ số $\frac{AB}{BC}$, $\frac{AD}{DC'}$ và $\frac{A'B'}{B'C'}$ có bằng nhau không?
Kết quả sau còn được biết đến như định lí Thalès trong không gian.
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Trong Hình 4.48 ta có $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$.
Hình 4.48
Nhắc lại định lí Thalès trong hình học phẳng.
Ví dụ 4. Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1$, $A_2$ sao cho $A_2A_1 = 2A_1A$. Gọi $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1$, $A_2$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SC$ lần lượt tại $B_1$, $C_1$. Mặt phẳng $(Q)$ cắt các cạnh $SB$, $SC$ lần lượt tại $B_2$, $C_2$ (H.4.49). Chứng minh $B_2B_1 = 2B_1B$ và $C_2C_1 = 2C_1C$.
Giải
Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng đôi một song song $(P)$, $(Q)$, $(ABC)$ và hai cát tuyến $SA$, $SB$, ta có $\frac{A_2A_1}{A_1A} = \frac{B_2B_1}{B_1B}$.
Vì $A_2A_1 = 2A_1A$ nên $B_2B_1 = 2B_1B$.
Tương tự với hai cát tuyến $SA$, $SC$ suy ra $C_2C_1 = 2C_1C$.
Hình 4.49
Luyện tập 4. Trong HĐ5, cho $AB = 2$ cm, $BC = 4$ cm và $A'B' = 3$ cm. Tính độ dài của đoạn thẳng $B'C'$.
4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
HĐ6. Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?

$Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\alpha')$. Trên $(\alpha)$ cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$. Qua các đỉnh $A_1, A_2, ..., A_n$ vẽ các đường thẳng đôi$

Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\alpha')$. Trên $(\alpha)$ cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$. Qua các đỉnh $A_1, A_2, ..., A_n$ vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng $(\alpha')$ tại $A'_1, A'_2, ..., A'_n$. Hình gồm hai đa giác $A_1A_2...A_n$, $A'_1A'_2...A'_n$ và các tứ giác $A_1A'_1A'_2A_2$, $A_2A'_2A'_3A_3$, ..., $A_nA'_nA'_1A_1$ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là $A_1A_2...A_nA'_1A'_2...A'_n$ (H.4.50).
Các điểm $A_1, A_2, ..., A_n$ và $A'_1, A'_2, ..., A'_n$ được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng $A_1A'_1$, $A_2A'_2$, ..., $A_nA'_n$ được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng $A_1A_2$, $A_2A_3$, ..., $A_nA_1$ và $A'_1A'_2$, $A'_2A'_3$, ..., $A'_nA'_1$ được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.
Hai đa giác $A_1A_2...A_n$ và $A'_1A'_2...A'_n$ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.
Các tứ giác $A_1A'_1A'_2A_2$, $A_2A'_2A'_3A_3$, ..., $A_nA'_nA'_1A_1$ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
Hình 4.50
Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
Chú ý. Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $A''$, $B''$, $C''$ (H.4.51). Chứng minh rằng $ABC.A''B''C''$ là hình lăng trụ.
Giải
Vì các cạnh bên của hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đôi một song song nên $AA''$, $BB''$, $CC''$ đôi một song song. Mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(A''B''C'')$ nên $ABC.A''B''C''$ là hình lăng trụ.
Hình 4.51
Luyện tập 5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ và $M'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B'C'$. Chứng minh rằng $AMC.A'M'C'$ là hình lăng trụ.
HD7. Hình ảnh nào trong HD6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
– Các cặp điểm $A$ và $C'$, $B$ và $D'$, $C$ và $A'$, $D$ và $B'$ được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp.
– Các đoạn thẳng $AC'$, $BD'$, $CA'$ và $DB'$ được gọi là các đường chéo của hình hộp.
– Các cặp tứ giác $ABCD$ và $A'B'C'D'$, $ADD'A'$ và $BCC'B'$, $ABB'A'$ và $DCC'D'$ được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.
Hai đỉnh đối diện của hình hộp là hai đỉnh không cùng thuộc bất kì mặt nào của hình hộp. Hai mặt đối diện của hình hộp là hai mặt không có điểm chung.
Ví dụ 6. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (H.4.52). Chứng minh rằng các đường chéo $AC'$, $BD'$, $CA'$ và $DB'$ của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
Giải
Đáy $ABCD$ của hình hộp là hình bình hành nên $AD // BC$ và $AD = BC$. Mặt bên $BCC'B'$ của hình hộp là hình bình hành nên $BC // B'C'$ và $BC = B'C'$. Vậy $AD // B'C'$ và $AD = B'C'$, suy ra tứ giác $ADC'B'$ là hình bình hành. Từ đó $AC'$ và $DB'$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tương tự $AC'$ và $BD'$, $AC'$ và $CA'$ cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
Hình 4.52
Luyện tập 6. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(ADD'A')$ và $(BCC'B')$ song song với nhau.
Nhận xét. Từ Ví dụ 6 và Luyện tập 6, ta có:
– Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường;
– Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy của hình hộp.
Vận dụng 2. Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao.
Hình 4.53
BÀI TẬP
4.21. Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$, $(Q)$, $(R)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $(P)$ chứa một đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.

b) Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
c) Nếu $(P)$ và $(Q)$ song song với $(R)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
d) Nếu $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ thì $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.
4.22. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA', BB', CC'$. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.
4.23. Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$. Qua các điểm $A, D$ lần lượt vẽ các đường thẳng $m, n$ song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Chứng minh rằng $mp(B, m)$ và $mp(C, n)$ song song với nhau.
4.24. Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1, A_2$ sao cho $AA_1 = A_1A_2 = A_2S$. Gọi $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB, SC$ lần lượt tại $B_1, C_1$. Mặt phẳng $(Q)$ cắt các cạnh $SB, SC$ lần lượt tại $B_2, C_2$. Chứng minh $BB_1 = B_1B_2 = B_2S$ và $CC_1 = C_1C_2 = C_2S$.
4.25. Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A'B'C'D')$ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $A'', B'', C'', D''$. Hỏi hình tạo bởi các điểm $A, B, C, D, A'', B'', C'', D''$ là hình gì?
4.26. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $AGG'A'$ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng $AGC.A'G'C'$ là hình lăng trụ.
Hình 4.54
4.27. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Một mặt phẳng song song với mặt bên $(ABB'A')$ của hình hộp và cắt các cạnh $AD, BC, A'D', B'C'$ lần lượt tại $M, N, M', N'$ (H.4.54).
Chứng minh rằng $ABNM.A'B'N'M'$ là hình hộp.
4.28. Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.
Hình 4.55

Bài 14. Phép chiếu song song THUẬT NGỮ Phép chiếu song song Hình chiếu Phương chiếu Hình biểu diễn KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết khái niệm và tính chất cơ bản về

$Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian ta xác định điểm $M'$ như sau: Nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì $M'$

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian ta xác định điểm $M'$ như sau:
Nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
Nếu $M$ không thuộc $\Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và đường thẳng qua $M$ song song với $\Delta$.
Điểm $M'$ được gọi là hình chiếu song song của điểm $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với hình chiếu $M'$ của nó được gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là mặt phẳng chiếu, phương $\Delta$ được gọi là phương chiếu.
Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa $CD$ trên sàn nhà?
Cho hình $\mathscr{H}$. Tập hợp $\mathscr{H}'$ các hình chiếu $M'$ của các điểm $M$ thuộc $\mathscr{H}$ qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của $\mathscr{H}$ qua phép chiếu song song đó.
Hình chiếu của hình chữ "A"
Bóng đổ của người bán hàng rong dưới ánh mặt trời trên đường phố Hội An
Chú ý. Nếu một đường thẳng cùng phương với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, khi xét hình chiếu của đường thẳng, nếu không nói gì thêm ta chỉ xét hình chiếu của các đường thẳng không cùng phương với phương chiếu.
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$.
a) Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.
b) Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $AB$. Xác định hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.
Giải (H.4.57)
a) Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $AA' // BB' // CC'$. Vì $A'$ thuộc mặt phẳng $(A'B'C')$ nên $A'$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.
b) Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ vẽ $MM' // AA'$ với $M'$ thuộc $A'B'$ thì $MM' // CC'$. Vì $M'$ thuộc mặt phẳng $(A'B'C')$ nên $M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.
Hình 4.57

Luyện tập 1. Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BC$ và theo phương $BG$.
Hình 4.58
Vận dụng 1. Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào so với vạch vôi?
2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
HD2. Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu $O'$ của điểm $O$ có nằm trên đoạn $A'C'$ hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa $AB$ và $CD$ có song song với nhau không?
c) Hình chiếu $O'$ của điểm $O$ có phải là trung điểm của đoạn $A'C'$ hay không?
Ta có các tính chất sau của phép chiếu song song:
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$$
a)
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$$
b)
Hình 4.59
❓ Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?
Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $A'B'C'D'$ là hình chiếu của $ABCD$ trên mặt phẳng $(P)$ theo phương $d$ (H.4.60). Chứng minh rằng tứ giác $A'B'C'D'$ là hình bình hành.
Giải
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB$ song song với $CD$, do đó hình chiếu của $AB$ là $A'B'$ song song với hình chiếu của $CD$ là $C'D'$. Tương tự $A'D'$ song song với $B'C'$.
Tứ giác $A'B'C'D'$ có $A'B' \parallel C'D'$ và $A'D' \parallel B'C'$ nên nó là hình bình hành.
Hình 4.60

Luyện tập 2. Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61). Hình 4.61 Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau: – Hình biểu diễn của một tam giác

BÀI TẬP 4.29. Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng? a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. b) Phép chiếu song song biến hai đư

Em có biết?
Phép chiếu song song được sử dụng chủ yếu trong các bản vẽ kĩ thuật vì phép chiếu này thể hiện đúng tỉ lệ kích thước trên vật thể. Tuy nhiên, phép chiếu song song không thể hiện đúng những gì mà mắt người quan sát được, ví dụ như phép chiếu song song không thể hiện đúng luật xa gần: đối với các vật thể có cùng kích thước, vật thể ở gần phải lớn hơn, vật thể ở xa phải nhỏ hơn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phép chiếu song song không thể hiện đúng độ cao, độ sâu của đối tượng trong thực tế và tạo ra ảo giác cho người xem. Bằng cách khai thác những ảo giác này, Maurits Cornelis Escher và Roger Penrose đã đưa ra những hình ảnh về các “vật thể bất khả thi” (impossible objects) – các vật thể không tồn tại trong thực tế. “Thác nước Escher” và “Cầu thang Penrose” là hai ví dụ về các vật thể như vậy.
Thác nước Escher
Cầu thang Penrose
Để khắc phục những hạn chế của phép chiếu song song, người ta sử dụng phép chiếu xuyên tâm (hay phép chiếu phối cảnh) mà ở đó luật xa gần được đảm bảo. Phép chiếu xuyên tâm với tâm $C$ lên mặt phẳng chiếu $(P)$ (không đi qua $C$) cho tương ứng mỗi điểm $M$ trong không gian với điểm $M'$ là giao điểm của $CM$ và $(P)$. Phép chiếu xuyên tâm biến đường thẳng thành đường thẳng.
Khi nhìn hai đường ray xe lửa ta có cảm giác chúng “cắt nhau ở xa vô tận”
Nếu $(Q)$ là một mặt phẳng cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến $d$ thì phép chiếu xuyên tâm biến các đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng $(Q)$ và không song song với $d$ thành các đường thẳng đồng quy. Khi đó, điểm đồng quy nằm trên giao tuyến $\nu$ của $(P)$ và mặt phẳng qua $C$ song song với $(Q)$. Giao tuyến này còn được gọi là “đường thẳng vô tận” hay “đường chân trời” trong hội hoạ. Tính chất này của phép chiếu xuyên tâm giải thích tại sao khi vẽ phối cảnh, các đường thẳng song song trong thực tế và hướng về phía người vẽ lại có xu hướng cắt nhau tại một điểm ở “xa vô tận”.

Bài tập cuối chương IV A – TRẮC NGHIỆM 4.35. Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo

B – TỰ LUẬN 4.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB // CD$ và $AB < CD$. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) $(SAD)$ và $(SB

Chương V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Chương này trình bày khái niệm giới hạn của dãy số, của hàm số và một số định lí, quy tắc tìm giới hạn. Chúng là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của Giải tích và cho phép giải quyết nhiều bài toán của khoa học và thực tiễn. Khái niệm hàm số liên tục và một vài tính chất đơn giản của chúng được trình bày ở phần cuối chương.
Bài 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
THUẬT NGỮ
Giới hạn của dãy số
Các phép toán giới hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
Giải thích một số giới hạn cơ bản.
Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.
Nghịch lí Zeno. Achilles (A-sin, một nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả là có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là $A_1$, cách vị trí xuất phát $R_1$ của rùa một quãng đường có chiều dài là $a$ (H.5.1). Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Hình 5.1
Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí $A_2 = R_1$ và trong khoảng thời gian này, rùa đã di chuyển đến vị trí $R_2$. Sau đó, Achilles phải đến được vị trí $A_3 = R_2$, lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí $R_3$,.... Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Zeno (490 – 429 trước Công nguyên) là một triết gia Hy Lạp, đến từ thành phố Elea (miền nam nước Ý ngày nay). Trong số các nghịch lí của Zeno, nghịch lí Achilles đuổi rùa được coi là đã thúc đẩy sự hình thành khái niệm giới hạn, một công cụ thiết yếu của toán học, được sử dụng để nghiên cứu các quá trình liên quan đến sự vô hạn.

$1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ HĐ1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$. a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số n$

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
HĐ1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ hay $u_n \to 0$ khi $n \to +\infty$.
Ví dụ 1. Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{1}{n^2}$. Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0.
Giải
Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì $|u_n| = \frac{1}{n^2}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý khi $n$ đủ lớn. Chẳng hạn, để $|u_n| < 0,0001$ tức là $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{10\ 000}$, ta cần $n^2 > 10\ 000$ hay $n > 100$. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.
Chú ý. Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:
$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương;
$\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ nếu $|q| < 1$;
Nếu $|u_n| \le v_n$ với mọi $n \ge 1$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Luyện tập 1. Chứng minh rằng $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$.
HĐ2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n + (-1)^n}{n}$. Xét dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n = u_n - 1$. Tính $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$.
Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực a khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - a) = 0$, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ hay $u_n \to a$ khi $n \to +\infty$.

$Ví dụ 2. Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{2n + 1}{n}$. Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$. Giải Ta có $u_n - 2 = \frac{2n + 1}{n} - 2 = \frac{(2n$

Ví dụ 2. Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{2n + 1}{n}$. Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.
Giải
Ta có $u_n - 2 = \frac{2n + 1}{n} - 2 = \frac{(2n + 1) - 2n}{n} = \frac{1}{n} \to 0$ khi $n \to +\infty$.
Do vậy $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.
Chú ý. Nếu $u_n = c$ ($c$ là hằng số) thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = c$.
$\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ khi và chỉ khi $\lim_{n \to +\infty} (u_n - a) = 0$.
Luyện tập 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3 \cdot 2^n - 1}{2^n}$. Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
Vận dụng 1. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_n$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ $n$. Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0.
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
HĐ3. Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ với $u_n = 2 + \frac{1}{n}, v_n = 3 - \frac{2}{n}$.
Tính và so sánh: $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$ và $\lim_{n \to +\infty} u_n + \lim_{n \to +\infty} v_n$.
Tổng quát, ta có các quy tắc tính giới hạn sau đây:
a) Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì
$\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = a + b;$
$\lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = a \cdot b;$
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = a - b;$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$).
b) Nếu $u_n \ge 0$ với mọi $n$ và $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ thì
$a \ge 0$ và $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}.$
Ví dụ 3. Tìm $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 - 1}$.
Giải
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n^2}} = \frac{\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{\lim_{n \to +\infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{1}{2}.$
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho luỹ thừa cao nhất của $n$, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

$Luyện tập 3. Tìm $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$. 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN HĐ4. Làm quen với việc tính tổng vô hạn Cho hình vuông cạn$

$Ví dụ 5. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2{,}222...$ dưới dạng phân số. Giải Ta có $2{,}222... = 2 + 0{,}2 + 0{,}02 + 0{,}002 + ... = 2 + 2 \cdot \frac$

Ví dụ 5. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2{,}222...$ dưới dạng phân số.
Giải
Ta có $2{,}222... = 2 + 0{,}2 + 0{,}02 + 0{,}002 + ... = 2 + 2 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10^2} + 2 \cdot \frac{1}{10^3} + ...$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 2$, $q = \frac{1}{10}$ nên
$$2{,}222... = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{2}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{20}{9}.$$
Luyện tập 4. Tính tổng $S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{7^2} + ... + \frac{2}{7^{n-1}} + ...$
Vận dụng 2. (Giải thích nghịch lí Zeno)
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc $100\text{ km/h}$, vận tốc của rùa là $1\text{ km/h}$ và khoảng cách ban đầu $a = 100\text{ km}$.
a) Tính thời gian $t_1, t_2, ..., t_n, ...$ tương ứng để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$, từ $A_2$ đến $A_3, ...$, từ $A_n$ đến $A_{n+1}, ...$
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_{n+1}, ...$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
HD5. Nhận biết giới hạn vô cực
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn $u_n$ sau chu kì thứ $n$.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Dãy số $(u_n)$ được gọi là có giới hạn $+\infty$ khi $n \to +\infty$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ hay $u_n \to +\infty$ khi $n \to +\infty$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là có giới hạn $-\infty$ khi $n \to +\infty$ nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} (-u_n) = +\infty$, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ hay $u_n \to -\infty$ khi $n \to +\infty$.
Theo định nghĩa trên, ta có:
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^k = +\infty$, với $k$ là số nguyên dương;
$\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$, với $q > 1$.

$Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: Nếu $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = +\inft$

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:
Nếu $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ (hoặc $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$) thì $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$.
Nếu $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = a > 0$, $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ và $v_n > 0$ với mọi $n$ thì $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$.
Nếu $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ và $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = a > 0$ thì $\lim \limits_{n \to +\infty} u_nv_n = +\infty$.
Ví dụ 6. Tính $\lim \limits_{n \to +\infty} (n^2 - 2n)$.
Giải
Ta có $n^2 - 2n = n^2\left(1 - \frac{2}{n}\right)$. Hơn nữa $\lim \limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ và $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right) = 1$.
Do đó, $\lim \limits_{n \to +\infty} (n^2 - 2n) = +\infty$.
Luyện tập 5. Tính $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(n - \sqrt{n}\right)$.
BÀI TẬP
5.1. Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$; b) $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$.
5.2. Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = 3$.
Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n - u_n}$; b) $\lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$.
5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n - 1}$; b) $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} - n$.
5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) $1,(12) = 1,121212...$; b) $3,(102) = 3,102102102...$
5.5. Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
5.6. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = h$ và góc $B$ bằng $\alpha$ (H.5.3). Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, sau đó lại kẻ $A_2A_3 \perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $AA_1A_2A_3...$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $h$ và $\alpha$.
Hình 5.3

$Em có biết? Dãy số Fibonacci và tỉ lệ vàng Ta đã biết dãy Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi: $u_1 = u_2 = 1,$ $u_n = u_{n-1} + u_{n-2}^{(*)}$ với $n > 2.$ Chia$

Bài 16. Giới hạn của hàm số
THUẬT NGỮ
Giới hạn của hàm số
Giới hạn một phía
Giới hạn tại vô cực
Giới hạn vô cực
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực.
Nhận biết khái niệm giới hạn một phía.
Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực.
Tính một số dạng giới hạn của hàm số.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn của hàm số.
Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc $v$ cho bởi công thức
$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},$$
trong đó $m_0$ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, $c$ là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?
Albert Einstein (1879 – 1955)
1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm
Cho hàm số $f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2}$.
a) Tìm tập xác định của hàm số $f(x)$.
b) Cho dãy số $x_n = 2 + \frac{1}{n}$. Rút gọn $f(x_n)$ và tính giới hạn của dãy $(u_n)$ với $u_n = f(x_n)$.
c) Với dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 2$ và $x_n \to 2$, tính $f(x_n)$ và tìm $\lim_{n \to +\infty} f(x_n)$.
Giả sử $(a; b)$ là một khoảng chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$, có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n \in (a; b), x_n \neq x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$, kí hiệu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to x_0$.
Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1}$. Chứng tỏ rằng $\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2}$.

$Giải Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$ và $x_n \to 1$. Ta có $f(x_n) = \frac{x_n - 1}{x_n^2 - 1} = \frac{1}{x_n + 1}$. Do đó $\lim_{n \to +\infty}$

Giải
Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$ và $x_n \to 1$. Ta có $f(x_n) = \frac{x_n - 1}{x_n^2 - 1} = \frac{1}{x_n + 1}$.
Do đó $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x_n + 1} = \frac{1}{2}$. Vậy $\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2}$.
Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:
a) Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ thì
$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M;$
$\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M;$
$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M;$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, nếu $M \neq 0$.
b) Nếu $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) \setminus {x_0}$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
$\lim_{x \to x_0} c = c$ với $c$ là hằng số.
$\lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n$ với $n \in \mathbb{N}$.
Ví dụ 2. Cho $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^3$. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to 1} [3f(x) - g(x)]$;
b) $\lim_{x \to 1} \frac{[f(x)]^2}{g(x)}$.
Giải
Ta có $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 1) = \lim_{x \to 1} x - \lim_{x \to 1} 1 = 1 - 1 = 0$. Mặt khác, ta thấy $\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} x^3 = 1$.
a) Ta có
$$ \lim_{x \to 1} [3f(x) - g(x)] = \lim_{x \to 1} [3f(x)] - \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} 3 \cdot \lim_{x \to 1} f(x) - \lim_{x \to 1} g(x) = 3 \cdot 0 - 1 = -1. $$
b) Ta có
$$ \lim_{x \to 1} \frac{[f(x)]^2}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 1} [f(x)]^2}{\lim_{x \to 1} g(x)} = \frac{\lim_{x \to 1} f(x) \cdot \lim_{x \to 1} f(x)}{\lim_{x \to 1} g(x)} = \frac{0}{1} = 0. $$
Ví dụ 3. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$.
Giải
Do mẫu thức có giới hạn là $0$ khi $x \to 0$ nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.
Chú ý rằng $\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} = \frac{(\sqrt{x + 9})^2 - 3^2}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 9} + 3}$.

$Do đó $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+9}+3} = \frac{1}{\lim \limits_{x \to 0} [\sqrt{x+9}+3]} = \frac{1$

Do đó $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+9}+3} = \frac{1}{\lim \limits_{x \to 0} [\sqrt{x+9}+3]} = \frac{1}{6}$.
Luyện tập 1. Tính $\lim \limits_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.
HĐ2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Cho hàm số $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$.
a) Cho $x_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ và $x'_n = 1 + \frac{1}{n}$. Tính $y_n = f(x_n)$ và $y'_n = f(x'_n)$.
b) Tìm giới hạn của các dãy số $(y_n)$ và $(y'_n)$.
c) Cho các dãy số $(x_n)$ và $(x'_n)$ bất kì sao cho $x_n < 1 < x'n$ và $x_n \to 1$, $x'n \to 1$, tính $\lim \limits{n \to +\infty} f(x_n)$ và $\lim \limits{n \to +\infty} f(x'_n)$.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$. Ta nói số $L$ là giới hạn bên phải của $f(x)$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $x_0 < x_n < b$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$, kí hiệu $\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = L$.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$. Ta nói số $L$ là giới hạn bên trái của $f(x)$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $a < x_n < x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$, kí hiệu $\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = L$.
Ví dụ 4. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } 0 < x < 1 \ x+1 & \text{nếu } 1 \le x < 2. \end{cases}$
Tính $\lim \limits_{x \to 1^-} f(x)$ và $\lim \limits_{x \to 1^+} f(x)$.
Giải
Với dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $0 < x_n < 1$ và $x_n \to 1$, ta có $f(x_n) = x_n^2$.
Do đó $\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim \limits_{n \to +\infty} f(x_n) = 1$.
Tương tự, với dãy số $(x_n)$ bất kì mà $1 < x_n < 2$, $x_n \to 1$, ta có $f(x_n) = x_n + 1$, cho nên $\lim \limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim \limits_{n \to +\infty} f(x_n) = 2$.
$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = L$.
Luyện tập 2. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < 0 \ \sqrt{x} & \text{nếu } x \ge 0. \end{cases}$
Tính $\lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$, $\lim \limits_{x \to 0^-} f(x)$ và $\lim \limits_{x \to 0} f(x)$.

$2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC HĐ3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực Cho hàm số $f(x) = 1 + \frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4. Hình 5.4 Gi$

$Ví dụ 6. Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$. Giải Ta có $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to -\in$

Ví dụ 6. Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$.
Giải
Ta có $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \left( -\sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} \right) = - \lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$
$= - \sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)} = - \sqrt{1 + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2}} = -1.$
$a\sqrt{b} = \begin{cases} \sqrt{a^2b} & a \ge 0 \ -\sqrt{a^2b} & a < 0. \end{cases}$
Luyện tập 3. Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2}}{x + 1}$.
Vận dụng. Cho tam giác vuông $OAB$ với $A = (a; 0)$ và $B = (0; 1)$ như Hình 5.5. Đường cao $OH$ có độ dài là $h$.
a) Tính $h$ theo $a$.
b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục $Ox$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?
Hình 5.5
3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
a) Giới hạn vô cực
HD4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực
Xét hàm số $f(x) = \frac{1}{x^2}$ có đồ thị như Hình 5.6.
Cho $x_n = \frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng $f(x_n) \to +\infty$.
Hình 5.6
Giả sử khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b) \setminus {x_0}$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n \in (a; b) \setminus {x_0}$, $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to +\infty$, kí hiệu $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.
Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $-\infty$ khi $x \to x_0$, kí hiệu $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty$, nếu $\lim\limits_{x \to x_0} [-f(x)] = +\infty$.
Ví dụ 7. Tính $\lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|}$.
Giải
Xét hàm số $f(x) = \frac{1}{|x - 1|}$. Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$, $x_n \to 1$. Khi đó, $|x_n - 1| \to 0$.
Do đó $f(x_n) = \frac{1}{|x_n - 1|} \to +\infty$. Vậy $\lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = +\infty$.

$HD5. Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Với các dãy số $(x_n)$ và $(x'n)$ cho bởi $x_n=1+\frac{1}{n}$, $x'n=1-\frac{1}{n}$, tính $\lim{n \to +\infty} f(x_n)$ và $$

HD5. Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Với các dãy số $(x_n)$ và $(x'n)$ cho bởi $x_n=1+\frac{1}{n}$, $x'n=1-\frac{1}{n}$, tính $\lim{n \to +\infty} f(x_n)$ và $\lim{n \to +\infty} f(x'_n)$.
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $x_0 < x_n < b$, $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to +\infty$, kí hiệu $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$.
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $a < x_n < x_0$, $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to +\infty$, kí hiệu $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$.
Các giới hạn một bên $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 8. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Từ công thức khối lượng
$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$
ta thấy $m$ là một hàm số của $v$, với tập xác định là nửa khoảng $[0; c)$. Rõ ràng khi $v$ tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là $v \to c^-$, ta có $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \to 0$. Do đó $\lim_{v \to c^-} m(v) = +\infty$, nghĩa là khối lượng $m$ của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.
Luyện tập 4. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to 0} \frac{2}{|x|}$;
b) $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{2-x}}$.
Chú ý. Các giới hạn $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số $f(x)$ tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số $y=f(x)$, xác định trên khoảng $(a; +\infty)$, có giới hạn là $-\infty$ khi $x \to +\infty$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $x_n \to +\infty$, ta có $f(x_n) \to -\infty$, kí hiệu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ hay $f(x) \to -\infty$ khi $x \to +\infty$.
Một số giới hạn đặc biệt:
$\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương;
$\lim_{x \to -\infty} x^k = +\infty$ với $k$ là số nguyên dương chẵn;
$\lim_{x \to -\infty} x^k = -\infty$ với $k$ là số nguyên dương lẻ.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực. Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích v

$Luyện tập 5. Tính $\lim \limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ và $\lim \limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$. BÀI TẬP 5.7. Cho hai hàm s$

Bài 17. Hàm số liên tục THUẬT NGỮ Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số gián đoạn Hàm số liên tục trên một khoảng Hàm số liên tục trên một đoạn KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

$Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu $s(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } x > 0 \ 0 & \text{nếu } x = 0 \ -1 & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$ tại điểm $x_0 =$

$Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{nếu } x\in(0;1) \ 0 & \text{nếu } x=1 \end{cases}$ trên nửa khoảng $(0;1]$. Giải Ta có $f($

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{nếu } x\in(0;1) \ 0 & \text{nếu } x=1 \end{cases}$ trên nửa khoảng $(0;1]$.
Giải
Ta có $f(x)=x-1$ với $x\in(0;1)$. Với $x_0\in(0;1)$ bất kì, ta có $\lim_{x\to x_0}(x-1)=x_0-1=f(x_0)$.
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;1)$.
Hơn nữa, $\lim_{x\to 1^-}f(x)=0=f(1)$ nên $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $(0;1]$.
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có
Hàm số đa thức và các hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Các hàm số $y=\tan x$, $y=\cot x$, $y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
Ví dụ 4. Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$. Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x)$ liên tục.
Giải
Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$. Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
Luyện tập 2. Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}$ liên tục.
3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
HD3. Cho hai hàm số $f(x)=x^2$ và $g(x)=-x+1$.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại điểm $x=1$.
b) Tính $L=\lim_{x\to 1}[f(x)+g(x)]$ và so sánh $L$ với $f(1)+g(1)$.
Ta có khẳng định sau đây về tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục.
Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
a) Các hàm số $y=f(x)+g(x)$, $y=f(x)-g(x)$ và $y=f(x)g(x)$ liên tục tại $x_0$;
b) Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)\neq 0$.
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\frac{\sin x}{x-1}$.
Giải
Hàm số xác định trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus{1}$.

$Nhận xét. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$. Kết quả này được m$

$Bài tập cuối chương V A – TRẮC NGHIỆM 5.18. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là A. $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\in$

$B – TỰ LUẬN 5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n - 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này? 5.26. Tìm giới hạn của các dãy số có số$

B – TỰ LUẬN
5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n - 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
5.26. Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n - 2}$;
b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$;
c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$.
5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) $1,(01)$;
b) $5,(132)$.
5.28. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2} - 3}{x-7}$;
b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$;
c) $\lim_{x \to 1} \frac{2-x}{(1-x)^2}$;
d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$.
5.29. Tính các giới hạn một bên:
a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$;
b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1-x}}$.
5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại.
5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.
a) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;
b) $g(x) = \begin{cases} 1+x & \text{nếu } x < 1 \ 2-x & \text{nếu } x \geq 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.
5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là
$$F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \geq R, \end{cases}$$
trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.
5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$;
b) $g(x) = \frac{x-2}{\sin x}$.
5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{nếu } x \leq a \ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH TRẢI NGHIỆM MỘT VÀI ÁP DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG TÀI CHÍNH MỤC TIÊU Học sinh biết vận dụng toán học để giải quyết một số vấn đề tài chính như

1. SỐ TIỀN CỦA MỘT NIÊN KIM
Niên kim là một khoản tiền được trả bằng các khoản thanh toán đều đặn. Mặc dù từ "niên kim" nghĩa là các khoản thanh toán hằng năm, thực tế chúng có thể được thực hiện thanh toán nửa năm, hằng quý, hằng tháng hoặc sau những khoảng thời gian đều đặn khác. Thanh toán thường được thực hiện vào cuối khoảng thời gian thanh toán. Số tiền của một niên kim là tổng của tất cả các khoản thanh toán riêng lẻ từ thời điểm thanh toán đầu tiên cho đến khi thanh toán cuối cùng được thực hiện, cùng với tất cả tiền lãi.
HD1. Số tiền của một niên kim
Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích luỹ hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng.
a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai.
b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ $n$.
c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.
Nói chung, khoản thanh toán theo niên kim được gọi là tiền thuê định kì và kí hiệu là $R$. Gọi $i$ là lãi suất trong mỗi khoảng thời gian thanh toán và gọi $n$ là số lần trả. Chúng ta luôn giả thiết rằng khoảng thời gian tính lãi kép bằng thời gian giữa các lần thanh toán. Bằng cách lập luận tương tự như trong HD1, chúng ta thấy rằng số tiền $A_f$ của một niên kim là
$$A_f = R + R(1+i) + R(1+i)^2 + ... + R(1+i)^{n-1}.$$
Vì đây là tổng của $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu $a = R$ và công bội $r = 1 + i$, nên ta có
Số tiền của niên kim
Số tiền $A_f$ của một niên kim bao gồm $n$ khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng $R$ với lãi suất $i$ trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi
$$A_f = R\frac{(1+i)^n - 1}{i}.$$
Vận dụng 1. Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?
2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM
Nếu bạn nhận được 100 triệu đồng trong vòng 5 năm kể từ bây giờ, nó sẽ có giá trị thấp hơn nhiều so với việc nếu bạn nhận được 100 triệu đồng ngay bây giờ. Điều này là do số tiền lãi mà bạn có thể tích luỹ trong 5 năm tới nếu bạn đầu tư số tiền đó ngay bây giờ. Bạn sẽ chấp nhận số tiền nhỏ hơn nào bây giờ thay vì việc nhận 100 triệu đồng trong 5 năm tới? Đây là số tiền, cùng với tiền lãi, sẽ trị giá 100 triệu đồng trong 5 năm tới. Số tiền này được gọi là giá trị hiện tại.
HD2. Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền
Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý.
a) Tính lãi suất $i$ trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm.

b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó.
Tương tự, nếu số tiền $A_f$ được trả dần trong $n$ khoảng thời gian kể từ bây giờ và lãi suất trong mỗi khoảng thời gian là $i$, thì giá trị hiện tại $A_p$ của nó được cho bởi
$$A_p = A_f(1 + i)^{-n} = R\frac{(1 + i)^n - 1}{i}(1 + i)^{-n} = \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}.$$
Giá trị hiện tại của một niên kim
Giá trị hiện tại của một niên kim bao gồm $n$ khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng $R$ với lãi suất $i$ trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi
$$A_p = R\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}.$$
» Vận dụng 2. Một người trúng xổ số giải đặc biệt với trị giá 5 tỉ đồng và số tiền trúng thưởng sẽ được trả dần hằng năm, mỗi năm là 500 triệu đồng trong vòng 10 năm. Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là bao nhiêu? Giả sử rằng người đó có thể tìm được hình thức đầu tư với lãi suất 8% mỗi năm, tính lãi kép hằng năm.
3. MUA TRẢ GÓP
Khi bạn mua một căn nhà hoặc một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp, các khoản thanh toán mà bạn thực hiện là một khoản niên kim có giá trị hiện tại là số tiền của khoản vay.
» HĐ3. Anh Hưng muốn mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp để chạy xe dịch vụ. Anh ấy có thể trả dần 10 triệu đồng mỗi tháng nhưng không có tiền trả trước. Nếu anh Hưng có thể thực hiện các khoản thanh toán này trong vòng 5 năm và lãi suất là 10% một năm, thì hiện tại anh ấy có thể mua được chiếc xe ô tô với mức giá nào?
Trả góp là phương thức cho vay tiền mà các kì trả nợ gốc và lãi trùng nhau. Số tiền trả nợ của mỗi kì là bằng nhau theo thoả thuận và số lãi được tính dựa trên số dư nợ gốc và thời hạn thực tế của kì hạn trả nợ. Trả góp còn áp dụng trong việc cho vay tiêu dùng, mua tài sản giá trị lớn như nhà đất, ô tô, ...
Mua trả góp
Nếu một khoản vay $A_p$ phải được hoàn trả trong $n$ lần thanh toán đều đặn bằng nhau với lãi suất $i$ trong mỗi khoảng thời gian thì số tiền $R$ của mỗi khoản thanh toán là
$$R = \frac{iA_p}{1 - (1 + i)^{-n}}.$$
» Vận dụng 3. Một cặp vợ chồng trẻ vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 9% một năm để mua nhà. Họ dự định sẽ trả góp hằng tháng trong vòng 10 năm để hoàn trả khoản vay này. Hỏi mỗi tháng họ sẽ phải trả cho ngân hàng bao nhiêu tiền?

Lực căng mặt ngoài của nước MỤC TIÊU Học sinh biết thực hiện thí nghiệm để thu thập dữ liệu, biết sử dụng những số đặc trưng của số liệu ghép nhóm để so sánh kế

Đường kính bong bóng (cm), [2; 4), [4; 6), [6; 8), [8; 10), [10; 12), [12; 14), [14; 16), [16; 18), [18; 20), [20; 22] Nhóm 1, /, /// Bảng 1. Kết quả thí nghiệm

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi