Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A TỔNG QUAN 1 Vị trí, vai trò của chương Mục đích của chương này là xây dựng các khái niệm cơ bản của lượ

3 Một số điểm cần lưu ý
Theo tinh thần chung của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 là giảm tính hàn
lâm, một số nội dung lí thuyết của phần lượng giác đã được giảm nhẹ so với trước đây. Cụ thể, không trình bày tường minh công thức hạ bậc, công thức nhân ba và công thức biểu diễn qua tang của góc chia đôi; không yêu cầu HS dùng các phép biến đổi đồ thị (phép tịnh tiến, phép đối xứng qua gốc toạ độ, phép đối xứng qua trục tung) để vẽ đồ thị của hàm số lượng giác, mà chỉ yêu cầu HS vẽ đồ thị trên một đoạn có độ dài bằng chu kì (bằng cách lấy nhiều điểm trên đồ thị và nối lại), sau đó sẽ dùng cách tương tự để vẽ đồ thị trên các đoạn khác; các tính chất của hàm số lượng giác như tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến được suy ra từ đồ thị của các hàm số lượng giác; chỉ trình bày cách giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra, những bài tập
thuần tuý toán như tính toán giá trị của các biểu thức, chứng minh các hệ thức, giải phương trình lượng giác được giảm nhẹ rất nhiều về mức độ so với trước đây. Bên cạnh việc giảm tính hàn lâm và giảm mức độ của các bài tập thuần tuý toán, một điểm mới nổi bật trong SGK Toán 11 mới này là những ứng dụng thực tế của lượng giác được đặc biệt chú trọng. Điều này thể hiện rất rõ trong những bài toán ở Tình huống mở đầu, Vận dụng và những bài tập thực tiễn trong SGK. Đây có thể coi là khác biệt cơ bản so với các SGK Toán THPT trước đây. Do quy định của Chương trình, một điểm khác biệt nữa của SGK Toán 11 mới là toàn bộ nội dung lượng giác được dạy trọn vẹn ở lớp 11, chứ không chia thành hai phần, một phần học ở lớp 10 và một phần học ở lớp 11 như trong các SGK Toán THPT cũ. - Theo yêu cầu của Chương trình mới, HS nên được tham gia tích cực vào các hoạt động
trong bài học, từ các hoạt động hình thành kiến thức mới đến các hoạt động luyện tập, vận dụng. SGK đã cố gắng thiết kế các hoạt động tương ứng. GV chỉ nên gợi ý, hướng dẫn cho HS (nếu cần) trong các hoạt động này, hạn chế việc làm thay (hoàn toàn) cho HS. - Về hình thức dạy học: + Nếu có điều kiện thì GV nên chuẩn bị sẵn slides phần đề bài của các hoạt động. Đến hoạt động nào thì trình chiếu yêu cầu của hoạt động đó lên cho HS theo dõi và thực hiện. Việc này vừa tiết kiệm thời gian viết bảng, vừa sinh động hơn và làm HS tập trung hơn vào yêu cầu của GV. + Với mỗi hoạt động, có thể cho HS làm việc cá nhân hoặc hoạt động nhóm (tuỳ tính chất của hoạt động). Sau đó yêu cầu HS trình bày câu trả lời (bằng miệng, giơ bảng trả lời, viết bảng). GV nhận xét và tổng kết, đặc biệt lưu ý phương pháp giải và các sai lầm thường mắc.

Với các ví dụ đơn giản trong bài học, GV có thể để HS tự làm và chỉ gợi ý khi cần. Tuy nhiên, với các ví dụ phức tạp hơn, thì có thể xử lí tuỳ theo trình độ chung của HS trong lớp. Nếu ở lớp HS khá, GV chỉ cần phân tích đề bài, gợi ý để HS có thể tự làm sau đó sẽ nhận xét và tổng kết phương pháp giải. Còn ở lớp với trình độ chung của HS không tốt, GV có thể chữa mẫu và phân tích kĩ cách giải (theo lược đồ 4 bước của Polya). Sau đó yêu cầu HS làm các bài tập tương tự trong phần Luyện tập, Vận dụng, GV quan sát và trợ giúp HS khi cần. - Trong mỗi bài học, các gợi ý dạy học và dự kiến thời gian tương ứng cho từng cấu phần
của bài học chỉ là một phương án đề xuất. GV có thể dựa trên kinh nghiệm giảng dạy của mình và trình độ chung của HS trong lớp để có thể có phương án hợp lí hơn, miễn là đảm bảo mục tiêu của bài học và HS được tham gia tích cực vào các hoạt động.
Một đặc điểm của chương này (và cũng là đặc điểm chung của Toán 11) là nội dung dài và có rất nhiều khái niệm mới, trong đó có những khái niệm chỉ là khái niệm trung gian, dùng để định nghĩa những khái niệm khác quan trọng hơn. Để đảm bảo hình thức cấu trúc chung của SGK theo quy định và cung cấp thêm tư liệu cho GV, với mỗi đơn vị kiến thức trong SGK chúng tôi đều trình bày đầy đủ các cấu phần: Hoạt động hình thành kiến thức, Khung kiến thức, Ví dụ, Luyện tập và đôi khi có cả Vận dụng. Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, để đảm bảo thời gian thực tế giảng dạy trên lớp, GV có thể lồng ghép các ví dụ minh hoạ và luyện tập chung cho các đơn vị kiến thức liên quan một cách phù hợp.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC (3 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác - Nhận biết được khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác. - Mô tả được bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ
bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác, quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau π.

Sử dụng được MTCT để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo
của góc đó. - Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.
2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện được năng lực mô hình hoá toán học thông qua các bài toán thực tiễn về bài
toán di chuyển của trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tình huống mở đầu), quãng đường đi của xe đạp, vận tốc (dài) và vận tốc góc của xe đạp (Bài tập 1.6)...; rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán về xác định góc lượng giác, số đo của góc lượng giác, ...; rèn luyện năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán thông qua việc sử dụng MTCT để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác. - Bồi dưỡng được hứng thú học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Ở bậc THCS, HS đã được làm quen với tỉ số lượng giác của góc nhọn thông qua các
công thức cơ bản (sin; côsin; tang; côtang; ...). Ở đây HS sẽ được tìm hiểu sâu hơn về khái niệm của góc lượng giác và số đo của góc lượng giác. Bên cạnh đó HS sẽ được mở rộng các công thức lượng giác để ứng dụng trong tính toán các giá trị lượng giác của góc lượng giác và giải các bài tập có liên quan. - Trong CT GDPT môn Toán năm 2018, so với trước đây, yêu cầu về bài toán gắn với
thực tiễn của góc lượng giác và giá trị lượng giác của góc lượng giác được quan tâm nhiều hơn. GV cần lưu ý điều này khi giảng dạy và giao bài tập cho HS. - Chuẩn bị: Ngoài những hình vẽ gợi ý trong SGK, GV có thể chuẩn bị thêm:
Tranh ảnh, hình vẽ một số vật thể hình tròn có liên quan đến góc lượng giác; + Nội dung, hình ảnh về bảng số đo lượng giác của các góc lượng giác; + Video giới thiệu lịch sử toán học liên quan tới lượng giác, nền văn minh của người
Ai Cập cổ đại, Babylon, ... sử dụng lượng giác để tính toán trong thiên văn học.
III. GỢI Ý DẠY BÀI HỌC 1.Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Góc lượng giác; Mục 2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn. + Tiết 2: Mục 3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác. + Tiết 3: Mục 4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác. Chữa bài tập cuối bài.

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
1. GÓC LƯỢNG GIÁC
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
HĐ1. Nhận biết khái niệm góc lượng giác, Đây là tình huống cho HS làm quen với các cách xác định một góc lượng giác, làm quen với chiều quay, làm quen với tia xác định góc lượng giác thông qua hình ảnh kim phút của đồng hồ., HS hoàn thành hoạt động, sau đó rút ra nhận xét. HD a) $\frac{1}{6}$; b) $\frac{5}{6}$; c) Có vô số cách quay. GV ghi bảng định nghĩa trong Khung kiến thức.
Quy ước: xác định góc lượng giác, chiều dương, chiều âm; số đo của góc lượng giác, Phần đọc hiểu này giúp HS làm quen với khái niệm góc lượng giác, tia đầu, tia cuối của góc lượng giác, chiều quay của góc lượng giác., HS hoàn thành phần đọc hiểu dưới sự hướng dẫn của GV. GV ghi bảng nội dung trong Khung kiến thức. GV nên mô tả kĩ các hình vẽ minh hoạ để HS nhìn thấy rõ minh hoạ cho tia đầu, tia cuối của góc lượng giác, chiều quay của góc lượng giác.
Chú ý về sự sai khác số đo của các góc lượng giác, Phần chú ý này giúp HS nhận biết sự sai khác nhau một bội nguyên của $360^{\circ}$ về số đo của các góc lượng giác., GV ghi bảng nội dung Chú ý.
Ví dụ 1, Hướng dẫn HS cách xác định số đo của các góc lượng giác (phụ thuộc vào chiều quay và sai khác nhau một bội nguyên của $360^{\circ}$)., GV hướng dẫn HS cách xác định số đo của các góc lượng giác. GV nhắc lại nội dung chú ý nêu trên, trong đó nhấn mạnh đến chiều quay của góc lượng giác. GV trình bày mẫu lời giải Ví dụ 1 và giảng giải cho HS. HS rút ra nhận xét.

$Luyện tập 1, HS luyện tập cách xác định số đo của các góc lượng giác (phụ thuộc vào chiều quay và sai khác nhau một bội nguyên của $360^{\circ}$)., GV hướng dẫn$

| | | HD $sđ(Ou, Ov)$ $= sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + k.360°$ $= -270° - 240° + k.360°$ $= -510° + k.360°.$ 2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN a) Đơn vị đo góc v

$của các góc đặc biệt trong phạm vi từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$. b) Độ dài cung tròn HD3. Xây dựng công thức tính độ dài cung tròn, Hướng dẫn HS xác định độ$

HĐ4. Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác, HS nhận biết được hình dạng và khái niệm về đường tròn lượng giác., GV vẽ (trình chiếu) hình vẽ về đường tròn lư

$góc lượng giác bất kì trên đường tròn lượng giác thông qua việc nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\ci$

góc lượng giác bất kì trên đường tròn lượng giác thông qua việc nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) đã học ở lớp 10., lớp 10. Từ đó mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác có số đo tuỳ ý., GV mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác bất kì trên đường tròn lượng giác. GV giới thiệu trục sin và trục côsin. GV ghi bảng nội dung trong Khung kiến thức.
Chú ý. Tập xác định, tập giá trị và dấu của các giá trị lượng giác của góc lượng giác., HS nhận biết tập xác định, tập giá trị và dấu của các giá trị lượng giác của góc lượng giác., Từ định nghĩa giá trị lượng giác của các góc lượng giác, đường tròn lượng giác, GV hướng dẫn HS đọc hiểu và ghi bảng các nội dung mục Chú ý.
Ví dụ 6, HS xác định được điểm biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Đồng thời rèn luyện kĩ năng tính giá trị lượng giác của góc lượng giác., GV hướng dẫn HS cách xác định điểm biểu diễn góc lượng giác. Cách tính giá trị lượng giác của góc lượng giác trên đường tròn lượng giác GV trình bày mẫu và giảng giải cho HS.
Luyện tập 5, Củng cố kiến thức, nâng cao kĩ năng sử dụng đường tròn lượng giác để biểu diễn góc lượng giác và tính các giá trị lượng giác của một góc., HS tự làm. GV gọi HS trả lời và giải thích cách làm. a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $\frac{5\pi}{6}$ như ở hình dưới. b) Ta có: $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$; $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$; $\cot\frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3}$. ![img]

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt d) Sử dụng MTCT để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc Hướng

Tiết 3
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a) Các công thức lượng giác cơ bản
HĐ6, HS xây dựng các công thức lượng giác cơ bản dựa vào định nghĩa và ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác., GV đưa ra vấn đề, gợi ý và yêu cầu HS giải quyết vấn đề đó. GV ghi bảng các công thức lượng giác cơ bản trong Khung kiến thức.
Ví dụ 9, HS hình thành kĩ năng vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để tính các giá trị lượng giác khi biết một giá trị lượng giác bất kì của góc., GV hướng dẫn HS cách vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã biết một giá trị lượng giác của góc lượng giác. GV gọi HS trình bày và nhận xét về bài làm của HS.
Luyện tập 7, HS rèn luyện kĩ năng vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để tính các giá trị lượng giác., GV gọi HS trình bày và nhận xét về bài làm của HS. GV tổng kết lại lời giải. HD. Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên $\sin\alpha < 0$. Mặt khác $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, suy ra $\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
HĐ7. Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc đối nhau, HĐ này giúp HS nhận biết mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc đối nhau., GV đưa ra vấn đề, gợi ý và yêu cầu HS giải quyết vấn đề đó. HS đọc hiểu và trả lời câu hỏi của GV. GV ghi lên bảng mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc đối nhau.

Phần đọc hiểu và chú ý, HS đọc hiểu, GV nêu nội dung phần đọc hiểu và Chú ý; hướng dẫn HS cách vận dụng các công thức lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

Chữa bài tập, HS làm bài tập để củng cố kiến thức đã học. Bài tập 1.6., HS tự đọc và thực hiện. GV gọi HS trả lời. GV nhận xét bài làm và tổng kết lại kiến thức

$1.3. Điểm $M$ biểu diễn các góc lượng giác được vẽ trong các hình sau: a) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ b) $\alpha = -\frac{11\pi}{4}$ c) $\alpha = 150^{\circ}$ d)$

Bài 2. Công thức lượng giác I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Mô tả được các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công

III. GỢI Ý DẠY BÀI HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian (2 tiết): Tiết 1: Mục 1. Công thức cộng; Mục 2: Công thức nhân đôi. Tiết 2: Mục 3. Công thức biến

$Ta có $\cos\left[\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+b\right]$ $=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos b-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin b$ $=\sin a\cos b-\cos a\s$

Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu, Củng cố, nâng cao kĩ năng chứng minh biểu thức lượng giác qua việc áp dụng công thức cộng., HS tự đọc và thực

Chữa tập cuối bài, Mục đích của hoạt động này là cho HS làm bài tập để củng cố kiến thức đã học. Bài tập 1.7; Bài tập 1.8; Bài tập 1.9., HS tự đọc và thực hiện.

Luyện tập 3, Củng cố, nâng cao kĩ năng sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để tính giá trị của các biểu thức lượng giác., HS tự đọc và thực hiện. GV gọi

Tương tự ta có được các công thức khác. GV ghi bảng nội dung trong Khung kiến thức. Ví dụ 5, HS tính được giá trị của biểu thức lượng giác cho dưới dạng tổng, h

Củng cố, Dành cho dự phòng, GV dặn dò HS công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. 3. Phân loại bài tập Áp dụng các công thức lượng giác

$Suy ra $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} : \frac{-1}{3} = 2\sqrt{2}$. Do đó $\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a - 1}{\tan a$

$1.12. a) Ta có $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$, suy ra $b = \frac{a}{\sin A}\sin B$. Thay vào công thức tính diện tích ta được $$S = \frac{1}{2}ab\sin C =$

Bài 3. Hàm số lượng giác
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
– Nhận biết được các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
– Nhận biết được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
– Nhận biết được định nghĩa các hàm số lượng giác (HSLG) $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ thông qua đường tròn lượng giác.
– Mô tả được bảng giá trị của bốn HSLG đó trên một chu kì.
– Vẽ được đồ thị của các hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$.
– Giải thích được: tập xác định; tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ dựa vào đồ thị.
– Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với HSLG.
2. Về năng lực, phẩm chất
– Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện qua việc nhận dạng được tính chẵn – lẻ và tính tuần hoàn của các HSLG; vẽ đồ thị của các HSLG.
– Rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học thông qua việc giải quyết một số bài toán thực tiễn gắn liền với HSLG.
– Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Nội dung HSLG trong SGK mới có một số khác biệt so với sách giáo khoa cũ. Trong SGK cũ, nội dung HSLG được trình bày sâu hơn và hàn lâm hơn; trong khi SGK mới được trình bày tinh giản hơn, hướng nhiều đến các ứng dụng của HSLG trong thực tiễn.
– Trong chương trình và SGK cũ thì khái niệm hàm số chẵn-lẻ đã được giới thiệu chi tiết ở lớp 10. Tuy nhiên, trong chương trình và SGK mới thì đến lớp 11 mới giới thiệu khái niệm hàm số chẵn-lẻ và khái niệm này được trình bày lồng ghép trong nội dung HSLG. Khái niệm hàm số tuần hoàn cũng được trình bày lồng ghép trong các HSLG.
– Nội dung HSLG ở SGK cũ mang đậm tính hàn lâm thể hiện ở việc SGK cũ nghiên cứu chi tiết tính đơn điệu của các HSLG dựa vào đường tròn lượng giác sau đó lập bảng biến thiên

rồi vẽ đồ thị. Trái lại, SGK mới hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị các HSLG trước, sau đó dựa vào đồ thị của chúng suy ra tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tập giá trị, ... của các HSLG (giống như cách làm đối với hàm số bậc hai ở lớp 10).
– Chuẩn bị:
GV chuẩn bị thông tin về một số bài toán thực tế liên quan đến HSLG như bài toán biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc luồng khí thở theo thời gian; bài toán dao động điều hoà; bài toán về sự phụ thuộc của huyết áp vào thời gian,...
GV và HS chuẩn bị MTCT để thực hành tính toán.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
– Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Định nghĩa HSLG
Mục 2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
Mục 3. Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \sin x$.
Tiết 2: Mục 4. Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \cos x$
Mục 5. Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \tan x$
Mục 6. Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \cot x$
Hướng dẫn chữa bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học, không yêu cầu giải quyết được ngay tình huống này., GV chỉ cần nêu tình huống để HS thấy sự phụ thuộc của vận tốc luồng khí thở theo thời gian.
1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HĐ1. Lập bảng giá trị của các HSLG cơ bản, Giúp HS ôn tập lại cách tính giá trị lượng giác của một góc cho trước, từ đó hướng HS tới quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với giá trị lượng giác của $x$., HS tự thực hành tính toán để hoàn thành bảng giá trị. HS có thể sử dụng MTCT, tuy nhiên ưu tiên là thuộc giá trị LG của các góc đặc biệt.

$Khung kiến thức, Giúp HS nắm được định nghĩa của bốn HSLG cơ bản. Đó là các hàm số cho bởi công thức $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ và $y = \cot x$, G$

Khung kiến thức, Giúp HS nắm được định nghĩa của bốn HSLG cơ bản. Đó là các hàm số cho bởi công thức $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ và $y = \cot x$, GV yêu cầu HS ghi nhớ tập xác định của bốn HSLG cơ bản.
Ví dụ 1, Giúp HS tìm tập xác định của một HSLG cụ thể., GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời, sau đó trình bày lời giải cẩn thận lên bảng và yêu cầu HS ghi vào vở.
Luyện tập 1, Cung cấp cho HS một ví dụ tương tự để HS tìm tập xác định của HSLG., TXĐ là $\mathbb{R} \setminus \left{ {k\pi ,\big
2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN
HĐ2. Nhận biết tính chẵn lẻ của hàm số $y = {x^2}$ và $y = {x^3}$., Giúp HS nhận biết tính chẵn của hàm số $y = {x^2}$ và tính đối xứng của đồ thị của nó qua trục Oy. Giúp HS nhận biết tính lẻ của hàm số $y = {x^3}$ và tính đối xứng của đồ thị của nó qua gốc toạ độ O., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ2. Cho HS nhận biết mối quan hệ giữa tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị hàm chẵn - lẻ.
Khung kiến thức, Giúp HS nắm được định nghĩa hàm số chẵn và hàm số lẻ. Giúp HS nhận biết tính đối xứng của đồ thị hàm chẵn và hàm lẻ., GV gọi một HS đứng tại chỗ phát biểu định nghĩa sau đó viết văn tắt lên bảng và yêu cầu HS ghi vào vở. Cho HS quan sát đồ thị và nhận ra tính đối xứng của đồ thị hàm chẵn - lẻ.
Nhận xét, Giúp HS nắm được cách vẽ đồ thị của hàm chẵn - lẻ: Chỉ cần vẽ đồ thị của nó ở bên phải trục Oy, sau đó sử dụng tính đối xứng để có được đồ thị trên toàn tập xác định., GV gọi HS đứng tại chỗ trả lời và sau đó chính xác hoá câu trả lời.
Ví dụ 2, Cho HS thực hành kiểm tra tính chẵn - lẻ của một hàm số cụ thể., GV gọi HS đứng tại chỗ trả lời sau đó chính xác hoá câu trả lời.

$Luyện tập 2, Cung cấp một ví dụ để HS xét tính chẵn - lẻ., Hàm số $y = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ. HĐ3. Nhận biết tính tuần hoàn của các HSLG, Giúp HS nhớ lại mố$

Luyện tập 2, Cung cấp một ví dụ để HS xét tính chẵn - lẻ., Hàm số $y = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.
HĐ3. Nhận biết tính tuần hoàn của các HSLG, Giúp HS nhớ lại mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc hơn kém nhau $\pi$ và $2\pi$, từ đó dẫn dắt tới khái niệm hàm số tuần hoàn., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ3 để ôn tập lại giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
Khung kiến thức, Giúp HS nắm được khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kì của hàm số tuần hoàn., GV viết định nghĩa lên bảng và yêu cầu HS ghi cẩn thận vào vở.
Nhận xét, Giúp HS nhận biết được tính tuần hoàn và chu kì của bốn HSLG cơ bản. Giúp HS nắm được nguyên tắc về đồ thị của hàm số tuần hoàn, đó là chỉ cần vẽ đồ thị của nó trên một chu kì sau đó tịnh tiến ra khắp tập xác định., GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời về tính tuần hoàn và chu kì của bốn HSLG cơ bản và giải thích câu trả lời sau đó chính xác hoá câu trả lời của HS. GV hướng dẫn HS nguyên tắc về đồ thị của hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3, Giúp HS biết cách kiểm tra tính tuần hoàn của một HSLG cụ thể., GV gọi một HS lên bảng (gọi HS khá, nếu cần có thể gợi ý hướng dẫn) giải ví dụ 3. GV chữa cẩn thận lời giải của HS.
Chú ý, Giúp HS biết được chu kì tuần hoàn của các hàm số mô tả dao động điều hoà., GV giải thích sơ lược cho HS.
Luyện tập 3, Cho HS một ví dụ tương tự để HS kiểm tra tính tuần hoàn và tìm chu kì của HSLG., Hàm số $y = \tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi}{2}$.
3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \sin x$
| HĐ4. Vẽ đồ thị của hàm số $y = \sin x$ | Hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên chu kì $[-\pi; \pi]$ bằng cách lập bảng các giá trị đặc biệt. | HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ4 dưới sự theo dõi giám sát của GV.
GV sẵn sàng giải đáp các câu hỏi của HS. |

$Từ tính tuần hoàn của hàm sin, HS sẽ vẽ được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên toàn trục số., GV kiểm tra bài làm của một vài HS sau đó vẽ đồ thị lên bảng theo từ$

Từ tính tuần hoàn của hàm sin, HS sẽ vẽ được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên toàn trục số., GV kiểm tra bài làm của một vài HS sau đó vẽ đồ thị lên bảng theo từng bước trong HĐ4.
Khung kiến thức, Giúp HS chỉ ra được các tính chất cơ bản của hàm số $y = \sin x$ từ đồ thị của nó. Chẳng hạn, từ đồ thị hàm $y = \sin x$ nghiệm lại được tập giá trị, tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn, chu kì và đặc biệt là các khoảng đồng biến, nghịch biến., GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời các câu hỏi về các tính chất cơ bản của hàm số $y = \sin x$ sau đó chính xác câu trả lời của HS bằng cách giải thích cặn kẽ trên đồ thị. GV yêu cầu HS ghi chép cẩn thận các tính chất của hàm $y = \sin x$ vào vở.
Ví dụ 4, Giúp HS biết cách sử dụng đồ thị của hàm sin để giải phương trình $\sin x = 0$, giải bất phương trình $\sin x > 0$ trên một đoạn nào đó., GV gọi một HS đứng tại chỗ quan sát đồ thị hàm sin vừa vẽ và trả lời câu hỏi, sau đó chính xác hoá câu trả lời.
Luyện tập 4, Cho HS một ví dụ tìm tập giá trị của hàm LG sử dụng hàm sin., Tập giá trị là đoạn $[-2; 2]$.
Vận dụng 1. Khai thác bài toán ở tinh huống mở đầu, Giúp HS giải quyết một bài toán thực tiễn liên quan đến HSLG. Giúp HS hiểu được ý nghĩa chu kì của hàm số tuần hoàn và giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của HSLG trong thực tiễn., a) Vận tốc lớn nhất của luồng khí là $0{,}85$ lít/ giây. b) Trong khoảng từ 0 đến 3 giây thì người đó hít vào và từ 3 đến 5 giây thì người đó thở ra.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \cos x$
HĐ5. Đồ thị của hàm số $y = \cos x$, Hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên, HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ5 dưới sự theo dõi giám sát của GV.

$chu kì $[-\pi; \pi]$ bằng cách lập bảng các giá trị đặc biệt. Từ tính tuần hoàn của hàm côsin HS sẽ vẽ được đồ thị hàm $y = \cos x$ trên toàn trục số., GV sẵn s$

$5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \tan x$ HD6. Đồ thị của hàm số $y = \tan x$, Giúp HS sử dụng bảng giá trị của hàm $y = \tan x$ để vẽ đồ thị của nó trên c$

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \tan x$
HD6. Đồ thị của hàm số $y = \tan x$, Giúp HS sử dụng bảng giá trị của hàm $y = \tan x$ để vẽ đồ thị của nó trên chu kì $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$. Từ tính tuần hoàn của hàm $y = \tan x$, vẽ đồ thị của hàm số này trên toàn tập xác định., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HD6. GV giúp đỡ HS khi cần. Sau khi HS thực hiện xong các yêu cầu trong HD6, GV vẽ đồ thị hàm $y = \tan x$ lên bảng để minh hoạ lại các bước gợi ý trong HD6.
Khung kiến thức, Giúp HS chỉ ra được các tính chất cơ bản của hàm $y = \tan x$ từ đồ thị của nó. Chẳng hạn, từ đồ thị hàm $y = \tan x$ nghiệm lại được tập xác định, tập giá trị, tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn - chu kì và đặc biệt là các khoảng đồng biến, nghịch biến., GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời các câu hỏi về các tính chất cơ bản của hàm $y = \tan x$ sau đó chính xác câu trả lời của HS bằng cách giải thích căn kẽ trên đồ thị.
Ví dụ 6, Cung cấp cho HS một ví dụ vận dụng đồ thị của hàm số $y = \tan x$., GV gọi một HS đứng tại chỗ quan sát đồ thị của hàm $y = \tan x$ trên bảng và trả lời câu hỏi, sau đó GV chính xác hoá câu trả lời.
Luyện tập 6, Cung cấp cho HS một ví dụ tương tự Ví dụ 6., $x \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$.
6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ $y = \cot x$
HD7. Đồ thị của hàm số $y = \cot x$, Giúp HS sử dụng bảng giá trị của hàm $y = \cot x$ để vẽ đồ thị của nó trên chu kì $(0; \pi)$. Từ tính tuần hoàn của hàm $y = \cot x$, vẽ đồ thị của hàm số này trên toàn tập xác định., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HD7. GV giúp đỡ HS khi cần. Sau khi HS thực hiện xong các yêu cầu trong HD7, GV vẽ đồ thị hàm $y = \cot x$ lên bảng để minh hoạ lại các bước gợi ý trong HD7.

$Khung kiến thức, Giúp HS chỉ ra được các tính chất cơ bản của hàm $y = \cot x$ từ đồ thị của nó. Chẳng hạn, từ đồ thị hàm $y = \cot x$ nghiệm lại được tập xác đ$

Bài 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản bằng cá

Rèn luyện năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thể hiện qua việc sử dụng
MTCT để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác. - Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng
tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Nội dung phương trình lượng giác trong SGK mới có sự khác biệt rất lớn so với sách
giáo khoa cũ. Trong SGK cũ, nội dung phương trình lượng giác được trình bày rất rộng và sâu. Ngoài các dạng phương trình lượng giác cơ bản, SGK cũ còn trình bày các dạng phương trình lượng giác bậc cao, phương trình thuần nhất đối với sin và côsin, phương trình đẳng cấp,... Trong SGK mới nội dung phương trình lượng giác
được tinh giản chỉ còn hai tiết và chỉ trình bày bốn dạng phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao hơn là các dạng phương trình sin v = cos v = không có các phương trình khó. - SGK cũ hình thành công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản thông qua
việc sử dụng đường tròn lượng giác. SGK mới hình thành công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản thông qua việc sử dụng kết hợp giữa đồ thị của HSLG và đường tròn lượng giác, đặc biệt, sử dụng tính tuần hoàn của HSLG để giải thích tại sao trong công thức nghiệm của phương trình sin = α ta lại phải cộng thêm một bội nguyên của chu kì 2π vào nghiệm cơ sở. - SGK mới nhấn mạnh đến các ví dụ thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác. - Chuẩn bị: + GV chuẩn bị thông tin về một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình lượng
giác như bài toán chuyển động ném xiên, bài toán khúc xạ ánh sáng. + GV và HS chuẩn bị MTCT để thực hành tính toán.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Khái niệm phương trình tương đương.
Mục 2. Phương trình sinx = m Mục 3. Phương trình cos x = m

$Tiết 2: Mục 4. Phương trình $\tan x = m$ Mục 5. Phương trình $\cot x = m$ Mục 6. Sử dụng MTCT, tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó. Hướng dẫn chữa bà$

Luyện tập 1, Cho một ví dụ tương tự để HS tự thực hành., Đây là hai phương trình không tương đương. Chú ý, Đây thực chất là khung kiến thức. HS cần nắm chắc hai

$Khung kiến thức, Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$., GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu cầu HS ghi cẩn thận vào v$

Khung kiến thức, Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$., GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu cầu HS ghi cẩn thận vào vở, yêu cầu HS phải học thuộc $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$.
Chú ý – Công thức nghiệm trong trường hợp đơn vị đo góc là độ. – Các trường hợp đặc biệt., Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin (\alpha^\circ)$ dưới dạng đơn vị đo độ. Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\sin x = m$ trong ba trường hợp đặc biệt khi $m \in {-1; 0; 1}$., Yêu cầu HS ghi công thức nghiệm dưới dạng đơn vị đo độ vào vở. GV vẽ đường tròn lượng giác lên bảng và yêu cầu HS quan sát rồi cho biết công thức nghiệm của phương trình $\sin x = m$ khi $m \in {-1; 0; 1}$. Giải thích cho HS tại sao khi $m \in {-1; 0; 1}$ thì công thức nghiệm tổng quát ở trên lại được viết ở dạng thu gọn.
Ví dụ 2, Giúp HS biết cách giải phương trình lượng giác cụ thể dạng $\sin x = m$ trong hai trường hợp: khi $m$ là giá trị đặc biệt và khi $m$ không đặc biệt., GV yêu cầu tất cả HS viết công thức nghiệm vào vở, sau đó kiểm tra vở của một vài HS và chữa bài làm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Khung kiến thức, Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\sin u = \sin v$., GV gọi một HS đứng tại chỗ đọc công thức nghiệm, sau đó ghi công thức nghiệm lên bảng và yêu cầu HS ghi cẩn thận vào vở.
Ví dụ 3, Giúp HS biết cách giải một phương trình lượng giác dạng $\sin u = \sin v$ cụ thể., GV yêu cầu tất cả HS viết công thức nghiệm ra vở ghi, sau đó kiểm tra vở của một vài HS và chữa bài làm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Ví dụ 4. Giải bài toán ở tình huống mở đầu, Cung cấp cho HS lời giải chi tiết của bài toán thực tiễn vận dụng phương trình $\sin x = m$., GV trình bày lời giải chi tiết lên bảng và giảng giải cặn kẽ cho HS.

$Luyện tập 2, Cho HS rèn luyện cách giải phương trình $\sin x = m$ và $\sin u = -\sin v$ thông qua hai ví dụ tương tự., HS tự làm tại lớp. GV chính xác hoá lời g$

Luyện tập 2, Cho HS rèn luyện cách giải phương trình $\sin x = m$ và $\sin u = -\sin v$ thông qua hai ví dụ tương tự., HS tự làm tại lớp. GV chính xác hoá lời giải. a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \ x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi. \end{cases}$ b) $\sin 3x = -\sin 5x \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{k\pi}{4} \ x = \frac{\pi}{2} + k\pi. \end{cases}$
3. PHƯƠNG TRÌNH $\cos x = m$
HD3. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$., Hướng dẫn HS cách sử dụng đường tròn lượng giác để nhận biết nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ trong nửa khoảng $[-\pi; \pi)$. Từ đồ thị của hàm côsin và tính tuần hoàn của hàm côsin viết công thức nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HD3. GV vẽ đường tròn lượng giác và đồ thị hàm côsin lên bảng hoặc trình chiếu lên màn hình. Sau khi cho HS tự trả lời các yêu cầu trong HD3, GV chính xác hoá các câu trả lời.
Khung kiến thức, Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\cos x = \cos \alpha$., GV yêu cầu HS ghi công thức nghiệm vào vở.
Chú ý - Công thức nghiệm trong trường hợp đơn vị đo góc là độ. - Các trường hợp đặc biệt., Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\cos x = \cos \alpha^\circ$ dưới dạng đơn vị đo độ. Giúp HS viết được công thức nghiệm của phương trình $\cos x = m$ trong ba trường hợp đặc biệt khi $m \in {-1; 0; 1}$., Yêu cầu HS ghi công thức nghiệm dưới dạng đơn vị đo độ vào vở. GV vẽ đường tròn lượng giác lên bảng và yêu cầu HS quan sát rồi cho biết công thức nghiệm của phương trình $\cos x = m$ khi $m \in {-1; 0; 1}$. Giải thích cho HS tại sao khi $m \in {-1; 0; 1}$ thì công thức nghiệm tổng quát ở trên lại được viết ở dạng thu gọn.

$Ví dụ 5, Cho HS thực hành giải phương trình dạng $\cos x = m$ cụ thể trong hai trường hợp: khi $m$ là giá trị đặc biệt và khi $m$ không đặc biệt., GV yêu cầu tấ$

Ví dụ 5, Cho HS thực hành giải phương trình dạng $\cos x = m$ cụ thể trong hai trường hợp: khi $m$ là giá trị đặc biệt và khi $m$ không đặc biệt., GV yêu cầu tất cả HS viết công thức nghiệm vào vở, sau đó kiểm tra vở của một vài HS và chữa bài làm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Khung kiến thức, Giúp HS viết công thức nghiệm của phương trình $\cos u = \cos v$., GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu cầu HS ghi cẩn thận vào vở, yêu cầu HS phải học thuộc $\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k2\pi.$
Ví dụ 6, Cho HS thực hành giải một phương trình lượng giác dạng $\cos u = \cos v$., GV yêu cầu tất cả HS giải chi tiết ra vở, sau đó kiểm tra vở của một vài HS và chữa bài làm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Luyện tập 3, Củng cố kĩ năng giải phương trình $\cos x = m$, $\cos u = \cos v$ và phương trình $\cos u = \sin v$., HS tự làm tại lớp. a) $2\cos x = -\sqrt{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + k2\pi.$ b) $\cos 3x - \sin 5x = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{\pi}{4} + k\pi.$
Vận dụng, Giới thiệu cho HS khái niệm pha của mặt trăng. Cho HS thêm một ví dụ thực tiễn vận dụng phương trình lượng giác., a) Trăng mới $F = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = 1$ $\Leftrightarrow \alpha \in {0^\circ; 360^\circ}.$ b) Trăng lưỡi liềm $F = 0{,}25 \Leftrightarrow \cos \alpha = 0{,}5$ $\Leftrightarrow \alpha \in {60^\circ; 300^\circ}.$ c) Trăng bán nguyệt $F = 0{,}5 \Leftrightarrow \cos \alpha = 0$ $\Leftrightarrow \alpha \in {90^\circ; 270^\circ}.$ d) Trăng tròn $F = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = -1 \Leftrightarrow \alpha = 180^\circ.$
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.

$Tiết 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 4. PHƯƠNG TRÌNH $\tan x = m$ HĐ4. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình $\tan x = 1$, Giúp HS tự khám$

Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
4. PHƯƠNG TRÌNH $\tan x = m$
HĐ4. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình $\tan x = 1$, Giúp HS tự khám phá công thức nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ bằng cách quan sát đồ thị hàm tang đã vẽ sẵn., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ4. GV giúp đỡ HS khi cần. GV vẽ hình lên bảng hoặc chiếu hình lên bảng và yêu cầu HS quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi trong HĐ4.
Khung kiến thức, Giúp HS thấy rằng phương trình $\tan x = m$ luôn có nghiệm với mọi $m$. Giúp HS ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \alpha$., GV viết công thức nghiệm lên bảng và đóng khung lại. GV yêu cầu HS ghi công thức vào vở và học thuộc.
Chú ý, Giúp HS viết công thức nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \alpha^{\circ}$ ở dạng đơn vị đo độ., GV yêu cầu HS ghi công thức nghiệm vào vở.
Ví dụ 7, Cho HS thực hành giải phương trình lượng giác dạng $\tan x = m$ cụ thể trong hai trường hợp: khi $m$ là giá trị đặc biệt và khi $m$ không đặc biệt., HS tự giải, sau đó GV gọi HS đứng tại chỗ đọc công thức nghiệm; cuối cùng GV viết công thức nghiệm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Luyện tập 4, Cho HS hai ví dụ luyện tập giải phương trình $\tan x = m$ và $\tan u = \tan v$., a) $\sqrt{3}\tan 2x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}$. b) $\tan 3x + \tan 5x = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{8}$, với $k \neq 4 + 8n, n \in \mathbb{Z}$.
5. PHƯƠNG TRÌNH $\cot x = m$
HĐ5. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình $\cot x = -1$, Giúp HS tự khám phá công thức nghiệm của phương trình $\cot x = -1$ bằng cách quan sát đồ thị hàm côtang đã vẽ sẵn., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ5. GV giúp đỡ HS khi cần. GV vẽ hình lên bảng hoặc chiếu hình lên bảng và yêu cầu HS quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi trong HĐ5.

$Khung kiến thức, Giúp HS thấy rằng phương trình $\cot x = m$ luôn có nghiệm với mọi $m$. Giúp HS ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình $\cot x = \cot \alpha$

Khung kiến thức, Giúp HS thấy rằng phương trình $\cot x = m$ luôn có nghiệm với mọi $m$. Giúp HS ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình $\cot x = \cot \alpha$., GV viết công thức nghiệm lên bảng và đóng khung lại. GV yêu cầu HS ghi công thức vào vở và học thuộc.
Chú ý, Giúp HS viết công thức nghiệm của phương trình $\cot x = \cot \alpha^{\circ}$ ở dạng đơn vị đo độ., GV yêu cầu HS ghi công thức nghiệm vào vở.
Ví dụ 8, Cho HS thực hành giải phương trình lượng giác dạng $\cot x = m$ cụ thể trong hai trường hợp: khi $m$ là giá trị đặc biệt và khi $m$ không đặc biệt., HS tự giải ra vở ghi sau đó GV gọi HS đứng tại chỗ đọc công thức nghiệm; cuối cùng GV viết công thức nghiệm lên bảng để cả lớp cùng quan sát.
Luyện tập 5, Cho HS hai ví dụ luyện tập giải phương trình $\cot x = m$., a) $\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. b) $\sqrt{3}\cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$.
6. SỬ DỤNG MTCT TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CHÚNG
Khung kiến thức, Hướng dẫn HS cách sử dụng MTCT để giải phương trình lượng giác., Cần lưu ý là các loại MTCT khác nhau thì cách ấn phím có thể khác nhau. GV hướng dẫn tuỳ theo thực tế các loại MTCT mà HS có.
Ví dụ 9, Cho HS một ví dụ cụ thể sử dụng MTCT giải phương trình LG., GV cho HS thực hành sử dụng MTCT giải phương trình LG sau đó yêu cầu HS cung cấp kết quả trên màn hình MT.
Luyện tập 6, Cung cấp cho HS một số ví dụ tương tự sử dụng MTCT., HS tự thực hành dưới sự hướng dẫn của GV.
Chữa bài tập, GV gợi ý hoặc cho HS chữa một số bài tập cuối bài trong SGK., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.

Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. 3. Lựa chọn bài tập Giả

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I (1 tiết) I. GỢI Ý DẠY HỌC – GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị slides dạng sơ đồ hoá). – GV hệ thống các dạng

$1.31. Ta có $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha > 0$, suy ra $\sin \alpha =$

1.31. Ta có $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha > 0$, suy ra $\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Suy ra:
a) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$.
b) $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{-1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$.
c) $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{-1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6}$.
d) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{-1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - 3}{6}$.
1.32. Ta có:
a) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + \sin 2\alpha$.
b) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos 2\alpha$.
1.33. a) Vì $-1 \le \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$ nên $-3 \le 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
Suy ra tập giá trị của hàm số $y = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 1$ là đoạn $[-3; 1]$.
b) Ta có $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Vì $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$ nên $-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.
Suy ra tập giá trị của hàm số $y = \sin x + \cos x$ là đoạn $\left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]$.
1.34. a) Ta có $\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \ 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \ x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}. \end{cases}$
b) Ta có $2\sin^2 x - 1 + \cos 3x = 0 \Leftrightarrow -\cos 2x + \cos 3x = 0$
$\Leftrightarrow \cos 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 2x + k2\pi \ 3x = -2x + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = k2\pi \ x = k\frac{2\pi}{5}. \end{cases}$

$c) Ta có $\tan\left(2x + \frac{\pi}{5}\right) = \tan\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi}{5} = x - \frac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow$

Bài 5. Dãy số
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Mục đích của chương này là giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số và hai loại dãy số đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong thực tế là cấp số cộng và cấp số nhân. Đây thực chất là những hàm số xác định trên tập các số nguyên dương, hoặc một tập con hữu hạn của tập các số nguyên dương (nếu dãy số đã cho là dãy số hữu hạn).
Những khái niệm về dãy số trong chương này còn giúp chúng ta trong Chương V trình bày khái niệm giới hạn, một trong những khái niệm nền tảng của Giải tích. Từ khái niệm giới hạn này, người ta xây dựng hai phép tính cơ bản của Giải tích là phép lấy đạo hàm và phép lấy tích phân.
2 Cấu tạo chương
Tổng thời lượng: 7 tiết.
Nội dung:
Bài 5. Dãy số (2 tiết)
Bài 6. Cấp số cộng (2 tiết)
Bài 7. Cấp số nhân (2 tiết)
Bài tập cuối chương II (1 tiết).
3 Một số điểm cần lưu ý
Theo tinh thần chung của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 là giảm tính hàn lâm, và do HS đại trà không được học về chứng minh bất đẳng thức, phương pháp quy nạp toán học và cách giải hệ ba phương trình ba ẩn, nên những nội dung thuần tuý toán về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân được giảm nhẹ nhiều. Cụ thể, những bài toán về xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số được giảm nhẹ rất nhiều; các dãy số thường cho sẵn công thức xác định (công thức số hạng tổng quát hoặc hệ thức truy hồi), hoặc chỉ yêu cầu HS dự đoán công thức dựa trên quan sát một số số hạng đầu (kể cả công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân), chứ không yêu cầu HS chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra, do Chương trình không yêu cầu nên tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân cũng được đưa thành bài tập, chứ không trình bày trong lí thuyết như các SGK Toán THPT cũ.

Bên cạnh việc giảm tính hàn lâm và giảm mức độ của các bài tập thuần tuý toán, một điểm mới nổi bật trong SGK Toán 11 mới này là những ứng dụng thực tế của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân được đặc biệt chú trọng. Điều này thể hiện rất rõ trong những bài toán ở Tình huống mở đầu, Vận dụng và những bài tập thực tiễn trong SGK. Đây có thể coi là khác biệt cơ bản so với các SGK Toán 11 trước đây. - Theo yêu cầu của Chương trình mới, HS nên được tham gia tích cực vào các hoạt động trong bài học, từ các hoạt động hình thành kiến thức mới đến các hoạt động luyện tập, vận dụng. SGK đã cố gắng thiết kế các hoạt động tương ứng. GV chỉ nên gợi ý, hướng dẫn cho HS (nếu cần) trong các hoạt động này, hạn chế việc làm thay (hoàn toàn) cho HS. - Về Hình thức dạy học: + Nếu có điều kiện thì GV nên chuẩn bị sẵn slides phần đề bài của các hoạt động. Đến
hoạt động nào thì trình chiếu yêu cầu của hoạt động đó lên cho HS theo dõi và thực hiện. Việc này vừa tiết kiệm thời gian viết bảng, vừa sinh động hơn và làm HS tập trung hơn vào yêu cầu của GV. + Với mỗi hoạt động, có thể cho HS làm việc cá nhân hoặc hoạt động nhóm (tùy tính chất của hoạt động). Sau đó yêu cầu HS trình bày câu trả lời (bằng miệng, giơ bảng trả lời, viết bảng). GV nhận xét và tổng kết, đặc biệt lưu ý phương pháp giải và các sai lầm thường mắc. + Với các ví dụ đơn giản trong bài học, GV có thể để HS tự làm và chỉ gợi ý khi cần. Tuy nhiên, với các ví dụ phức tạp hơn, thì có thể xử lí tuỳ theo trình độ chung của HS trong lớp. Nếu ở lớp HS khá, GV chỉ cần phân tích đề bài, gợi ý để HS có thể tự làm sau đó sẽ nhận xét và tổng kết phương pháp giải. Còn ở lớp với trình độ chung của HS không tốt, GV có thể chữa mẫu và phân tích kĩ cách giải (theo lược đồ 4 bước của Polya). Sau đó yêu cầu HS làm các bài tập tương tự trong phần Luyện tập, Vận dụng, GV quan sát và trợ giúp HS khi cần. - Trong mỗi bài học, các gợi ý dạy học và dự kiến thời gian tương ứng cho từng cấu phần của bài học chỉ là một phương án đề xuất. GV có thể dựa trên kinh nghiệm giảng dạy của mình và trình độ chung của HS trong lớp để có thể có phương án hợp lí hơn, miễn là đảm bảo mục tiêu của bài học và HS được tham gia tích cực vào các hoạt động.

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 5. DÃY SỐ (2 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn. - Thể hiện được các cách cho một dãy số: bằng liệt kê các số hạng (đối với dãy số hữu
hạn và có ít số hạng); bằng công thức của số hạng tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả. - Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản.
2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông
qua việc thiết lập các dãy số liên quan đến thực tiễn ở trong bài học. - Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng
tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày Dãy số ở đây và trong
SGK Toán 11 cũ. Tuy nhiên, theo tinh thần của Chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến sự xuất hiện của dãy số trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến dãy số. - Do tinh thần chung là giảm nhẹ các yếu tố hàn lâm của Chương trình mới, HS đại trà
không còn được học phương pháp quy nạp toán học ở trong SGK Toán (mà chỉ trình bày ở Chuyên đề học tập Toán 10, là chuyên đề tự chọn của HS), nên công thức tổng quát của dãy số hoặc hệ thức truy hồi của các dãy số liên quan trong các ví dụ, bài tập trong bài học được hình thành từ việc yêu cầu HS viết một vài số hạng đầu, sau đó phát hiện ra quy luật và khái quát lên thành công thức tổng quát và công nhận; chứ không yêu cầu HS phải chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp quy nạp toán học. - Do theo Chương trình mới, HS không được học một cách hệ thống về chứng minh bất
đẳng thức và HS đại trà không được học về phương pháp quy nạp toán học, nên mức độ của các bài tập về xét tính tăng, giảm, tính bị chặn của các dãy số được giảm nhẹ rất nhiều so với trước đây. GV cần đặc biệt lưu ý điều này khi lựa chọn các ví dụ, bài tập tương ứng với kĩ năng này cho phù hợp với yêu cầu cần đạt của Chương trình.

– Chuẩn bị: + GV chuẩn bị thông tin số liệu thực tế (tại thời điểm giảng dạy) về một số vấn đề trong cuộc sống liên quan đến dãy số (số dân của một địa phương q

phương nhỏ hơn 50, để dẫn đến khái niệm dãy số hữu hạn tổng quát., GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Ví dụ 2, Rèn luyện kĩ năng xác đ

| Luyện tập 2 | Củng cố kĩ năng xác định những số hạng đầu của một dãy số khi biết số hạng tổng quát hoặc hệ thức truy hồi. | HS tự làm tại lớp. | | Tổng kết |

dãy số khi biết số hạng tổng quát trong trường hợp đơn giản Luyện tập 4, Củng cố cho HS kĩ năng xét tính bị chặn của một dãy số khi biết số hạng tổng quát trong

$2.2. a) $u_1 = 1; u_2 = 2 \cdot 1 = 2; u_3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6;$ $u_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24; u_5 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.$ b) C$

Bài 6. Cấp số cộng
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
– Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng.
– Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
– Tính được tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
– Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng.
2. Về năng lực, phẩm chất
– Rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn liên quan đến cấp số cộng; rèn luyện năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thông qua việc sử dụng MTCT để tính tổng $n$ số hạng liên tiếp của một dãy số.
– Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày cấp số cộng ở đây và SGK Toán 11 cũ. Tuy nhiên, theo tinh thần của Chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến nguồn gốc và ứng dụng của cấp số cộng trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến cấp số cộng. Ngoài ra, chúng tôi hướng dẫn HS tự xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng, chứ không yêu cầu HS công nhận như SGK Toán 11 cũ.
– Do HS đại trà không được học phương pháp quy nạp toán học, nên công thức tổng quát của cấp số cộng ở đây được hình thành từ việc yêu cầu HS viết một vài số hạng đầu, sau đó khái quát lên thành công thức tổng quát và công nhận; chứ không yêu cầu HS phải chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp quy nạp toán học.

– Do Chương trình không yêu cầu và do thời gian hạn chế (và cũng như SGK Toán của các nước phát triển), chúng tôi không trình bày tính chất của cấp số cộng như là một mục riêng trong lí thuyết như trong SGK cũ; mà thiết kế thành một bài tập ở phần ôn tập chương, cùng với tính chất tương ứng của cấp số nhân. Thật ra, tính chất này cũng ít dùng (cả trong thực tế và trong giải toán), mà kĩ năng quan trọng và có nhiều ứng dụng hơn là chèn giữa hai số phân biệt $k$ số khác sao cho theo thứ tự chúng lập thành một cấp số cộng (kĩ năng này sẽ được đề cập đến trong SBT).
– Chúng tôi giới thiệu kí hiệu tổng Sigma và cách dùng MTCT để tính tổng $n$ số hạng liên tiếp của một dãy số khi biết công thức của số hạng tổng quát, nói riêng là tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng. Đây là kĩ năng quan trọng và hữu ích, GV cần lưu ý rèn luyện cho HS.
– Chuẩn bị:
GV chuẩn bị thông tin về một số mô hình thực tế liên quan đến cấp số cộng (số ghế ở nhà hát, số ghế ngồi ở khu vực góc khán đài của các sân vận động bóng đá, ...).
GV và HS chuẩn bị MTCT để thực hành tính toán.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
– Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Định nghĩa
Mục 2. Số hạng tổng quát
Tiết 2: Mục 3. Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng
Hướng dẫn giải bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học., GV chỉ cần nêu tình huống để HS thấy quy luật về số ghế ở mỗi dãy và nhu cầu thực tế về tính tổng của những dãy số như vậy.

1. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1. Nhận biết khái niệm cấp số cộng, Giới thiệu cho HS một dãy số quen thuộc mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một số không đổi (dãy các số tự nhiên lẻ), để dẫn đến khái niệm cấp số cộng., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ1. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Câu hỏi sau khung kiến thức là nhằm mục đích giới thiệu một cấp số cộng đặc biệt, có công sai bằng $0$; đó là dãy số hằng.
Ví dụ 1, Giúp HS biết sử dụng số hạng đầu và công sai để xác định dần các số hạng của một cấp số cộng, dựa vào định nghĩa., GV hướng dẫn HS dùng hệ thức truy hồi để viết dần các số hạng của cấp số cộng.
Ví dụ 2, Giúp HS biết cách kiểm tra xem một dãy số cho trước có phải là cấp số cộng không, khi biết số hạng tổng quát của dãy., GV lưu ý cho HS phương pháp giải ở đây là xét hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kì. Nếu hiệu này là một hằng số không đổi thì dãy số đó là cấp số cộng (và hằng số đó chính là công sai); nếu trái lại thì dãy số không phải là cấp số cộng. Lưu ý là ta có kết quả tổng quát: Mọi dãy số $(u_n)$ với $u_n = an + b$ ($a$, $b$ là hằng số), đều là cấp số cộng với $u_1 = a + b$ và công sai $d = a$.
Luyện tập 1, Củng cố kĩ năng nhận biết một dãy số cho trước có phải là cấp số cộng hay không., HS tự làm tại lớp.
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
HĐ2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, Giúp HS dự đoán công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ2, để dự đoán công thức số hạng tổng quát. Lưu ý là không yêu cầu HS phải chứng minh chặt chẽ bằng quy nạp.

Ví dụ 3, Giúp HS biết cách xác định một số hạng bất kì của một cấp số cộng đã cho., Điểm mấu chốt ở đây là xác định được số hạng đầu và công sai. Từ đó ta có thể xác định được số hạng bất kì của cấp số cộng.
Ví dụ 4, Biết cách xác định số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng khi có dữ kiện phù hợp (chẳng hạn biết 2 số hạng của cấp số cộng đó)., Sử dụng công thức số hạng tổng quát để lập hệ phương trình với ẩn là số hạng đầu và công sai. Giải hệ này ta sẽ xác định được các yếu tố cơ bản của cấp số cộng.
Luyện tập 2, Củng cố kĩ năng nhận biết một dãy số là cấp số cộng và xác định các yếu tố cơ bản của nó., HS tự làm tại lớp.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
3. TỔNG $n$ SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
HĐ3. Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng, Giúp HS tự khám phá công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ3. GV giúp đỡ HS khi cần. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Lưu ý là công thức tính tổng có hai dạng.
Ví dụ 5, Rèn kĩ năng tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng qua bài toán thực tiễn ở tình huống mở đầu., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Ví dụ 6, Xác định số các số hạng đầu của một cấp số cộng để tổng của chúng là số cho trước., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. Lưu ý là ta đưa về phương trình bậc hai đối với $n$, ở đây $n$ là số số hạng đầu của cấp số cộng.

Vận dụng, Củng cố kĩ năng tính tổng của $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. HD. Lưu ý lương hàng năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 100 và công sai bằng 20. Ta cần tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này. ĐS: Tổng lương trong 10 năm của anh Nam là $S_{10} = 1900$ (triệu đồng), tức là 1,9 tỉ đồng.
Góc công nghệ, Hướng dẫn HS cách sử dụng MTCT để tính tổng $n$ số hạng liên tiếp của một dãy số khi biết công thức của số hạng tổng quát., Cần lưu ý là các loại MTCT khác nhau thì cách ấn phím có thể khác nhau. GV hướng dẫn tuỳ theo thực tế các loại MTCT mà HS có.
Hướng dẫn giải bài tập, GV gợi ý hoặc cho HS chữa một số bài tập cuối bài trong SGK., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
3. Lựa chọn bài tập
Nhận biết cấp số cộng, tìm các yếu tố của một cấp số cộng: Bài tập 2.8, 2.9, 2.10.
Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: Bài tập 2.11.
Bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng: Bài tập 2.12, 2.13, 2.14.
Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong SBT.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
2.8. a) Công sai d = 5. Số hạng thứ 5 là $u_5 = 24$.
Số hạng tổng quát $u_n = 4 + (n - 1) \cdot 5 = 5n - 1$.
Số hạng thứ 100 là $u_{100} = 5 \cdot 100 - 1 = 499$.
b) Công sai d = –2. Số hạng thứ 5 là $u_5 = -7$.
Số hạng tổng quát là $u_n = 1 + (n - 1) \cdot (-2) = -2n + 3$.
Số hạng thứ 100 là $u_{100} = -2 \cdot 100 + 3 = -197$.

Bài 7. CẤP SỐ NHÂN (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân. – Giải thích được công thức xác định số hạng tổng q

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày cấp số nhân ở đây và SGK Toán 11 cũ. Tuy nhiên, theo tinh thần của Chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến nguồn gốc và ứng dụng của cấp số nhân trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến cấp số nhân. Ngoài ra, chúng tôi hướng dẫn HS tự xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, chứ không yêu cầu HS công nhận như SGK Toán 11 cũ.
– Do HS đại trà không được học phương pháp quy nạp toán học, nên công thức tổng quát của cấp số nhân ở đây được hình thành từ việc yêu cầu HS viết một vài số hạng đầu, sau đó khái quát lên thành công thức tổng quát và công nhận; chứ không yêu cầu HS phải chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp quy nạp toán học.
– Do Chương trình không yêu cầu và do thời gian hạn chế (và cũng như SGK Toán của các nước phát triển), chúng tôi không trình bày tính chất của cấp số nhân như là một mục riêng trong lí thuyết như trong SGK cũ; mà thiết kế thành một bài tập ở phần ôn tập chương, cùng với tính chất tương ứng của cấp số cộng.
– Chuẩn bị:
GV chuẩn bị thông tin về một số mô hình thực tế liên quan đến cấp số nhân (những mô hình với tốc độ tăng trưởng không đổi, ...).
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
– Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Định nghĩa
Mục 2. Số hạng tổng quát
Tiết 2: Mục 3. Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân
Hướng dẫn giải bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học., GV chỉ cần nêu tình huống để HS thấy tốc độ tăng trưởng hằng năm của lương là không đổi và nhu cầu thực tế về tính tổng của những dãy số như vậy.

1. ĐỊNH NGHĨA HĐ1. Nhận biết cấp số nhân, Giới thiệu cho HS một dãy số quen thuộc mà số hạng sau bằng số hạng trước nhân với 2, với số hạng đầu bằng 6, để dẫn đ

Ví dụ 3, Giúp HS biết cách xác định một số hạng bất kì của một cấp số nhân đã cho., Điểm mấu chốt ở đây là xác định được số hạng đầu và công bội. Từ đó ta có thể xác định được số hạng bất kì của cấp số nhân.
Ví dụ 4, Biết cách xác định số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân khi có dữ kiện phù hợp (chẳng hạn biết hai số hạng của cấp số nhân đó)., Sử dụng công thức số hạng tổng quát để lập hệ phương trình với ẩn là số hạng đầu và công bội. Giải hệ này ta sẽ xác định được các yếu tố cơ bản của cấp số nhân.
Luyện tập 2, Củng cố kĩ năng nhận biết một dãy số là cấp số nhân và xác định các yếu tố cơ bản của nó thông qua một bài toán thực tiễn., HS tự làm tại lớp.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
3. TỔNG $n$ SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
HĐ3. Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân, Giúp HS tự khám phá công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ3. GV giúp đỡ HS khi cần. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.
Ví dụ 5, Rèn kĩ năng tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân thông qua bài toán thực tiễn ở tình huống mở đầu., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Ví dụ 6, Xác định số các số hạng đầu của một cấp số nhân để tổng của chúng là số cho trước., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. Lưu ý là ta đưa về phương trình bậc hai đối với $n$, ở đây $n$ là số các số hạng đầu của cấp số nhân.

Vận dụng, Củng cố kĩ năng tính tổng của $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng và một cấp số nhân., HS tự làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. Ta tính tiền lương của

$IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 2.15. a) Công bội là $q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{1} = 4$. Như vậy $u_5 = 1 \cdot 4^4 = 256$ và $u_{100} = 1 \cdot 4^{99} = 4$

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II (1 tiết) I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị slides dạng sơ đồ hoá). GV hệ thống các dạng toá

2.27. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, số tiếng chuông đồng hồ quả lắc báo giờ lập thành một cấp số cộng gồm 12 số hạng, với số hạng đầu là 1 và công sai là 1.
Tổng của 12 số hạng này là $S = 78$.
2.28. Ta có: $24 \text{ giờ} = 24 \cdot 3 \cdot 20 = 72 \cdot 20$ (phút).
Như vậy, sau 24 giờ, tức là sau 72 chu kì phân chia, từ tế bào ban đầu sẽ phân chia thành $2^{72}$ tế bào.
2.29. a) Gọi công sai của cấp số cộng là $d$ ta có
$2u_k = (u_k - d) + (u_k + d) = u_{k-1} + u_{k+1} ; \forall k \geq 2$, từ đây suy ra điều phải chứng minh.
b) Nếu công bội của cấp số nhân là $q = 0$ thì cấp số nhân có dạng $u_1, 0, 0, 0, ..., 0, ...$
thì đẳng thức là hiển nhiên.
Nếu $q \neq 0$ ta có $u_k^2 = \frac{u_k}{q} \cdot (u_k \cdot q) = u_{k-1} \cdot u_{k+1} ; \forall k \geq 2$, từ đây suy ra điều phải chứng minh.
2.30. Giả sử ba số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng là $x, y, 21 - (x + y)$ (vì tổng của ba số bằng 21). Do ba số này lập thành cấp số cộng nên
$y - x = [21 - (x + y)] - y \Leftrightarrow 3y = 21 \Leftrightarrow y = 7.$
Khi đó 3 số đã cho có dạng: $x, 7, 14 - x$.
Bởi vì nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số $x + 2; 10; 23 - x$ lập thành một cấp số nhân nên
$\frac{10}{x + 2} = \frac{23 - x}{10} \Leftrightarrow (x + 2)(23 - x) = 100 \Leftrightarrow x^2 - 21x + 54 = 0 \Leftrightarrow x \in {3; 18}.$
Vậy ta có hai bộ số cần tìm là $(3; 7; 11)$ và $(18; 7; -4)$.
Chú ý. Cách giải trên tránh được cách dùng hệ ba phương trình ba ẩn, là kiến thức HS không được học trong SGK.
2.31. a) Gọi $u_n ; (1 \leq n \leq 25)$ là độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với sàn tầng một.
Nhận thấy $u_n$ là cấp số cộng với $u_1 = 16$ và công sai $d = 16$.
Suy ra $u_n = u_1 + (n - 1)d = 16n$.
Vậy độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sân là $v_n = u_n + 50 = 16n + 50$ (cm).
b) Độ cao của sàn tầng thứ hai so với mặt sân chính là độ cao của bậc cầu thang thứ 25 so với mặt sân và bằng $v_{25} = 16 \cdot 25 + 50 = 450$ (cm).

$2.32. Gọi $S_n$ là tổng diện tích hình vuông được tô ở bước thứ n. Ta có $S_1 = \frac{1}{9}$. Bước 2 nhiều hơn bước 1 là 8 hình vuông có diện tích $\frac{1}{9}$

Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm A TỔNG QUAN 1 Vị trí, vai trò của chương Chương này thuộc mạch kiến thức Thống kê và Xác suất, bao gồm toàn bộ nội dung của phần Th

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 8. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (1 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
HS đọc và giải thích được mẫu số liệu ghép nhóm. HS chuyển được mẫu số liệu không ghép nhóm về mẫu số liệu ghép nhóm.
2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện năng lực giao tiếp toán học thông qua việc đọc và giải thích mẫu số liệu ghép
nhóm; rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm về mẫu số liệu ghép nhóm theo tình huống thực tế. - Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng
tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
HS nên ôn lại về số liệu liên tục, số liệu rời rạc. Số liệu mà giữa hai số bất kì vẫn có thể xuất hiện một số ở giữa gọi là số liệu liên tục. Số liệu không có tính chất này gọi là số liệu rời rạc. Dạng hay gặp của số liệu liên tục là số liệu thu được từ các phép đo như chiều cao, cân nặng, nhiệt độ, thời gian, ... Dạng hay gặp của số liệu rời rạc là số liệu đếm số phần tử của một tập nào đó, ví dụ số HS trong lớp học, số sản phẩm một công nhân làm được trong ngày, ... Người ta thường dùng biểu đồ cột để biểu diễn số liệu rời rạc và tổ chức đồ để biểu diễn số liệu liên tục. Đối với số liệu liên tục, các nhóm số liệu có thể được cho dưới dạng [a; b), (a; b], [a; b]
∈  . Tuy nhiên, để đơn giản, SGK quy ước nhóm số liệu được cho dưới dạng [a; b), riêng nhóm số liệu cuối cùng có thể là [a; b]. Đối với số liệu rời rạc, nhóm số liệu thường
( ) k k 1 2 , ∈  . +…
được cho ở dạng k1 - k2 , nhóm này gồm các giá trị 1, , Việc ghép nhóm mẫu số liệu có tính tương đối nên hai HS khác nhau có thể ghép nhóm theo các cách khác nhau. Khi kiểm tra, đánh giá nếu muốn có kết quả đồng nhất thì cần có thêm các chỉ dẫn về số nhóm, các điểm chia, ...

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thực hiện các hoạt động chính của bài học HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Nêu vấn đề, Khơi gợi động cơ, đưa ra một tình huốn

Khung kiến thức, Giúp HS biết được các bước thực hiện khi thực hiện ghép nhóm số liệu., Thực hiện như SGK.
Ví dụ 2, Hướng dẫn HS ghép nhóm mẫu số liệu., Thực hiện như SGK.
Luyện tập 2, HS luyện tập ghép nhóm mẫu số liệu., Giá trị bé nhất: 40; Giá trị lớn nhất: 63. Mẫu số liệu ghép nhóm: Nhóm [40; 45) [45; 50) [50; 55) [55; 60) [60; 65) Tần số 5 7 11 7 5
Vận dụng, Áp dụng vào một tình huống thực tế., Tỉ lệ HS lớp 11 theo các cỡ áo: Cỡ M: $22/36 \approx 61,1%$; Cỡ L: $8/36 \approx 22,2%$; Cỡ XL: $6/36 \approx 16,7%$. Nếu may 500 áo đồng phục thì nên may số lượng mỗi cỡ áo là: Cỡ M: $500.0,611 \approx 306$ chiếc; Cỡ L: $500.0,222 \approx 111$ chiếc; Cỡ XL: $500.0,167 \approx 83$ chiếc.
2. Lựa chọn bài tập
Bài tập của bài học này được chia thành hai nhóm chính, giúp HS hiểu được kiến thức và rèn luyện kĩ năng liên quan đến hai nội dung:
– Đọc và diễn giải mẫu số liệu ghép nhóm: Bài tập 3.1.
– Ghép nhóm mẫu số liệu: Bài tập 3.2, 3.3.
Giáo viên có thể lựa chọn 1 hoặc 2 bài thuộc mỗi vấn đề trên để giao cho HS làm ở nhà.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
3.1. a) Là mẫu số liệu ghép nhóm. Các nhóm gồm: $[0; 50)$, $[50; 100)$, $[100; 150)$, $[150; 200)$, $[200; 250)$ với tần số tương ứng là 5, 12, 23, 17, 3. Có 5 sinh viên mỗi tháng chi cho thanh toán cước điện thoại với số tiền dưới 50 nghìn đồng. Giải thích tương tự cho các nhóm số liệu khác.
b) Là mẫu số liệu ghép nhóm. Các nhóm số liệu gồm $[19; 22)$, $[22; 25)$, $[25; 28)$, $[28; 31)$ với tần số tương ứng là 7, 15, 12, 6. Giải thích: Ở địa điểm này trong 40 ngày quan sát có 7 ngày có nhiệt độ từ 19 đến dưới 22 độ C. Giải thích tương tự cho các nhóm số liệu khác.

Bài 9. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm. Hiểu ý ngh

Ví dụ 2, Hướng dẫn HS tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm., Thực hiện như SGK.
Luyện tập 2, HS luyện tập tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm., $M_e$ thuộc nhóm 4. Áp dụng công thức ta có $M_e \approx 167,21$.
Ý nghĩa, Giúp HS hiểu được ý nghĩa của trung vị., Thực hiện như SGK.
3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HĐ3, khung kiến thức, Giúp HS xác định được nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ ba và các bước tìm hai tứ phân vị này của mẫu số liệu ghép nhóm., $Q_1$ thuộc nhóm $[5; 10)$. $Q_3$ thuộc nhóm $[10; 15)$.
Ví dụ 3 và Nhận xét, Hướng dẫn HS tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm. Nhận xét giúp học sinh xác định nhanh nhóm chứa các tứ phân vị., Thực hiện như SGK.
Luyện tập 3, HS luyện tập tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm., $Q_1$ thuộc nhóm 3. Áp dụng công thức ta có $Q_1 = 160,4$. $Q_3$ thuộc nhóm 5. Áp dụng công thức ta có $Q_3 \approx 173,17$.
Ý nghĩa, Giúp HS hiểu được ý nghĩa của tứ phân vị., Thực hiện như SGK.
4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
HĐ4, khung kiến thức và Lưu ý, Giúp HS thấy rằng với mẫu số liệu ghép nhóm ta không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu dữ liệu. Xác định được khoảng chứa mốt. Biết được cách tính mốt., HĐ4 không tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của HS. Hợp lí nhất là mốt thuộc nhóm: $[5; 10)$. HS thảo luận và đưa ra giá trị xấp xỉ cho mốt. Có thể có nhiều phương án, hai phương án HS có thể đưa ra là lấy điểm đại diện thuộc nhóm mốt để xấp xỉ hoặc tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm như trong Khung kiến thức để xấp xỉ.

Ví dụ 4, Hướng dẫn HS tính mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm., Thực hiện lời giải như sách giáo khoa.
Luyện tập 4, HS luyện tập tính mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm., Nhóm mốt là nhóm $[10{,}5; 20{,}5)$. Áp dụng công thức ta có mốt là $M_o \approx 17{,}17$.
Ý nghĩa và Vận dụng, Giúp HS hiểu được ý nghĩa của mốt. Áp dụng các kiến thức đã học để tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán mở đầu và giải thích ý nghĩa., Số trung bình: 63. Trung bình mỗi người đi xe máy vào mua xăng hết 63 000 đồng. Các tứ phân vị: $Q_1 = 41{,}5; Q_2 = 59; Q_3 = 84{,}75$. Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng. Mốt $M_o \approx 51{,}2$. Số khách hàng mua xăng với số tiền khoảng 51 200 đồng là nhiều nhất.
2. Lựa chọn bài tập
Bài này gồm 4 bài tập. Các bài tập nhằm vào yêu cầu cần đạt cơ bản là tính và hiểu được ý nghĩa của các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.
GV có thể lựa chọn 1 hoặc 2 bài để giao cho HS làm ở nhà.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
3.4. HD. a) Độ dài mỗi nhóm là 5, giá trị lớn nhất là 32 nên ta chia thành 7 nhóm.
b) Số trung bình của mẫu số liệu gốc (mẫu số liệu không ghép nhóm) chính xác hơn.
c) Tìm nhóm số liệu có tần số lớn nhất.
Giải. a) Độ dài mỗi nhóm là 5, giá trị lớn nhất là 32 nên ta chia thành 7 nhóm. Mẫu số liệu ghép nhóm thu được là:
Nhóm, $[0; 5)$, $[5; 10)$, $[10; 15)$, $[15; 20)$, $[20; 25)$, $[25; 30)$, $[30; 35)$
Tần số, 5, 11, 11, 9, 1, 1, 2
Giá trị đại diện cho các nhóm tương ứng là: $2{,}5; 7{,}5; 12{,}5; 17{,}5; 22{,}5; 27{,}5; 32{,}5$.

b) Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là $11,9$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $12,625$. Số trung bình của mẫu số liệu gốc (mẫu số liệu

Bài tập cuối chương III
I. GỢI Ý DẠY HỌC
– GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị slides dạng sơ đồ hoá).
– GV hệ thống các dạng toán cơ bản của toàn bộ chương và nhắc lại ngắn gọn phương pháp giải, cũng như những lưu ý cần thiết.
– Tuỳ tình hình thực tế của lớp, GV có thể cho HS chữa một số bài tập ở cuối chương theo dụng ý sư phạm của mình.
Chẳng hạn, có thể hệ thống kiến thức của chương này như sau:
Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu. Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định. Nhóm số liệu thường được cho dưới dạng $[a; b)$, trong đó $a$ là đầu mút trái, $b$ là đầu mút phải, $a, b \in \mathbb{R}$. Nhóm số liệu rời rạc có thể cho dưới dạng $k_1-k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$, nhóm này gồm các giá trị $k_1, k_1+1, ..., k_2$. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh trước khi tính toán các số đặc trưng.
Mẫu số liệu ghép nhóm xuất hiện khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu của bài toán mà ta phải ghép số liệu thành dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.
Bước 2. Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm.
Không nên chia thành quá nhiều nhóm hoặc quá ít nhóm. Các nhóm không giao nhau, các nhóm nên có độ dài như nhau và tổng độ dài của các nhóm lớn hơn khoảng biến thiên.
Giả sử ta không có mẫu số liệu gốc $x_1, x_2, ..., x_n$ mà chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Nhóm, $[a_1; a_2)$, ..., $[a_i; a_{i+1})$, ..., $[a_k; a_{k+1})$
Tần số, $m_1$, ..., $m_i$, ..., $m_k$
Gọi $n = m_1 + ... + m_k$ là cỡ mẫu, $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$.

$Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm này được xác định như sau: Số trung bình $$\overline{x} = \frac{m_1x_1 + ... + m_kx_k}{n}.$$ Trun$

$Tổng số người là $$n = 7{,}89 + \ldots + 7{,}66 = 97{,}33 \text{ (triệu người).}$$ Tuổi trung bình là $$\overline{x} = \frac{7{,}89.2{,}5 + \ldots + 7{,}66.80}{$

Chương IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
– Ở lớp 11, HS bắt đầu làm quen với Hình học không gian, môn học nghiên cứu tính chất của các hình trong không gian ba chiều. Mặc dù HS đã được làm quen với các hình khối cơ bản ở những lớp dưới trong phần Hình học trực quan, sự hiểu biết của các em về các hình không gian vẫn còn thiếu tính hệ thống và sự chặt chẽ về mặt toán học. Một trong những mục đích chính của chương này là cung cấp các kiến thức cơ sở về Hình học không gian, từ đó làm sáng tỏ các khái niệm và tính chất của các hình không gian mà các em đã được giới thiệu ở những lớp dưới.
– Phần Hình học không gian ở lớp 11 được chia thành 2 phần: phần 1 (chương IV) đề cập đến quan hệ song song và phần 2 (chương VII) đề cập đến quan hệ vuông góc. Chương IV, tương ứng với phần 1, không chỉ cung cấp các khái niệm cơ sở về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian mà còn tập trung nghiên cứu quan hệ song song giữa hai đối tượng là đường thẳng và mặt phẳng, từ đó tạo nên tiền đề để HS tiếp tục học về quan hệ vuông góc trong không gian cũng như học về Hình học giải tích ở lớp 12 sau này. Cụ thể, trong chương này HS sẽ được học về quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng và giữa hai mặt phẳng. Hoàn toàn tương tự, mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng và giữa hai mặt phẳng sẽ là nội dung chính của chương VII.
2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 5 bài và một tiết Bài tập cuối chương, được thực hiện trong 15 tiết. Cụ thể như sau:
Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 3 tiết
Bài 11. Hai đường thẳng song song 3 tiết
Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song 2 tiết
Bài 13. Hai mặt phẳng song song 4 tiết
Bài 14. Phép chiếu song song 2 tiết
Bài tập cuối chương IV 1 tiết

3 Một số điểm cần lưu ý
Chương này đề cập đến quan hệ liên thuộc giữa các đối tượng cơ bản như điểm, đường
thẳng và mặt phẳng, quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Do đó, các bài tập cơ bản chủ yếu xoay quanh các tính chất định tính về sự liên thuộc hay tính song song, ví dụ như: xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng; xác định giao tuyến của hai mặt phẳng; chứng minh hai đường thẳng/ mặt phẳng song song... Ngoài ra một số các bài tập tính toán thường xoay quanh định lí Thalès trong không gian. - SGK Toán 11 giảm nhẹ một số nội dung lí thuyết: tính duy nhất của mặt phẳng chứa một
trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường thẳng còn lại, hay tính chất hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song với hai đường thẳng đó... chỉ được nhắc đến như các tính chất được thừa nhận (hoặc không
được đề cập đến). Đối với các bài tập mà lời giải cần sử dụng đến các kết quả này, GV có thể sử dụng linh hoạt các kết quả tương đương để nhận được lời giải thay thế. - Một số các tính chất hoàn toàn có thể được chứng minh một cách chặt chẽ về mặt toán học,
ví dụ như: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau; tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng và song song với mặt phẳng đó... Tuy nhiên việc chứng minh các tính chất như vậy là tương đối phức tạp và do đó được thay thế bằng các hoạt động dễ quan sát và thừa nhận. GV có thể linh hoạt trong các hoạt động dạy học này, đồng thời chú trọng vào phần vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tế. - Đối với các nội dung kiến thức cần HS giải thích chặt chẽ, ví dụ như điều kiện để
đường thẳng song song với mặt phẳng, hoặc điều kiện để hai mặt phẳng song song, thì cách giải thích thường sử dụng phương pháp phản chứng. Đối với những HS chưa quen thuộc với phương pháp này, GV có thể tìm một cách diễn đạt khác cho phù hợp.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 10. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN (3 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết các quan hệ liên thuộc cơ bản giữa điểm, đường thẳng với mặt phẳng trong
không gian.

Mô tả ba cách xác định mặt phẳng: Mặt phẳng được xác định nếu biết ba điểm không
thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó, hoặc nếu biết một điểm và một đường thẳng (không đi qua điểm đó) nằm trong mặt phẳng đó, hoặc biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó. - Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và
vận dụng vào giải bài tập. - Nhận biết được hình chóp và hình tứ diện. - Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian.
2. Về năng lực, phẩm chất
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước
(chẳng hạn thông qua việc tìm hiểu về cửu đỉnh ở cố đô Huế). - Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc sử dụng các kiến thức về cách xác định
một mặt phẳng để thực hiện các Vận dụng 1, 2). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Nếu ở lớp 6 HS đã được giới thiệu các khái niệm cơ bản về điểm, đường thẳng và mối
quan hệ liên thuộc giữa chúng thì ở lớp 11 các em sẽ tiếp tục được làm quen với một số khái niệm cơ bản của hình học, đó là mặt phẳng và mối quan hệ liên thuộc giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Cũng giống như các khái niệm cơ bản của Hình học phẳng ở lớp 6, các khái niệm cơ bản của Hình học không gian vừa được đề cập ở trên cũng được phát biểu dưới dạng các tính chất được thừa nhận (hay ở dạng tiên đề). GV cần đưa nhiều hình ảnh minh hoạ trực quan về các khái niệm này để HS dần hình thành được những cảm nhận, trực giác về Hình học không gian.
2. Tính chất "các kết quả đã biết của Hình học phẳng đều đúng khi xét trên mỗi mặt
phẳng trong không gian" là khá trực giác và rõ ràng với HS. Do đó, tính chất này không được phát biểu dưới dạng khung kiến thức mà thay vào đó là ở dạng nhận xét. Trong quá trình giảng dạy, GV có thể lưu ý thêm với HS về tính chất khá hiển nhiên này.
Có ba cách để xác định một mặt phẳng, trong đó cách xác định dựa trên ba điểm không
thẳng hàng được thừa nhận, hai cách xác định còn lại đều có thể được suy ra từ cách

đầu tiên. Trong khuôn khổ thời gian cho phép, GV có thể giới thiệu với HS một trong hai (hoặc cả hai) cách trên. Tuy nhiên, GV nên tập trung vào việc giúp HS hiểu được cách mặt phẳng được tạo thành (ví dụ nếu mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng $d$ không đi qua A thì mặt phẳng đó được tạo bởi A và hai điểm B, C thuộc $d$); GV không nên tập trung vào việc chứng minh tính duy nhất của mặt phẳng trong cả hai cách xác định đó.
4. GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm các hình ảnh về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian và vận dụng các kiến thức trong bài học để giải thích một số hiện tượng trong thực tiễn. Các tình huống như trong Vận dụng 1 và Vận dụng 2 là khá phổ biến trong cuộc sống.
5. GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài, một số đồ vật có 2 chân và 3 chân.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết.
Tiết 1: Từ đầu đến hết Vận dụng 1.
Tiết 2: Từ HĐ4 đến hết Vận dụng 2.
Tiết 3: Từ mục 4 đến hết, Bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Khái niệm mở đầu, HS làm quen với hình ảnh của mặt phẳng trong không gian và cách biểu diễn mặt phẳng trên giấy hoặc trên bảng., – Cũng giống như điểm và đường thẳng, mặt phẳng là một đối tượng không được định nghĩa. GV cần hướng dẫn HS quan sát và giúp HS có cảm nhận trực quan về mặt phẳng. – GV triển khai như trong SGK và có thể lấy thêm các hình ảnh khác (mặt phẳng trong thực tiễn thường có hình ảnh là các bề mặt nhẵn và phẳng). GV

nên đảm bảo có đủ các mặt phẳng ở các vị trí khác nhau như mặt phẳng thẳng đứng, mặt phẳng nằm ngang hoặc mặt phẳng nằm nghiêng. – Cần chú ý rằng mặt phẳng (tro

2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN HĐ2, HS quan sát và thừa nhận rằng qua hai điểm (trong không gian) có đúng một đường thẳng., GV triển khai như trong SGK. HS có thể s

Khung kiến thức, Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng., GV trình bày như trong SGK.
Nhận xét, HS nhận biết khái niệm "đồng phẳng"., GV triển khai như trong SGK. Hình ảnh cửu đỉnh ở cố đô Huế, mỗi đỉnh có ba chân, là một ví dụ minh hoạ cho tính chất: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng".
HS nhận biết được điều kiện "không thẳng hàng" trong khung kiến thức là quan trọng., – GV triển khai như trong SGK. Đáp án: Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng. – GV nên đưa thêm các ví dụ minh hoạ cho nhận định trên trong thực tiễn, ví dụ cố định hai điểm (trên mặt bàn hoặc trên mặt bảng) và yêu cầu HS chỉ rõ các mặt phẳng đi qua hai điểm đó.
Ví dụ 1, HS xác định được mặt phẳng tạo bởi ba điểm không thẳng hàng., GV triển khai theo SGK. Trong Ví dụ 1, GV có thể sử dụng màu sắc (hoặc một khối rubik như trong HD3) để giúp HS nhận ra các mặt phẳng tạo được.
Luyện tập 1, HS nhận biết được rằng nếu bốn điểm đồng phẳng thì các mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đó trùng nhau., GV gọi một số HS trả lời và nhận xét. Đáp án: Có đúng 1 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác.
Vận dụng 1, HS vận dụng tính chất "có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng" để giải thích cấu tạo ba chân của một số đồ vật trong thực tiễn., – Để minh hoạ, GV có thể chuẩn bị một đồ vật có 2 chân, một đồ vật có 3 chân và yêu cầu HS đặt hai đồ vật đó trên nền nhà. GV yêu cầu HS quan sát xem đồ vật nào có thể đứng vững (hoặc ở trạng thái thăng bằng), từ đó đưa ra nhận xét.

| | | Gợi ý: Ba chân của chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh hay kiềng ba chân treo nồi xác định duy nhất một mặt phẳng (mặt phẳng này đi qua ba đầu tiếp xúc với mặ

Ví dụ 2, GV triển khai như trong SGK.
Luyện tập 2, HS biết sử dụng tính chất "nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó" để xác định xem một đường thẳng có thuộc một mặt phẳng cho trước hay không., HS tự thực hiện, GV có thể yêu cầu một hoặc hai HS trình bày trên bảng và nhận xét lời giải của HS. Gợi ý: Điểm $N$ thuộc đường thẳng $AB$ và đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ nên điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Vì đường thẳng $MN$ chứa hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ nên đường thẳng $MN$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$.
HĐ5, HS quan sát và nhận biết được tính chất: "Nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì tập hợp các điểm chung là một đường thẳng"., – GV triển khai theo SGK. GV nhấn mạnh rằng mặt nước (lúc tĩnh lặng) và thành bể là hai mặt phẳng, và phần giao của hai mặt phẳng này là đường mực nước trên thành bể. GV có thể tiến hành HĐ này như một thí nghiệm trực tiếp trên lớp với một dụng cụ đựng nước hình hộp chữ nhật và nước màu (để HS dễ quan sát đường mực nước). GV có thể thực hiện thí nghiệm nhiều lần, mỗi lần đổ một lượng nước khác nhau hoặc đặt nghiêng dụng cụ chứa nước (ở các góc khác nhau) so với mặt bàn để HS quan sát đường mực nước. – Sau HĐ này HS được giới thiệu về khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Khung kiến thức, Nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì tập hợp các điểm chung là một đường thẳng., GV trình bày theo SGK.
Ví dụ 3, HS sử dụng tính chất "nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì tập hợp các điểm, – GV triển khai theo SGK. – GV lưu ý HS cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Muốn tìm giao tuyến

chung là một đường thẳng" để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng., của hai mặt phẳng ta chỉ cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó. Nhận xét, HS thừ

Ví dụ 4, HS biết xác định mặt phẳng khi biết một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó, từ đó tìm được giao tuyến của các mặt phẳng vừa xác định., GV tri

Tiết 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN HĐ7, HS mô tả được hình chóp chính xác về mặt toán học sau khi đã được trang b

một đường thẳng và một mặt phẳng trong một tình huống cụ thể., phương pháp xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng. Luyện tập 6, GV yêu cầu HS t

4.3. Giả sử đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$ lần lượt tại hai điểm phân biệt $M, N$. Vì $M$ thuộc $a$ và $a$ nằm trong $(P)$ nên $M$ thuộc $(P)$. Tương tự, ta có $N$ thuộc $(P)$. Đường thẳng $c$ có hai điểm phân biệt $M, N$ cùng thuộc $(P)$ nên $c$ nằm trong $(P)$.
4.4. (H.4.2). Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$. Điểm $N$ thuộc đường thẳng $AB$ nên $N$ cũng thuộc mặt phẳng $(ABM)$. Vậy đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABM)$.
Điểm $M$ thuộc $SC$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(SCD)$. Điểm $N$ thuộc đường thẳng $CD$ nên $N$ cũng thuộc mặt phẳng $(SCD)$. Vậy đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$.
Từ các khẳng định trên suy ra đường thẳng $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$.
Hình 4.2
4.5. (H.4.3). a) Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $R$ là giao điểm của $EP$ và $SB$ thì $R$ là giao điểm của mặt phẳng $(E, d)$ và cạnh $SB$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ gọi $T$ là giao điểm của $EQ$ và $SD$ thì $T$ là giao điểm của mặt phẳng $(E, d)$ và cạnh $SD$.
b) Giao tuyến của mặt phẳng $(E, d)$ với các mặt $(SAB), (SBC), (SCD), (SDA)$ và $(ABCD)$ lần lượt là $ER, RM, NT, ET$ và $MN$.
Hình 4.3
4.6. (H.4.4). a) Xét tam giác $BCD$ có $BN = NC$ và $BP = 2 DP$ nên đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $CD$ tại một điểm $Q$. Khi đó $Q$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.
b) Điểm $M$ thuộc $AC$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(ACD)$. Do đó $M$ thuộc hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$. Từ câu a) suy ra $Q$ cũng thuộc hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$. Vậy $MQ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.
4.7. Giải thích tương tự như Vận dụng 1.
4.8. Khi ấn dao để cắt giấy thì lưỡi dao di chuyển tạo thành một mặt phẳng. Mặt phẳng này và mặt phẳng chứa tờ giấy cắt nhau theo giao tuyến chính là đường cắt.

Bài 11. Hai đường thẳng song song
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
– Nhận biết vị trí của hai đường thẳng trong không gian: hai đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song và chéo nhau.
– Giải thích tính chất cơ bản của hai đường thẳng song song trong không gian: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho; định lí ba đường giao tuyến.
– Nhận biết một vài tính chất của hai đường thẳng song song và biết áp dụng để giải một số bài tập đơn giản. Các tính chất thừa nhận bao gồm: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau; hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
– Mô tả và giải thích một số hình ảnh thực tiễn có liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
2. Về năng lực, phẩm chất
– Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước (chẳng hạn thông qua việc tìm hiểu nghề dệt vải bằng khung cửi, các em hiểu hơn về đất nước Việt Nam và có cảm hứng học tập góp phần xây dựng Tổ quốc).
– Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc thực hiện các Vận dụng 1, 2 về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian và về tính chất của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song).
– Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1. Khi tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ngoài các trường hợp hai đường thẳng trùng nhau, hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau (như đã biết trong hình học phẳng) còn có thêm một trường hợp nữa là hai đường thẳng chéo nhau. Khác với ba trường hợp đầu tiên (ở đó hai đường thẳng luôn đồng phẳng), ở trường hợp thứ tư hai đường thẳng không cùng nằm trong một

mặt phẳng. Đây là một khái niệm mới đối với HS khi các em bắt đầu làm quen với Hình học không gian. GV cần đưa thêm hình ảnh minh hoạ về các đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn để HS có thêm cảm nhận trực quan về khái niệm này.
2. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chúng song song. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong Hình học không gian: hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chúng có thể song song hoặc chéo nhau. Tương tự, hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. GV cần giúp HS hiểu rõ được sự khác biệt này giữa Hình học phẳng và Hình học không gian. GV có thể sử dụng sơ đồ cây để phân chia trường hợp và giúp HS có cái nhìn tổng thể về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.
3. Tính chất "hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó" là tương đương với định lí về ba đường giao tuyến. Hai kết quả này có thể được sử dụng thay thế cho nhau trong các bài tập về xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
4. GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm về hình ảnh của các đường thẳng song song, chéo nhau trong không gian, các mặt phẳng chứa các đường thẳng song song trong thực tiễn và liên hệ với các kết quả, tính chất được đề cập tới trong bài học.
5. GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài (ví dụ như các tuyến đường trên cao), một thanh gỗ hoặc gậy đủ dài.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết.
Tiết 1: Vị trí tương đối của hai đường thẳng (hết mục 1).
Tiết 2: Tính chất của hai đường thẳng song song (hết mục 2).
Tiết 3: "Em có biết?", Bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giới thiệu sơ lược về hình ảnh của các đường thẳng trong không gian, giúp HS bước đầu, GV có thể sử dụng Hình 4.13 trong SGK hoặc đưa ra các hình ảnh tương tự, cần đảm bảo đủ các

có cảm nhận về vị trí tương đối của các đường thẳng trong không gian., vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1, HS quan sát được các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian và chỉ ra được các đường thẳng song song, các đường thẳng cắt nhau., GV có thể yêu cầu HS quan sát Hình 4.13 và lần lượt trả lời các câu hỏi trong HĐ1. Chú ý rằng việc trả lời các câu hỏi a, b, c theo thứ tự sẽ giúp HS phân loại được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: hai đường thẳng có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau; trong trường hợp hai đường thẳng không cắt nhau thì chúng có thể song song hoặc chéo nhau.
Khung kiến thức, Các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian., GV phát biểu như trong SGK.
HS tìm được một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn., GV gọi một vài HS trả lời. Có thể bắt đầu với hình ảnh có sẵn trong SGK như hình ảnh về các sợi vải trên khung cửi, hoặc hình ảnh về các tia laze phục vụ công tác an ninh.
Nhận xét, Nhấn mạnh khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian và sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song., GV có thể thực hiện hỏi đáp nhanh với HS, ví dụ như: – Hai đường thẳng không song song thì có cắt nhau không? – Hai đường thẳng không cắt nhau thì có song song không? – Hai đường thẳng không chéo nhau thì có song song không?
Ví dụ 1, HS quan sát được các đường thẳng đồng phẳng để xác định chúng cắt nhau hay song song (và từ đó kết luận chúng không chéo nhau)., GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 1, GV yêu cầu HS tự thực hiện. Đáp án: a) Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song; hai đường thẳng $AB$

và $AC$ cắt nhau, hai đường thẳng $AC$ và $CD$ cắt nhau. b) Không có hai đường thẳng nào chéo nhau vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng ($SAB$). Ví dụ 2, HS quan s

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
HĐ2, HS giải thích được rằng trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. Việc chứng minh dựa trên một kết quả tương tự trong mặt phẳng., – GV triển khai như trong SGK. – GV có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi a bằng cách nhắc lại kết quả đã biết trong Hình học phẳng. Từ đó suy ra sự tồn tại của đường thẳng qua $M$ và song song với $d$. – GV gợi ý HS trả lời câu hỏi b: Gọi $a$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $d$. Khi đó $a$ thuộc mặt phẳng chứa $d$ (vì $a$ song song với $d$) và mặt phẳng này cũng chứa $M$ (vì $a$ đi qua $M$). Vì vậy mặt phẳng này trùng với mặt phẳng $(P)$ và do đó $a$ nằm trong $(P)$.
Khung kiến thức, Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho., GV phát biểu như trong SGK. Có thể nhấn mạnh rằng tính chất này là sự mở rộng của tiên đề Euclid đã học trong mặt phẳng.
HĐ3, HS nhận biết được tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong không gian thông qua quan sát thực tế., – GV triển khai theo SGK. GV có thể thay thế "mép bảng" trong HĐ3 bằng một đường thẳng phù hợp khác. – GV cũng có thể yêu cầu HS nhắc lại tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong mặt phẳng và nói rằng tính chất này vẫn đúng trong không gian.
Khung kiến thức, Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau., GV triển khai theo SGK.
Ví dụ 3, HS sử dụng được tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong việc giải một số bài tập tương đối đơn giản., GV triển khai theo SGK. Trong Ví dụ 3, GV có thể yêu cầu HS nhắc lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hỏi HS trong

trường hợp này có thể chứng minh hai cặp cạnh nào của tứ giác $MPNQ$ song song với nhau. Luyện tập 3, HS tự thực hiện, GV gọi HS trình bày lời giải và nhận xét.

Chú ý: Hệ quả trên được sử dụng thường xuyên trong các bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. Ví dụ 4, HS sử dụng tính ch

Em có biết?, HS tìm hiểu hình ảnh liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian và các hình tạo được khi quay đường thẳng này quanh đường thẳng còn lại., GV có thể yêu cầu HS quan sát các hình ảnh trong SGK, đồng thời minh hoạ việc quay các đường thẳng quanh một đường thẳng cho trước trong không gian bằng các dụng cụ hỗ trợ phù hợp. Nếu thời gian cho phép, GV có thể cùng HS tạo các mặt hypebol theo hướng dẫn.
Bài tập 4.9, HS nhận biết được các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian., GV có thể gọi bốn HS nhận xét về tính đúng sai của mỗi mệnh đề. Với các mệnh đề sai GV có thể yêu cầu HS đưa ra một phản ví dụ.
Bài tập 4.10, HS xác định được cặp đường thẳng cắt nhau, song song, chéo nhau., GV gọi một số HS trả lời và nhận xét.
Bài tập 4.12, HS sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song để chứng minh một tứ giác là hình thang., GV có thể hướng dẫn HS tự thực hiện theo cách tương tự như trong Ví dụ 3/ Luyện tập 3.
3. Phân loại bài tập
– Bài tập về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: Bài 4.9, 4.10.
– Bài tập sử dụng tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong không gian: Bài 4.11, 4.12.
– Bài tập sử dụng tính chất: "Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó": Bài 4.13, 4.14.
– Bài tập vận dụng: Bài 4.15.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
4.9. b).
4.10. Cặp đường thẳng song song là $AB$ và $CD$, cặp đường thẳng cắt nhau là $AC$ và $BD$, cặp đường thẳng chéo nhau là $SB$ và $CD$.

$4.11. Đoạn thẳng $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN$ song song với $AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$. Đoạn thẳng $PQ$ là đường trung bình của tam gi$

Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng. – Giải thích điều kiện để đường

Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1. Sau khi được học về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường thẳng trong không
gian, trong bài này HS tiếp tục được học về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, đó là đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đường thẳng song song với mặt phẳng. Trong ba trường hợp này, hai trường hợp đầu đã được đề cập trong Bài 10. Trong Bài 12, HS sẽ được giới thiệu thêm về trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng, từ đó các em sẽ có một cái nhìn trọn vẹn về vị trí tương đối của đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian. Chú ý rằng GV có thể giúp HS phân biệt các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng dựa vào số giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Trong bài học này, HS cần hiểu được hai kết quả chính liên quan đến đường thẳng song
song với mặt phẳng. Kết quả thứ nhất là một dấu hiệu, hay một điều kiện cần và đủ, để một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Kết quả này có thể được sử dụng để giải thích nhiều tình huống về đường thẳng song song với mặt phẳng trong thực tiễn. Kết quả thứ hai là một tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng và kết quả này thường được sử dụng trong các bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ở đó một trong hai mặt phẳng song song với một đường thẳng cho trước). HS nên biết vận dụng thành thạo cả hai kết quả này để giải các bài tập có nội dung tương ứng.
Có thể sử dụng tính chất về đường thẳng song song với mặt phẳng để suy ra tính chất
"nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng, nếu có, song song với một trong hai đường thẳng, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó" mà HS đã được học trong Bài 11. Do đó, trong các bài tập về xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ở đó một trong hai, hoặc cả hai mặt phẳng song song với một đường thẳng cho trước), HS có thể lập luận bằng cách sử dụng một trong hai tính chất trên.
4. GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm các hình ảnh về đường thẳng song song với mặt
phẳng trong không gian và vận dụng các kiến thức trong bài học để giải thích một số hiện tượng trong thực tiễn. Các tình huống như trong bài tập Vận dụng (mà ở đó sử dụng dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng) là khá phổ biến trong cuộc sống.
5. GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài.

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết. Tiết 1: Từ đầu đến hết Luyện tập 2. Tiết 2: Từ Ví dụ 3 đến hết, Bài tập. 2. Thực hiện các ho

HS nhận biết hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong thực tiễn., GV yêu cầu HS quan sát hình ảnh cầu Long Biên và xác định hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Ví dụ 1, GV triển khai theo SGK. Chú ý rằng các bài tập trong mục 1 của bài này không yêu cầu HS xác định một đường thẳng cho trước song song với mặt phẳng nào, vì để làm được điều đó HS cần đến các tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng (được trình bày ở mục 2).
HS xác định được một đường thẳng cho trước cắt hay nằm trong mặt phẳng nào trong một tình huống cụ thể.
Luyện tập 1, HS tự thực hiện. GV gọi HS trả lời. Đáp án: Đường thẳng $AC$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ và $(ABD)$; đường thẳng $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và $(ACD)$.
2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
HĐ2, HS giải thích được điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng: Nếu một đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$., – GV triển khai theo SGK. Chú ý rằng HD này hướng dẫn HS chứng minh $a$ song song với $(P)$ bằng phương pháp phản chứng: Khi giả sử $a$ và $(P)$ cắt nhau tại $M$, HS có thể suy ra $M$ là điểm chung của $a$ và $b$, điều này trái với điều kiện $a$ song song với $b$. – GV có thể tìm cách diễn đạt khác nếu HS chưa thực sự quen thuộc với phương pháp phản chứng.
Khung kiến thức, Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng., GV triển khai dựa theo SGK.
HS hiểu được sự cần thiết của điều kiện "đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$" trong tính chất vừa học., – GV có thể chỉ ra một ví dụ mà ở đó nếu không có điều kiện này, tính chất trên không còn đúng. – Đối với một số HS khá, GV cũng có thể yêu cầu HS chỉ rõ điều kiện

này được sử dụng như thế nào trong chứng minh ở HD2. (Cụ thể, nếu $a$ nằm trong $(P)$ thì $(P)$ và $(Q)$ trùng nhau và do đó không thể coi $b$ là giao tuyến của

Vận dụng, HS sử dụng điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng để trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu., Có thể coi dây nhợ trùng với cạnh nằm ngang của các viên gạch trên cùng một hàng gạch. Các cạnh này song song với nhau và song song với các cạnh nằm trên mặt đất của những viên gạch ở hàng thấp nhất (vì mỗi mặt của viên gạch là hình chữ nhật), do đó dây nhợ song song với mặt đất.
HĐ3, HS giải thích được tính chất: "Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì giao tuyến $b$ của $(P)$ và $(Q)$ (nếu có) song song với $a$"., – GV triển khai theo SGK. – GV có thể gợi ý HS chứng minh hai đường thẳng (phân biệt) là song song bằng cách chỉ ra rằng hai đường thẳng đó không chéo nhau và cũng không cắt nhau. – GV gợi ý HS trả lời câu hỏi a: Hai đường thẳng $a$ và $b$ có cùng thuộc mặt phẳng nào hay không? – GV gợi ý HS trả lời câu hỏi b: Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau thì giao điểm của chúng thuộc mặt phẳng nào? – GV gợi ý HS giải thích tại sao hai đường thẳng $a$ và $b$ phân biệt: Chỉ ra một mặt phẳng chứa $b$ mà không chứa $a$.
Khung kiến thức, Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì giao tuyến $b$ của $(P)$ và $(Q)$ (nếu có) song song với $a$., GV phát biểu như trong SGK. GV nhấn mạnh đây là một tính chất quan trọng để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (khi một trong hai mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng còn lại).
Ví dụ 4, GV triển khai dựa theo SGK.
Luyện tập 4, HS sử dụng kiến thức nhận được trong HĐ3 để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng., HS tự thực hiện. Chú ý rằng trong ví dụ này mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(ABD)$ nên chúng không có giao tuyến. Khái niệm hai mặt phẳng song song và các tính chất liên quan sẽ được đề cập trong Bài 13.

Gợi ý: Qua $E$ vẽ đường thẳng song song với $AD$, đường thẳng này cắt $CD$ tại $I$. Các giao tuyến của $(Q)$ và các mặt của tứ diện là $EF, EI$ và $IF$. Bài tập

Bài 13. Hai mặt phẳng song song I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết hai mặt phẳng song song trong không gian. Giải thích điều kiện để hai mặt phẳng s

Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến hai mặt phẳng song song trong
không gian.
2. Về năng lực, phẩm chất
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước
(chẳng hạn thông qua việc tìm hiểu ruộng bậc thang, một hình thức canh tác độc đáo thường có ở khu vực Tây Bắc của Việt Nam, các em hiểu hơn về đất nước ta, có cảm hứng học tập góp phần xây dựng Tổ quốc). - Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc thực hiện Vận dụng 1 về dấu hiệu
nhận biết hai mặt phẳng song song và Vận dụng 2 về áp dụng định lí Thalès trong
không gian). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Trong không gian cho hai mặt phẳng, khi đó có ba vị trí tương đối giữa chúng, đó là:
hai mặt phẳng có thể trùng nhau, có thể cắt nhau hoặc có thể song song với nhau. Hai trường hợp đầu xảy ra khi hai mặt phẳng có điểm chung: trường hợp đầu tiên xảy ra khi hai mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng, trong khi ở trường hợp thứ hai tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng (xem bài 10). Bài học này tập trung vào trường hợp thứ ba, ở đó hai mặt phẳng không có điểm chung, hay hai mặt phẳng song song. Do đó trước khi vào bài học này, GV có thể yêu cầu HS nhắc lại hai trường hợp đầu tiên về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, từ đó dẫn dắt HS đến trường hợp thứ ba. GV cũng có thể giúp HS hệ thống lại ba trường hợp về vị trí tương đối của hai mặt phẳng ở cuối bài học.
Một trong những yêu cầu quan trọng của bài học này là HS giải thích được dấu hiệu
nhận biết hai mặt phẳng song song: Hai mặt phẳng song song với nhau nếu một trong hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng còn lại. Khi giải thích dấu hiệu này HS cần nắm được tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng. Hơn nữa, để sử dụng dấu hiệu này trong các bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song, HS cần biết cách chứng minh một đường thẳng song song với mặt phẳng bằng cách chỉ ra đường thẳng đó song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đã cho (xem Bài 12). Ví dụ 1 và Luyện tập 1 minh hoạ cho các bài tập như vậy.

3. Tính chất "Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đó" trong khung kiến thức sau HĐ3 có thể coi như một dạng mở rộng của tiên đề Euclid trong mặt phẳng lên trường hợp ba chiều. Chú ý rằng nếu tiên đề Euclid trong mặt phẳng cần được thừa nhận như một tính chất cơ sở để suy ra các kết quả khác trong Hình học phẳng thì tính chất nêu trên có thể được chứng minh một cách chặt chẽ bằng cách áp dụng tiên đề Euclid trong mặt phẳng. Mặc dù vậy, ta không trình bày chứng minh của tính chất trên mà chỉ đưa ra hoạt động để HS thừa nhận tính chất đó. Từ tính chất này có thể suy ra tính chất "bắc cầu" của quan hệ song song giữa các mặt phẳng, đồng thời áp dụng vào việc chứng minh một số điểm cho trước là đồng phẳng (xem Ví dụ 2 và Luyện tập 2).
Định lí Thalès trong không gian là sự tổng quát hoá của định lí Thalès trong mặt phẳng. (Trong chứng minh của định lí Thalès trong không gian có sử dụng định lí
Thalès trong mặt phẳng). Trong quá trình giảng dạy, GV có thể hỏi HS làm thế nào để nhận lại định lí Thalès trong mặt phẳng từ định lí Thalès trong không gian. Nếu thời gian cho phép, GV cũng có thể giới thiệu với HS về dạng đảo của định lí Thalès trong không gian. Chú ý rằng định lí Thalès trong không gian cho phép tính tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng (tạo bởi một đường thẳng cắt các mặt phẳng song song), do đó để áp dụng định lí Thalès trong không gian khi làm bài tập, HS cần xác định được ba mặt phẳng đôi một song song và hai cát tuyến phù hợp.
Dựa trên việc đã được làm quen với hình lăng trụ (đứng) tam giác/ tứ giác trong phần
Hình học trực quan ở lớp 7, cùng với đó là các kiến thức của Hình học không gian (đường thẳng song song, mặt phẳng song song), HS có đủ cơ sở để đưa ra định nghĩa của hình lăng trụ một cách chính xác về mặt toán học. Trên thực tế HS đã được biết các thuật ngữ như mặt đáy, mặt bên, cạnh bên... của hình lăng trụ, vì vậy việc giới thiệu lại các khái niệm này (trong trường hợp tổng quát) sẽ không gây khó khăn cho HS. Một trong các tính chất có thể nhận thấy của hình lăng trụ là hai đáy là hai đa giác bằng nhau. Tuy nhiên, khái niệm hai hình bằng nhau trong không gian (cũng như góc trong không gian) chưa được định nghĩa, vì vậy GV chỉ nên đưa ra tính chất trên dưới dạng trực quan, tức là có thể yêu cầu HS quan sát và thừa nhận.
6. GV nên khuyến khích HS tìm hiểu thêm về hình ảnh của các mặt phẳng song song
trong thực tiễn và vận dụng các kết quả, tính chất được đề cập tới trong bài học để kiểm tra tính song song của các mặt phẳng đó.
GV chuẩn bị: SGK, giáo án, học liệu liên quan đến các nội dung trong bài (ví dụ như
hình ảnh ruộng bậc thang, hình ảnh tháp nghiêng Pisa ở Ý, một cốc nước hoặc bình nước và một cây thước thẳng).

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết lí thuyết + 1 tiết bài tập. Tiết 1: Từ đầu đến hết Vận dụng 1. Tiết 2: Từ HĐ3 đến hết HD5. Ti

được tìm thấy trong lớp học bao gồm sàn nhà và trần nhà, hai mặt tường đối diện, mặt bàn và mặt ghế nằm ngang... Khung kiến thức, Định nghĩa hai mặt phẳng song

$mặt phẳng song song với nhau., sử dụng tính chất "Nếu mặt phẳng ($\alpha$) chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng ($\beta$) thì hai mặt phẳng cắt nhau the$

mặt phẳng song song với nhau., sử dụng tính chất "Nếu mặt phẳng ($\alpha$) chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng ($\beta$) thì hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $c$ song song với $a$" đã học trong Bài 12. HS lập luận tương tự để suy ra $c$ song song với $b$, điều này dẫn tới vô lí vì hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau.
Khung kiến thức, Điều kiện, hay dấu hiệu nhận biết, của hai mặt phẳng song song., GV phát biểu theo SGK.
HS hiểu được sự cần thiết của điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" trong tính chất vừa nêu ở khung kiến thức., GV có thể chỉ ra phản ví dụ nếu không có điều kiện này. Trong chứng minh trên ta cũng thấy điều kiện này được sử dụng để dẫn tới vô lí: khi có $a$ và $b$ cùng song song với $c$ thì suy ra $a$ và $b$ song song với nhau.
Ví dụ 1, GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 1, HS chứng minh được hai mặt phẳng song song dựa vào kiến thức vừa học trong HD2., GV yêu cầu HS vẽ hình và tự thực hiện. Gợi ý: Vì $m \parallel BC$ và $m$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$ nên $m \parallel (BCD)$. Tương tự $n \parallel (BCD)$. Mặt phẳng $\text{mp}(m, n)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $m$ và $n$ cùng song song với mặt phẳng $(BCD)$ nên $\text{mp}(m, n) \parallel (BCD)$.
Vận dụng 1, HS sử dụng dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song để giải thích một hiện tượng trong thực tiễn., GV có thể gợi ý cho HS bằng cách đặt các câu hỏi như: "Mặt phẳng tạo bởi mặt bàn được xác định bởi hai đường thẳng nào?", "Các đường thẳng đó có song song với mặt đất hay không?". Từ đó HS sử dụng dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song để đưa ra câu trả lời. Gợi ý: "Mặt phẳng" mặt bàn được tạo bởi hai "đường thẳng" là hai cạnh của

khung sắt. Vì mỗi khung sắt có dạng hình chữ nhật nên hai "đường thẳng" tạo nên mặt bàn đều song song với mặt đất, suy ra mặt bàn song song với mặt đất. Tiết 2

lượt theo giao tuyến $a$, $b$, $c$. Khi đó $a$, $b$ cùng song song với $c$, đồng thời $a$, $b$ cùng đi qua $A$, điều này là vô lí. Khung kiến thức, Qua một điểm

Luyện tập 3, HS tự thực hiện. Gợi ý: Trong mặt phẳng $(EMQ)$, qua $E$ vẽ đường thẳng song song với $MQ$ cắt cạnh $CD$ tại $H$ thì $EH$ là giao tuyến của hai mặt

đỉnh, mặt đáy của hình lăng trụ tam giác. Dựa trên cơ sở đó, GV yêu cầu HS quan sát hình ảnh trong SGK và xác định những đặc điểm giống nhau của các hình, từ đó

Ví dụ 6, HS sử dụng định nghĩa của hình hộp để giải thích được một tính chất của hình hộp., GV triển khai theo SGK. Luyện tập 6, GV yêu cầu cả lớp cùng làm Luyệ

Bài tập 4.21, HS nhận biết được điều kiện để hai mặt phẳng song song., GV gọi HS trả lời nhanh. Bài tập 4.22, HS chứng minh được hai mặt phẳng song song với nha

4.23. (H.4.11). Vì AB // CD và CD nằm trong (C, n) nên AB // (C, n). Vì m // n và n nằm trong (C, n) nên m // (C, n). Mặt phẳng (B, m) chứa hai đường thẳng cắt

Bài 14. Phép chiếu song song I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết khái niệm và tính chất cơ bản của phép chiếu song song. Xác định ảnh của một điểm, m

2. Về năng lực, phẩm chất
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước
(chẳng hạn thông qua hình ảnh phố cổ Hội An ở Đà Nẵng, HS được vun đắp tình yêu quê hương đất nước). - Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua Vận dụng 1 về xác định hình chiếu của một
vật thể qua phép chiếu song song, thông qua Vận dụng 2 về việc sử dụng phép chiếu song song để vẽ chữ nổi). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Sau khi đã học về quan hệ song song giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và
mặt phẳng, mặt phẳng và mặt phẳng, trong bài học này HS tiếp tục được giới thiệu về phép chiếu song song. Đây là một khái niệm quan trọng để giúp HS hiểu được hình biểu diễn của các hình trong không gian, từ đó tạo cơ sở toán học để HS hiểu nội dung Vẽ kĩ thuật trong môn Công nghệ. Phép chiếu vuông góc, một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, sẽ được giới thiệu với HS trong học kì 2. Các ví dụ thường thấy trong thực tiễn liên quan đến phép chiếu song song thường liên quan đến bóng của vật thể dưới ánh mặt trời. Chú ý rằng bóng của vật thể dưới ánh đèn (hay ánh sáng phát ra từ một nguồn sáng gần vật thể) không phải là hình chiếu của vật thể qua phép chiếu song song, đó là hình chiếu của vật thể qua phép chiếu xuyên tâm. (Xem phần Em có biết).
Các tính chất của phép chiếu song song như bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm,
bảo toàn tính song song của các đường thẳng hay bảo toàn tỉ số độ dài các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc nằm trên các đường thẳng song song) đều được thừa nhận trong bài học này thông qua việc quan sát. GV có thể thiết kế thêm các hoạt động bên ngoài (khi có đủ ánh sáng mặt trời) để giúp HS có thể kiểm chứng trực tiếp các tính chất trên.
Các hình không gian (như hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp...) là các hình 3D và khi
biểu diễn các hình này trên mặt phẳng, hình biểu diễn của chúng cần tuân thủ các nguyên tắc nhất định. Trong bài học này (và trong cả phần Hình học không gian), hình biểu diễn của một hình được hiểu là hình chiếu của hình đó qua một phép chiếu song song. Chú ý rằng đây không phải là cách duy nhất để biểu diễn một hình không gian

trên mặt phẳng. Ngoài phép chiếu song song, ta còn có thể sử dụng phép chiếu xuyên tâm để nhận được một loại hình biểu diễn khác (hình chiếu phối cảnh) của hình ban đầu. Tuy nhiên hình biểu diễn (qua phép chiếu song song) đảm bảo được tỉ lệ của một số kích thước cũng như đảm bảo được một số đặc trưng hình học của hình ban đầu và do đó được sử dụng phổ biến hơn.
4. GV khuyến khích HS tìm thêm các hình ảnh về phép chiếu song song trong thực tiễn (ví dụ như tranh, ảnh liên quan đến bóng đổ...) và kiểm tra lại các tính chất của phép chiếu song song (như bảo toàn tính thẳng hàng, bảo toàn tỉ số độ dài đoạn thẳng...) trong các hình ảnh đó.
5. GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài (ví dụ như các hình ảnh có bóng đổ dưới ánh mặt trời, hình ảnh về hình chiếu của vật thể trong Vẽ kĩ thuật...).
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 1,5 tiết lí thuyết + 0,5 tiết bài tập.
Tiết 1: Từ đầu đến trước Ví dụ 2.
Tiết 2: Từ Ví dụ 2 đến hết Vận dụng 2, Bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giới thiệu về một tình huống trong thực tiễn cuộc sống mà ở đó sử dụng hình chiếu song song của vật thể., GV triển khai như trong SGK. Các HS am hiểu về bóng đá có thể sẽ giải thích được rằng, khi một bàn thắng được ghi thì bóng của quả bóng (theo phương thẳng đứng) nằm hoàn toàn sau vạch vôi. Khi đó GV có thể yêu cầu HS mô tả chính xác "bóng của quả bóng", hay rộng hơn là bóng của một vật thể về mặt toán học là gì, từ đó dẫn đến khái niệm phép chiếu song song và hình chiếu song song.

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG
| HĐ1 | HS quan sát được các đường thẳng nối mỗi điểm với ảnh của nó (qua phép chiếu song song) thì song song với nhau, từ đó biết cách xác định ảnh của một điểm qua phép chiếu song song khi biết phương chiếu và mặt phẳng chiếu. | GV triển khai như trong SGK.
Gợi ý: a) HS có thể quan sát hình vẽ để đưa ra câu trả lời $AA' // BB' // CC' // DD'$. Để tăng tính chặt chẽ, GV có thể nhấn mạnh thêm rằng các tia sáng từ mặt trời được coi là đôi một song song, do đó $AA', BB', CC', DD'$ đôi một song song.
b) GV có thể gợi ý HS bằng cách đặt các câu hỏi như: "Ảnh của mỗi điểm trên khung cửa sổ thuộc mặt phẳng nào?", "Đường thẳng nối mỗi điểm trên khung cửa với ảnh của nó có song song với đường thẳng nào hay không?". Từ đó HS trả lời được rằng để xác định bóng của một điểm M trên khung cửa, ta vẽ đường thẳng qua điểm đó và song song với $AA'$ cắt nền nhà tại $M'$. Điểm $M'$ là điểm cần tìm. |
| Khung kiến thức | Định nghĩa phép chiếu song song và các thuật ngữ liên quan. | GV triển khai theo SGK. GV nhấn mạnh với HS hai yếu tố quan trọng trong phép chiếu song song là phương chiếu và mặt phẳng chiếu. |
| | HS nhận biết được cách xác định ảnh của một hình qua phép chiếu song song. | GV có thể yêu cầu HS quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong SGK để dự đoán ảnh của nó. GV cũng lưu ý HS rằng vì điểm A thuộc khung cửa nên ảnh $A'$ của nó cũng thuộc ảnh của khung cửa. Từ đó HS đưa ra được định nghĩa về ảnh của một hình bất kì qua phép chiếu song song. |
| Khung kiến thức | Định nghĩa hình chiếu của một hình. | GV triển khai theo SGK. Ngoài ra trong hình ảnh về phố cổ Hội An, GV có thể nhấn mạnh đến bóng của người bán hàng rong trên mặt đất. Đây là một ví dụ thực tế về ảnh của một vật thể qua phép chiếu song song. |

Chú ý, HS lưu ý một trường hợp đặc biệt: hình chiếu của một đường thẳng song song hoặc trùng với phương chiếu là một điểm., – GV có thể sử dụng Hình 4.56b để cho HS thấy rằng hình chiếu của đường thẳng $MM'$ theo phương chiếu $\Delta$ chỉ là một điểm $M'$. – GV cũng nói với HS rằng trường hợp đặc biệt này sẽ không được xét đến trong phần còn lại của bài học, đặc biệt là khi học về các tính chất của phép chiếu song song.
Ví dụ 1, HS xác định được hình chiếu của một điểm qua phép chiếu song song., GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 1, HS tự thực hiện. GV gọi HS trả lời. Đáp án: Hình chiếu của điểm $A$ theo phương $BC$ là $D$, theo phương $BG$ là $H$.
Vận dụng 1, HS biết sử dụng khái niệm phép chiếu song song và hình chiếu để trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu., GV có thể yêu cầu HS tìm hiểu luật bàn thắng trong bóng đá và diễn đạt lại bằng các thuật ngữ liên quan đến phép chiếu song song vừa học. Gợi ý: Khi một bàn thắng được ghi, hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm hoàn toàn phía sau vạch vôi. Chú ý: Mặc dù HS chưa được học khái niệm vuông góc trong không gian, tuy nhiên khái niệm "phương thẳng đứng" là tương đối quen thuộc với HS vì các em đã biết tới khái niệm này trong môn Vật lí.
2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
HĐ2, HS nhận biết được các tính chất của phép chiếu song song dựa trên quan sát., – GV triển khai như trong SGK. – Sau khi HS quan sát và trả lời câu hỏi a, GV kết luận phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự các điểm, phép chiếu song song cũng biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Một cách tự nhiên, nếu GV yêu cầu HS xác đỉnh ảnh của tia/ đường thẳng AC trên hình, HS có thể trả lời đó là tia/ đường thẳng A'C'.

Tiết 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Nhắc lại kiến thức, HS nhắc lại định nghĩa và các tính chất của phép chiếu song song., GV gọi HS trả lời. V

Khung kiến thức, Định nghĩa hình biểu diễn của một hình., GV triển khai theo SGK. HS quan sát và thừa nhận các tính chất về hình biểu diễn của các hình phẳng cơ

IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 4.29. a), d). 4.30. Theo đề bài ta có AA' // BB' // CC'. Do đó A, B, C là hình chiếu của A', B', C' trên mặt phẳng (ABC) theo ph

Bài tập cuối chương IV I. GỢI Ý DẠY HỌC GV cho HS tóm tắt lí thuyết đã học, lưu ý có hai dạng toán cơ bản đó là những bài toán chứng minh song song, những bài t

$4.44. (H.4.19). a) $AG$ và $CK$ cùng đi qua trung điểm $P$ của đoạn $SD$. Trong tam giác $ACP$ thì $GK \parallel AC$ mà $AC$ nằm trong $(ABCD)$ nên $GK \paralle$

Chương V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC A TỔNG QUAN 1 Vị trí, vai trò của chương Chương này trình bày các khái niệm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC Bài 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số. - Giải thíc

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội

$Ví dụ 2, Thực hành chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn cho trước., GV lưu ý HS hai bước thực hiện: (1) Tính $v_n = u_n - 2$; (2) Chứng minh $v_n \to 0$ khi $n$

Tiết 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN HĐ4. Làm quen với việc tính tổng vô hạn, Hình thành công thức tính tổng

$| | | b) Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường $A_1A_2$, $A_2A_3$,..., $A_nA_{n+1}$,... là $$T = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + ... + \frac{1$

3. Phân loại bài tập – Tính giới hạn của dãy số: Bài tập 5.1, 5.3. – Vận dụng các quy tắc giới hạn: Bài tập 5.2. – Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Bài tập

Bài 16. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực. – Nhận b

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý – Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày giới hạn hàm số ở đây và SGK Toán 11 cũ. – GV nên sử dụng đồ thị hàm số

Ví dụ 1, Tính giới hạn hàm số cụ thể bằng cách sử dụng định nghĩa., GV hướng dẫn HS thực hiện các bước theo định nghĩa: (1) Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x

Luyện tập 2, Thực hành tính giới hạn một bên của hàm số, đồng thời thể hiện mối liên hệ giữa giới hạn một bên của hàm số với giới hạn của hàm số tại một điểm.,

$một điểm và tại vô cực để giải một bài toán hình học., Gợi ý: a) Tính $h$ theo $a$: Chú ý $OH \cdot AB = OA \cdot OB$ (hai lần diện tích $\Delta ABC$). Do đó $h$

$| | | Gợi ý: a) Với $x_n \neq 0, x_n \to 0$, ta có $\left|x_n\right| \to 0$ và $\left|x_n\right| > 0$. Do vậy $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\left|x_n\right|} =$

3. Phân loại bài tập – Củng cố khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Bài tập 5.7. – Tính giới hạn của hàm số tại một điểm: Bài tập 5.8. – Tính giới hạn mộ

Bài 17. Hàm số liên tục I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận dạng hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, trên một đoạn. – Nhận dạng tính liê

– GV nên sử dụng đồ thị hàm số để minh hoạ cho tính chất liên tục của hàm số. Dựa vào đồ thị của các hàm số sơ cấp đã biết để khẳng định tính liên tục của chúng

$– GV lưu ý HS quy tắc: Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_$

Ví dụ 4, Thực hành tìm các khoảng trên đó hàm số liên tục., GV gợi ý HS cách tìm các khoảng liên tục đối với hàm phân thức.
Luyện tập 2, Củng cố kĩ năng tìm các khoảng trên đó hàm số liên tục., HS tự làm tại lớp. Rõ ràng hàm số $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ. Hàm số này liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
HĐ3. Nhận dạng tính liên tục của tổng hai hàm số, Giúp HS nhận dạng tính chất liên tục của tổng hai hàm số. Tổng quát, khẳng định tính liên tục của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm liên tục., – HS thực hiện các yêu cầu trong HĐ3. – GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. – GV lưu ý các tính chất này có được nhờ áp dụng quy tắc giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số.
Ví dụ 5, Thực hành xét tính liên tục của thương của hai hàm liên tục., GV lưu ý HS tử số và mẫu số của hàm số cho trong Ví dụ 5 là các hàm sơ cấp, tính liên tục của chúng trên các khoảng xác định đã được biết.
Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn, Trình bày một tính chất quan trọng của hàm liên tục, gọi là tính chất trung bình., GV minh hoạ kết quả bằng đồ thị.
Ví dụ 6, Thực hành chứng minh một phương trình có nghiệm., GV lưu ý cách sử dụng tính chất của hàm liên tục trên một đoạn như một phương pháp chứng minh một phương trình có nghiệm.
Vận dụng, Giải bài toán ở tình huống mở đầu., GV gợi ý HS áp dụng tính chất của hàm liên tục cho hàm số $f(t) = v(t) - 60$, ở đó $v(t)$ là hàm biểu thị vận tốc tại thời điểm $t$.

| | | Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là $v_a = 60$ (km/h). Tại thời điểm xuất phát $t_0$, vận tốc của xe $v(t_0) = 0$ nên có một thời điểm $t_1$ xe chạy với vận tốc $v(t_1) > v_a$. Rõ ràng, hàm $f(t) = v(t) - v_a$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ {{t_0},{t_1}} \right]$. Hơn nữa, ta có $f({t_0}) = - {v_a} < 0$, $f({t_1}) = v({t_1}) - {v_a} > 0$, nên tồn tại thời điểm ${t^} \in \left( {{t_0};{t_1}} \right)$ sao cho $f({t^}) = 0$. Khi đó, ta có $v({t^*}) = 60$. |
| Bài tập | GV gợi ý/hướng dẫn HS làm một số bài tập cuối bài trong SGK. | GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. |
3. Phân loại bài tập
– Củng cố khái niệm hàm số liên tục tại một điểm: Bài tập 5.14.
– Xét tính liên tục của hàm số: Bài tập 5.15, 5.16.
– Vận dụng giải bài toán thực tế: Bài tập 5.17.
Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong Sách bài tập.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
5.14. Ta có $2f(1) - g(1) = 3$. Do $f(1) = 2$ nên $g(1) = 1$.
5.15. a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left{ { - 2, - 3} \right}$. Do $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên $D$.
b) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục trên các khoảng $( - \infty ;1)$ và $(1; + \infty )$.
Xét tại điểm $x = 1$, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + {x^2}} \right) = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (4 - x) = 3$.
Vậy hàm số gián đoạn tại điểm $x = 1$.
5.16. Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục trên các khoảng $( - \infty ;0)$ và $(0; + \infty )$. Do đó $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nếu nó liên tục tại $x = 0$. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x + m) = m$ và $f(0) = 0$.
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $m = 0$.

Bài tập cuối chương V I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị bài trình chiếu dạng sơ đồ hoá). GV hệ thống các dạng toán

$5.27. Ta có a) $1,(01) = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... = 1 + \frac{{\frac{1}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = 1\frac{1}{{99}}$. b) $5,(132)$

5.27. Ta có
a) $1,(01) = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... = 1 + \frac{{\frac{1}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = 1\frac{1}{{99}}$.
b) $5,(132) = 5 + \frac{{132}}{{1000}} + \frac{{132}}{{{{1000}^2}}} + ... = 5 + \frac{{\frac{{132}}{{1000}}}}{{1 - \frac{1}{{1000}}}} = 5\frac{{132}}{{999}}$.
5.28. Ta có
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{1}{6}$.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{3}{2}$.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = + \infty $.
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{2}$.
5.29. a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x + 3} \right) = 6$.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} = + \infty $.
5.30. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = - 1$. Do đó, giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}$ không tồn tại.
5.31. a) Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left{ \begin{array}{l}\frac{1}{x},,\text{nếu},,,x \ne 0,\1,,\text{nếu},,,x = 0\end{array} \right.$ tại điểm $x = 0$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty $.
Vậy không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$.

$b) Xét tính liên tục của hàm số $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1, \ 2 - x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$. Ta có $\lim_{x \to$

Chương VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Mục đích chính của chương này là xây dựng khái niệm luỹ thừa với số mũ thực và khái niệm lôgarit, các tính chất cơ bản và các quy tắc tính toán tương ứng của chúng. Từ đó giới thiệu hai loại hàm số mới, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn là hàm số mũ, hàm số lôgarit và trình bày cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit đơn giản.
Hàm số mũ và hàm số lôgarit trình bày trong chương này, cùng với các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác giới thiệu trước đó, tạo thành các hàm số sơ cấp cơ bản, được nghiên cứu tương đối trọn vẹn trong chương trình Toán phổ thông. Những hàm số này là chất liệu cho các nội dung Giải tích như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, tích phân được trình bày trong chương trình Toán phổ thông, cũng như xuất hiện trong những mô hình toán học cho các bài toán thực tiễn.
2 Cấu tạo chương
Tổng thời lượng: 8 tiết.
Nội dung:
Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực — 2 tiết
Bài 19. Lôgarit — 2 tiết
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit — 1 tiết
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit — 2 tiết
Bài tập cuối chương VI — 1 tiết
3 Một số điểm cần lưu ý
Theo tinh thần chung của CT GDPT môn Toán năm 2018 là giảm tính hàn lâm, những bài tập nội dung thuần tuý toán về luỹ thừa, lôgarit (như tính toán, rút gọn,...), giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit được giảm nhẹ rất nhiều. Các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit (như tập giá trị, tính đơn điệu) được rút ra từ đồ thị.
Bên cạnh việc giảm tính hàn lâm và giảm mức độ của các bài tập thuần tuý toán, một điểm mới nổi bật trong SGK Toán 11 mới này là những ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số lôgarit được đặc biệt chú trọng. Điều này thể hiện rất rõ trong những bài

toán ở Tình huống mở đầu, Vận dụng, những bài tập thực tiễn phong phú trình bày trong SGK. Đây có thể coi là một khác biệt cơ bản so với các SGK Toán 11 trước đây. - Theo yêu cầu của chương trình mới, HS nên được tham gia tích cực vào các hoạt động
trong bài học, từ các hoạt động hình thành kiến thức mới đến các hoạt động luyện tập, vận dụng. SGK đã cố gắng thiết kế các hoạt động tương ứng. GV chỉ nên gợi ý, hướng dẫn cho HS (nếu cần) trong các hoạt động này, hạn chế việc làm thay (hoàn toàn) cho HS. - Về hình thức dạy học:
Nếu có điều kiện thì GV nên chuẩn bị sẵn slides phần đề bài của các hoạt động. Đến
hoạt động nào thì trình chiếu yêu cầu của hoạt động đó lên cho HS theo dõi và thực hiện. Việc này vừa tiết kiệm thời gian viết bảng, vừa sinh động hơn vừa giúp HS tập trung hơn vào yêu cầu của GV.
Với mỗi hoạt động, GV có thể cho HS làm việc cá nhân hoặc hoạt động nhóm (tuỳ
tính chất của hoạt động). Sau đó yêu cầu HS trình bày câu trả lời (bằng miệng, giơ bảng trả lời, viết bảng,...). GV nhận xét và tổng kết, đặc biệt lưu ý phương pháp giải và các sai lầm thường mắc. + Với các ví dụ đơn giản trong bài học, GV có thể để HS tự làm và chỉ gợi ý khi cần.
Tuy nhiên, với các ví dụ phức tạp hơn, thì có thể xử lí tuỳ theo trình độ chung của HS trong lớp. Nếu ở lớp HS khá, GV chỉ cần phân tích đề bài, gợi ý để HS có thể tự làm sau đó sẽ nhận xét và tổng kết phương pháp giải. Còn ở lớp với trình độ chung của HS không tốt, GV có thể chữa mẫu và phân tích kĩ cách giải (theo lược đồ 4 bước của Polya). Sau đó yêu cầu HS làm các bài tập tương tự trong phần Luyện tập, Vận dụng, GV quan sát và trợ giúp HS khi cần. - Trong mỗi bài học, các gợi ý dạy học cho từng bài học chỉ là một phương án đề xuất.
GV có thể dựa trên kinh nghiệm giảng dạy của mình và trình độ chung của HS trong lớp để có thể có phương án hợp lí hơn, miễn là đảm bảo mục tiêu của bài học và HS được tham gia tích cực vào các hoạt động.
B CÁC BÀI HỌC CỤ THỂ
Bài 18. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC (2 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của một số thực khác 0; luỹ thừa
với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của một số thực dương.

Giải thích được các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
và luỹ thừa với số mũ thực. - Sử dụng được tính chất của phép tính luỹ thừa trong tính toán các biểu thức số và
rút gọn các biểu thức chứa biến. - Tính được giá trị biểu thức số có chứa phép tính luỹ thừa bằng sử dụng máy tính cầm tay. - Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc thực tiễn gắn với
phép tính luỹ thừa.
2. Về năng lực, phẩm chất
- Rèn luyện năng lực toán học, nói riêng là năng lực mô hình hoá toán học và năng lực
giải quyết vấn đề toán học thông qua những bài toán thực tiễn liên quan đến luỹ thừa với số mũ thực.
Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo
cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày khái niệm luỹ thừa với số
mũ thực ở đây và SGK Toán THPT trước đây. Tuy nhiên, theo tinh thần của chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến ứng dụng của luỹ thừa trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến khái niệm luỹ thừa với số mũ thực. - Chuẩn bị: + GV: Chuẩn bị thông tin về một số mô hình thực tế liên quan đến sự xuất hiện của
luỹ thừa. + HS: Ôn lại khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên dương, căn bậc hai và căn bậc ba đã học ở SGK Toán THCS; chuẩn bị máy tính cầm tay để tính toán các luỹ thừa với số mũ thực.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Luỹ thừa với số mũ nguyên; + Tiết 1: Mục 2. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. + Tiết 2: Mục 3. Luỹ thừa với số mũ thực; + Tiết 2: Gợi ý chữa một số bài tập cuối bài học.

Nhận xét, GV lưu ý điều kiện tồn tại của căn bậc $n$ trong hai trường hợp $n$ chẵn và $n$ lẻ. Ví dụ 2, Rèn luyện kĩ năng tìm căn bậc $n$ của một số trong trường

| Tổng kết | Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà. | GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. |
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
3. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực
HD5. Nhận biết luỹ thừa với số mũ thực, Giúp HS nhận biết khái niệm luỹ thừa với số mũ thực, như là giới hạn của dãy luỹ thừa với số mũ hữu tỉ., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HD5. GV giúp đỡ HS khi cần. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức. Đây là khái niệm khó và trừu tượng đối với HS, do đó GV cần lưu ý khi giảng dạy.
Ví dụ 5, Rèn luyện kĩ năng rút gọn biểu thức chứa biến liên quan đến luỹ thừa với số mũ thực., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Ví dụ 6, Rèn luyện kĩ năng so sánh hai luỹ thừa với số mũ thực, bằng cách đưa về cùng cơ số., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Luyện tập 5, Củng cố kĩ năng rút gọn biểu thức chứa biến liên quan đến luỹ thừa với số mũ thực., HS tự làm tại lớp.
Vận dụng, Vận dụng kiến thức, kĩ năng trong bài học để giải quyết bài toán thực tế trong tình huống mở đầu., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. Gợi ý. Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là $100 \cdot (1 + 6%)^3 \approx 119,1$ (triệu đồng).
b) Tính luỹ thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay
Tính luỹ thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay, Rèn luyện kĩ năng tính toán luỹ thừa bằng máy tính cầm tay., HS thực hành dưới sự hướng dẫn của GV. GV lưu ý hướng dẫn phím bấm thích hợp trên loại máy tính cầm tay mà HS sử dụng.

Chữa bài tập, GV gợi ý hoặc cho HS chữa một số bài tập cuối bài trong SGK., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
3. Phân loại bài tập
– Tính luỹ thừa với số mũ thực: Các Bài tập 6.1, 6.2.
– Rút gọn biểu thức: Các Bài tập 6.3, 6.4, 6.5.
– Ứng dụng thực tế của luỹ thừa: Các Bài tập 6.7, 6.8.
Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong Sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
6.1. a) 25; b) 8; c) 4; d) 8.
6.2. a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5} = 9 + \frac{1}{27} - 5 = \frac{109}{27}$;
b) $4^{2-3\sqrt{7}} . 8^{2\sqrt{7}} = 2^{2.(2-3\sqrt{7})} . 2^{6\sqrt{7}} = 2^{2.(2-3\sqrt{7})+6\sqrt{7}} = 2^4 = 16$.
6.3. a) $A = \frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y} = \frac{x^{5-3}}{y^{1+2}} = \frac{x^2}{y^3}$;
b) $B = \frac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1} y^4)^{-3}} = \frac{x^2 y^{-3}}{x^3 y^{-12}} = x^{2-3} y^{-3+12} = x^{-1} y^9 = \frac{y^9}{x}$.
6.4. a) $\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{xy}$;
b) $\left( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} . \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} = \frac{x^{\sqrt{3}.(\sqrt{3}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}} . \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} = \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2} . \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} = \frac{x^2}{y^0} = x^2$.
6.5. Ta có: $\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} - \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2$.

Bài 19. Lôgarit I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết được khái niệm lôgarit cơ số $a$ của một số thực dương. Giải thích được các tính chất của phép tí

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày khái niệm lôgarit ở đây và SGK Toán THPT trước đây. Tuy nhiên, theo tinh thần của chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến ứng dụng của lôgarit trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến khái niệm lôgarit. Nói riêng, để giảm bớt tính hàn lâm theo tinh thần của chương trình mới và cũng như SGK Toán của các nước phát triển, chúng tôi không đưa vào sách một số công thức có tính chất thủ thuật biến đổi để giải toán liên quan đến lôgarit. Khi cần HS có thể dễ dàng tự suy ra những công thức này từ các công thức cơ bản được trình bày trong sách.
– Trong phần Em có biết? ở cuối bài, SGK giới thiệu ngắn gọn lịch sử phát triển của các khái niệm luỹ thừa và lôgarit. GV có thể hướng dẫn HS tự đọc để tìm hiểu vấn đề này.
– Chuẩn bị:
GV: Tìm hiểu lịch sử ra đời và một số ứng dụng thực tế của khái niệm lôgarit.
HS: Chuẩn bị máy tính cầm tay để tính toán với lôgarit.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Khái niệm lôgarit;
Mục 2. Tính chất của lôgarit.
Tiết 2: Mục 3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên;
Gợi ý chữa một số bài tập cuối bài học.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học., GV chỉ cần nêu tình huống để kích thích nhu cầu học tập của HS, chứ chưa yêu cầu HS giải quyết ngay. Khi HS tiếp thu đủ lượng tri thức toán học cần thiết trong bài thì sẽ quay lại giải quyết.

1. KHÁI NIỆM LÔGARIT HĐ1. Nhận biết khái niệm lôgarit, Giới thiệu định nghĩa, điều kiện có nghĩa và những tính chất đơn giản của lôgarit., HS thực hiện lần lượt

Lưu ý cho HS ý nghĩa quan trọng của công thức đổi cơ số. Ví dụ 3, Rèn luyện kĩ năng tính lôgarit bằng cách đổi cơ số trong trường hợp đơn giản, HS làm việc dưới

Ví dụ 6, Giới thiệu ứng dụng của lôgarit tự nhiên trong một vấn đề thực tiễn., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. c) Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay Tính

– Ứng dụng thực tế của lôgarit: Các Bài tập 6.13, 6.14. Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong Sách bài tập và các

Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được hàm số mũ và hàm số lôgarit. Nêu được một số ví dụ thực tế về hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Nhận dạng được đồ thị của các hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Giải thích được các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit thông qua đồ thị của chúng.
Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc thực tiễn gắn với hàm số mũ và hàm số lôgarit.
2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện năng lực toán học, nói riêng là năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua những bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Về mặt nội dung, một điểm khác biệt lớn về cách trình bày hàm số mũ và hàm số lôgarit ở đây so với SGK Toán THPT trước đây là do ở đây ta chưa có công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số nên sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit được suy ra từ đồ thị của chúng (mà đồ thị nhận được từ việc ta vẽ phác thảo dựa vào một số điểm của nó, chứ không khảo sát hàm số một cách chặt chẽ như ở SGK Toán THPT trước đây). Điều này là do quan điểm giảm tính hàn lâm và do quy định về bố trí thứ tự các nội dung (phần nội dung hàm số mũ và hàm số lôgarit trình bày trước nội dung về đạo hàm) trong chương trình mới.
Cũng do tinh thần giảm tính hàn lâm của chương trình, SGK cũng không trình bày mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit cùng cơ số trong trường hợp tổng quát (hai đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất).
GV cần lưu ý những điều này khi giảng dạy.
Chuẩn bị:
GV: Tìm hiểu một số mô hình thực tế liên quan đến ứng dụng của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
HS: Ôn lại khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và đặc trưng đồ thị của chúng đã học ở lớp 10.

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 1 tiết. 2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN T

Vận dụng, Vận dụng kiến thức hàm số mũ vào bài toán thực tiễn trong tình huống mở đầu., HS tự làm tại lớp. Gợi ý. Từ năm 2020 tới năm 2050 là 30 năm. Ước tính d

Bài 21. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Giải được phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở dạ

2. Về năng lực, phẩm chất – Rèn luyện năng lực toán học, nói riêng là năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua những bài t

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ HD1. Nhận biết nghiệm của phương trình mũ, Giới thiệu khái niệm và phương pháp giải phương trình mũ cơ bản., HS thực hiện lần lượt các yêu cầ

$b) Điều kiện: $x > 1$. Phương trình đã cho trở thành: $\log_2(x + 2)(x - 1) = 1 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 1) = 2$. Thu gọn ta được phương trình bậc hai $x^2 +$

4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT HD4. Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit, Giới thiệu khái niệm và phương pháp giải bất phương trình lôgarit cơ bản., HS th

Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
3. Phân loại bài tập
– Giải phương trình mũ, lôgarit đơn giản: Các Bài tập 6.20, 6.21.
– Giải bất phương trình mũ, lôgarit đơn giản: Bài tập 6.22.
– Ứng dụng thực tế của phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit: Các Bài tập 6.23, 6.24, 6.25, 6.26.
Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong Sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
6.20. a) $3^{x-1} = 27 \Leftrightarrow 3^{x-1} = 3^3 \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$.
b) $100^{2x^2-3} = 0{,}1^{2x^2-18} \Leftrightarrow 10^{4x^2-6} = 10^{-2x^2+18} \Leftrightarrow 4x^2 - 6 = -2x^2 + 18$
$\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$.
c) $\sqrt{3}e^{3x} = 1 \Leftrightarrow e^{3x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 3x = \ln\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 3x = -\frac{1}{2}\ln 3 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{6}\ln 3$.
d) $5^x = 3^{2x-1} \Leftrightarrow \log_3 5^x = \log_3 3^{2x-1} \Leftrightarrow x\log_3 5 = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2 - \log_3 5}$.
6.21. a) Điều kiện: $x > -1$. Ta có: $\log(x + 1) = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 10^2 \Leftrightarrow x = 99$.
b) Điều kiện: $x > 3$. Phương trình tương đương với $\log_2 x + \log_2(x - 3) = 2$, hay $\log_2 x(x - 3) = 2 \Leftrightarrow x(x - 3) = 4 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 4$. Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = 4$.
c) Điều kiện: $x > 1$. Phương trình đã cho tương đương với $\ln x(x - 1) = \ln 4x \Leftrightarrow x(x - 1) = 4x \Leftrightarrow x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$. Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$.
d) Điều kiện: $x > 2$. Phương trình đã cho tương đương với $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3$. Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$.

$6.22. a) $0,1^{2 - x} > 0,1^{4 + 2x} \Leftrightarrow 2 - x < 4 + 2x \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$. b) $2 \cdot 5^{2x + 1} \le 3 \Leftrightarrow 5^{2x + 1}$

6.22. a) $0,1^{2 - x} > 0,1^{4 + 2x} \Leftrightarrow 2 - x < 4 + 2x \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$.
b) $2 \cdot 5^{2x + 1} \le 3 \Leftrightarrow 5^{2x + 1} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2x + 1 \le \log_5 \frac{3}{2} \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\left( {\log_5 \frac{3}{2} - 1} \right)$.
c) Điều kiện: $x > -7$.
Ta có: $\log_3 (x + 7) \ge -1 \Leftrightarrow x + 7 \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow x \ge - \frac{{20}}{3}$.
d) Điều kiện: $x > \frac{1}{2}$.
Ta có: $\log_{0,5} (x + 7) \ge \log_{0,5} (2x - 1) \Leftrightarrow x + 7 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \ge 8$.
6.23. Số tiền bác Minh nhận được sau $n$ năm gửi tiết kiệm là
$$A = 500 \cdot {(1 + 0,075)^n} = 500 \cdot {1,075^n} \text{ (triệu đồng)}.$$
Để có được $800$ triệu đồng thì
$$\begin{aligned} A &= 800 \Leftrightarrow 500 \cdot {1,075^n} = 800 \Leftrightarrow {1,075^n} = 1,6 \ &\Leftrightarrow n = {\log _{1,075}}1,6 \approx 6,5 \text{ (năm)}. \end{aligned}$$
Vậy sau khoảng $7$ năm gửi tiết kiệm thì bác An thu được ít nhất $800$ triệu đồng.
6.24. Số lượng vi khuẩn đạt tới $80;000$ con khi
$$\begin{aligned} N(t) &= 80;000 \Leftrightarrow 500{e^{0,4t}} = 80;000 \Leftrightarrow {e^{0,4t}} = 160 \ &\Leftrightarrow 0,4t = \ln 160 \Leftrightarrow t \approx 12,69 \text{ (giờ)}. \end{aligned}$$
Vậy sau khoảng $12,69$ giờ thì số lượng vi khuẩn đạt tới $80;000$ con.
6.25. a) Nhiệt độ $T_0$ ban đầu của vật ứng với nhiệt độ tại thời điểm $t = 0$, từ đó ta được
$$T_0 = T(0) = 25 + 70e^{-0,5 \cdot 0} = 25 + 70 = 95;({^ \circ }C).$$
b) Nhiệt độ của vật còn lại $30;{^ \circ }C$ khi $t$ thoả mãn phương trình
$$\begin{aligned} 25 + 70e^{-0,5t} &= 30 \Leftrightarrow e^{-0,5t} = \frac{1}{{14}} \ \Leftrightarrow -0,5t &= \ln \frac{1}{{14}} \Leftrightarrow t = 2\ln 14 \approx 5,278, \end{aligned}$$
tức là sau khoảng $5,28$ phút.
6.26. Ta có: $\text{pH} = - \log [H^+] = 8$. Suy ra $[H^+] = 10^{-8}$ (mol/l). Vậy nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là $8$ là $10^{-8}$ (mol/l).

Bài tập cuối chương VI I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương. GV hệ thống các dạng toán cơ bản của toàn bộ chương và nhắc lại ngắn gọn

$6.38. a) Nếu tỉ lệ lạm phát $8%$ một năm thì sau 2 năm sức mua của 100 triệu đồng sẽ còn lại là $A = 100 \cdot (1 - 0,08)^2 = 84,64$ (triệu đồng). b) Ta có: $10$

Chương VII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN A TỔNG QUAN 1 Vị trí, vai trò của chương Tiếp nối nội dung về quan hệ song song đã được trình bày ở chương IV, ch

Nhận biết được hai đường thẳng vuông góc. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc và tính được góc giữa hai đường thẳng
trong một số tình huống đơn giản. - Vận dụng được kiến thức về quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng để mô tả một số
hình ảnh thực tế như hai con đường vuông góc với nhau, một số cấu kiện trong một ngôi nhà vuông góc với nhau,…
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (máy tính cầm tay, thước kẻ, ê ke,
hoặc phần mềm vẽ hình). - Năng lực giải quyết vấn đề toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (chẳng hạn, thông qua việc vận dụng tính góc giữa
cạnh bên và cạnh đáy của kim tự tháp Kheops và việc xem xét mối quan hệ vuông góc giữa các cấu kiện trong một ngôi nhà gỗ truyền thống). - Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt quá trình học tập và báo
báo kết quả học tập), yêu nước (chẳng hạn, với mô hình nhà gỗ, HS hiểu hơn về truyền thống văn hoá dân tộc).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Khái niệm góc giữa hai đường thẳng được quy về góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua
một điểm (đồng phẳng). - Khi xác định góc giữa hai đường thẳng, tuỳ từng tình huống cụ thể cần chọn điểm phù
hợp để thuận tiện cho việc tạo các đường song song với hai đường đã cho. - Liên quan tới Bài tập 7.4, GV có thể gợi ý HS tìm hiểu qua video trên Internet về nhà gỗ
truyền thống để dễ quan sát các cấu kiện hơn.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Bài học có thời lượng 2 tiết, có thể phân bổ như sau:
Tiết 1: Từ đầu bài học đến hết câu hỏi sau định nghĩa hai đường thẳng vuông góc. Tiết 2: Từ Ví dụ 2 đến hết bài học.

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1. Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Mở đầu ch

các trường hợp bằng nhau của tam giác từ mặt phẳng sang không gian. Khung kiến thức, Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng., – GV giảng giải cho HS. – GV bình luậ

2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC | HD2 | Tạo hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian. | – GV tổ chức, giám sát, gợi ý để HS làm. – GV có thể cho HS nhắc

Bài 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. – Nhận biết được

– Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (thước kẻ, ê ke hoặc phần mềm vẽ hình).
– Năng lực giải quyết vấn đề toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực mô hình hoá toán học (chẳng hạn, thông qua việc vận dụng hiểu biết về quan hệ vuông góc để tạo cột treo quần áo vuông góc với sàn nhà, diễn đạt mặt phẳng nằm ngang tại một điểm).
– Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt quá trình học tập và báo cáo kết quả học tập, kiểm tra cột vuông góc với sàn).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Không yêu cầu HS chứng minh điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mà chỉ cho HS hoạt động để có trải nghiệm về điều kiện đó.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Bài học có thời lượng 3 tiết, có thể phân bổ như sau:
Tiết 1. Mục 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Tiết 2. Mục 2: Tính chất.
Tiết 3. Mục 3 và chữa Bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu bài học, Đề cập một tình huống thực tế ứng với quan hệ vuông góc và không vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng., GV giới thiệu như SGK. Chú ý. Quan sát trên thực địa, đôi khi ta có thể cảm nhận được công trình có phương vuông góc hay không vuông góc với mặt đất (phẳng). Nếu mặt đất ở đó có phương nằm ngang mà công trình có phương không vuông góc với mặt đất thì ta nói công trình là nghiêng (HS sẽ được tìm hiểu điều này ở mục Em có biết? cuối bài học).

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG | HĐ1 | Ví dụ thực tế về đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng trong một mặt phẳng. | – GV tổ chức, giám sát, gợi ý đ

| HD2 | HS trải nghiệm để đi đến điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. | – GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện.
Gợi ý
a) $AB$ vuông góc với hai đường thẳng $AD$ và $AN$ (vì $ABCD$, $ABMN$ là các hình chữ nhật).
b) Trong mô hình, đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ ta thấy một cạnh của ê ke trùng với $AB$ và một cạnh thuộc $a$ nên $AB$ vuông góc với $a$.
– GV nên yêu cầu nhiều HS báo cáo kết quả kiểm tra trên mô hình để nhận được cùng kết luận từ nhiều kiểm nghiệm độc lập.
– GV có thể nhấn mạnh thêm với HS là: trong HĐ2 ta đã biết nếu $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt bàn và đi qua $A$ thì $AB$ vuông góc với mặt bàn. |
| Khung kiến thức | Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. | GV trình bày, giảng giải cho HS. |
| ? | HS vận dụng trực tiếp khung kiến thức. | GV yêu cầu HS trả lời.
Gợi ý. Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác và do đó vuông góc với cạnh thứ ba. |
| Ví dụ 1 | HS học kĩ năng nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. | GV trình bày, giảng giải cho HS. |
| Luyện tập 1 | HS rèn luyện kĩ năng nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. | GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện.
Gợi ý. Vì $SA = SC$, $SB = SD$ và $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$, $BD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$, $BD \Rightarrow SO \perp AC$, $SO \perp BD \Rightarrow SO \perp (ABCD)$. |
| Vận dụng | Vận dụng thực tế của điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. | GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện.
Gợi ý. Vì cột treo vuông góc với hai thanh đê (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đê). |
| Tổng kết tiết học | HS nhìn lại các nội dung chính đã học. | GV chốt kiến thức cho HS. GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. |

Tiết 2. Tính chất
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
2. TÍNH CHẤT
HĐ3, Chỉ ra sự tồn tại của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý. $(P)$ là mặt phẳng sinh bởi $d$ và $a$, $(Q)$ là mặt phẳng sinh bởi $d$ và $b$. Do $(P)$ và $(Q)$ phân biệt nên $a$ và $b$ phân biệt. Do $d$ vuông góc với $a$, $b$ và $\Delta$ song song với $d$ nên $(\Delta,a) = (d,a) = 90^{\circ}$ và $(\Delta,b) = (d,b) = 90^{\circ}$. Vậy $\Delta$ vuông góc với $a$ và $b$. Do đó, $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng chứa $a$, $b$.
Khung kiến thức, Định lí về sự tồn tại duy nhất mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước., – GV trình bày, giảng giải cho HS. – GV có thể lưu ý cho HS là HĐ3 chỉ chứng minh sự tồn tại, HS hoàn toàn có thể chứng minh tính duy nhất nhưng ở đây ta thừa nhận.
Nhận xét, Nêu một tiêu chuẩn kiểm tra đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng gắn với quan hệ vuông góc., – GV yêu cầu HS giải thích hoặc GV giải thích cho HS: Các mặt phẳng mp$(a, b)$ và mp$(b, c)$ cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$ nên hai mặt phẳng này trùng nhau và chính là mặt phẳng qua $O$ và vuông với $\Delta$. Từ đó ta nhận được nhận xét. – GV lưu ý cho HS rằng nhận xét cũng có nghĩa là các đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$ thì cùng thuộc mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.
Ví dụ 2, Vận dụng kiến thức., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Chú ý, Giới thiệu mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS.
HĐ4, Chỉ ra sự tồn tại đường thẳng đi qua một điểm và vuông, GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a) $(\alpha)$ vuông góc với $a$ nên có điểm chung với $a$,

$góc với một mặt phẳng cho trước., do đó, $(\alpha)$ có điểm chung với $(P)$. Mặt khác, $(\alpha)$ không trùng với $(P)$ vì $(\alpha)$ vuông góc với $a$ và $a$ n$

Tiết 3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
HĐ5, Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ để HS thực hiện. Gợi ý. Vì $a$ vuông góc với $(P)$ nên $(a, m) = 90^{\circ}$. Mặt khác $b // a$ nên $(b, m) = (a, m) = 90^{\circ}$. Do $b$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(P)$ nên $b$ vuông góc với $(P)$.
HĐ6, Nhận biết hai đường thẳng song song., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a) Gọi $m$ là đường thẳng bất kì thuộc $(P)$. Khi đó, do $c // b$ và $b \perp (P)$ nên $(c,m) = (b,m) = 90^{\circ}$. Vậy $c$ vuông góc với $(P)$. Do $a$ và $c$ đi qua $O$ và cùng vuông góc $(P)$ nên chúng trùng nhau. b) Do $b$ và $c$ song song với nhau mà $a$ trùng với $c$ nên $a$ và $b$ song song với nhau.
Khung kiến thức, Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Ví dụ 4, HS học kĩ năng nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS.
HĐ7, Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý. Do $\Delta$ vuông góc với $(P)$ và $a // b$ nên $(\Delta, b) = (\Delta, a) = 90^{\circ}$. Do $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng $b$ trong $(Q)$ nên $\Delta$ vuông góc với $(Q)$.
HĐ8, HS rèn luyện kĩ năng nhận biết hai mặt phẳng song song nhờ quan hệ vuông góc., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a) Vì $\Delta$ vuông góc với $(Q)$ mà $(Q)$ song song với $(R)$ nên theo HĐ7, $\Delta$ cũng vuông góc với $(R)$.

$Do hai mặt phẳng $(P)$ và $(R)$ cùng qua $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$ nên chúng trùng nhau (theo tính chất). b) Mặt khác, $(Q)$ song song với $(R)$ nên $($

Bài 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết được phép chiếu vuông góc. Xác định được

– Nhận biết và tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản.
– Vận dụng được kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để mô tả một số hình ảnh thực tế.
2. Về năng lực, phẩm chất
– Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (thước kẻ hoặc phần mềm vẽ hình).
– Năng lực giải quyết vấn đề toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực mô hình hoá toán học (chẳng hạn, thông qua việc giải thích hình chiếu vuông góc của trục quay Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo có phương không đổi, mô tả góc cắt cánh của máy bay, góc giữa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí).
– Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt quá trình học tập và báo cáo kết quả học tập).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Vòng Bắc cực là vĩ tuyến $66^{\circ}33'38''$ Bắc, Vòng Nam cực là vĩ tuyến $66^{\circ}33'38''$ Nam (các tính toán trong SGK, ta làm tròn $66^{\circ}33'38''$ bởi $66{,}6^{\circ}$).
– Có thể chuẩn bị dây dọi để xác định phương vuông góc với mặt phẳng nằm ngang ở hoạt động trải nghiệm.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Bài học có thời lượng 2 tiết, có thể phân bố như sau:
Tiết 1: Từ đầu bài học đến hết Nhận xét ở Mục 2.
Tiết 2: Từ Ví dụ 2 đến hết bài học, chữa Bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu bài học, Nêu một hiện tượng mà để giải thích nó, ta cần tới góc giữa đường thẳng và mặt phẳng., GV trình bày cho HS theo SGK. Lưu ý. Hiện tượng này được giải thích trong mục Em có biết? ở cuối bài học.

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC HĐ1, Dẫn tới phép chiếu vuông góc., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt tr

Ví dụ 1, HS học kĩ năng nhận biết hình chiếu vuông góc của điểm, đường thẳng, vận dụng định lí ba đường vuông góc., GV trình bày, giảng giải cho HS. Luyện tập 1

Tiết 2. Ví dụ, vận dụng và chữa Bài tập HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Ví dụ 2, HS rèn luyện kĩ năng nhận biết và tính góc giữa đường thẳng và mặ

| Khám phá | HS phát hiện mối quan hệ về góc. | GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện.
Gợi ý. Trường hợp 1. Đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$ và cắt $(P)$ tại một điểm $O$. Lấy điểm $A$ khác $O$ thuộc $a$ và gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$.
Khi đó, $\Delta // a$ và
$(\Delta,a)=(AH,a)=\widehat{HAO}=90^{\circ}-\widehat{AOH}$
$=90^{\circ}-(a,P)$.
Vậy góc giữa $a$ và $\Delta$ phụ với góc giữa $a$ và $(P)$.
Trường hợp 2: $a$ vuông góc với $(P)$. Khi đó,
$a // \Delta$ và $(a,\Delta)=0^{\circ}, (a,P)=90^{\circ}$.
Trường hợp 3: $a$ song song hoặc thuộc $(P)$.
Khi đó, $a \perp \Delta$ và $(a,\Delta)=90^{\circ},(a,P)=0^{\circ}$.
Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai trường hợp sau. |
| Trải nghiệm | HS thực hiện trải nghiệm nhỏ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. | – GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ để HS thực hiện.
– GV cho 2 HS giữ cố định dây (nên cho một đầu dây gắn xuống đất), một số HS khác lần lượt xác định hình chiếu vuông góc của dây trên sàn nhà và đo góc. Ghi lại các kết quả đo và so sánh.
Lưu ý. HS có thể dùng dây dọi để xác định phương vuông góc với sàn nhà nằm ngang. |
| Kiểm tra, chữa bài tập | | GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. |
3. Phân loại bài tập
– Xác định hình chiếu của điểm, đoạn thẳng, tam giác trên một mặt phẳng: Các Bài tập 7.10, 7.11, 7.12a.
– Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Các Bài tập 7.12b, 7.13.
– Vận dụng hiểu biết về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào việc mô tả và tính góc giữa các đối tượng tương ứng trong thực tế: Các Bài tập 7.14, 7.15.

VI. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 7.10. (H.7.6) a) Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là điểm $A$. b) Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(ABC)$ là tam giác $ABC$. c

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được góc giữa hai mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Xác định được điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Giải thích được tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc.
Nhận biết được góc phẳng nhị diện và biết tính số đo của góc phẳng nhị diện trong một số trường hợp đơn giản.
Giải thích được tính chất cơ bản của hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt của nó.
Vận dụng kiến thức bài học để mô tả một số hình ảnh thực tế.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học).
Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (thước kẻ hoặc phần mềm vẽ hình).
Năng lực giải quyết vấn đề toán học (xuyên suốt bài học).
Năng lực mô hình hoá toán học (chẳng hạn, thông qua việc xác định góc mở của cánh cửa, diễn giải vĩ độ và kinh độ, mô tả một số hình ảnh trong thực tế).
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt quá trình học tập và báo cáo kết quả học tập).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Nhấn mạnh đến hai cách xác định góc giữa hai mặt phẳng thường gặp: Bằng định nghĩa và bằng cách như được nêu trong Nhận xét ở Mục 1.
Khái niệm vĩ độ và kinh độ được diễn đạt chính xác ở cuối Mục 4.
Thông thường, khi xét độ dốc của một con đường ta coi con đường như là một đường thẳng và độ dốc là góc tạo bởi đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang tại đó.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Bài học có thời lượng 4 tiết, có thể phân bổ như sau:
Tiết 1: Mục 1 và mục 2.

Tiết 2: Mục 3 và mục 4. Tiết 3: Mục 5 và mục 6. Tiết 4: Chữa Bài tập cuối bài học. 2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1. Góc giữa hai mặt phẳng,

Ví dụ 1, Một cách xác định góc giữa hai mặt phẳng thường gặp., GV trình bày, giảng giải cho HS. Nhận xét, Kết luận rút ra từ Ví dụ 1., GV trình bày, giảng giải

Tiết 2. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc. Góc nhị diện HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC HĐ3, Dẫn dắt tới khun

$của hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng., b) Ta có: $\Delta = (AB'C'D') \cap (ABCD)$, $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp \Delta$. Lại có $SC \perp$

Luyện tập 4, HS rèn luyện kĩ năng nhận biết góc nhị diện, góc phẳng nhị diện và tính số đo của góc nhị diện., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a

$đường kính cánh cửa và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và khung cửa có số đo là $60^{\circ}$. Giải thích khái n$

một lăng trụ luôn bằng nhau. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước. Khung kiến thức, Tính chất hình lăng trụ đều., GV

Chú ý, Gọi tên lăng trụ đều., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Ví dụ 6, Củng cố tính chất của hình lập phương., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Vận dụng 2, HS vận dụng kiến thức về hình hộp chữ nhật để tạo dựng hình thực tế., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý. Thùng có đáy và các mặt bên là các hình chữ nhật. Điều đó cũng kéo theo rằng miệng thùng là một hình chữ nhật (có các cạnh tương ứng song song và bằng cạnh đáy) thuộc mặt phẳng song song với đáy. Vì các cạnh bên song song với nhau nên thùng là một hình lăng trụ. Mặt khác, mỗi cạnh bên của thùng đều vuông góc với đáy (vì vuông với hai cạnh kề của đáy). Do đó thùng là lăng trụ đứng, hơn nữa, có đáy là hình chữ nhật nên thùng có dạng hình hộp chữ nhật.
6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
HĐ11, HS làm quen với một hình chóp đều trong thực tế., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý. Giả sử tháp có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. Gọi $O$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy. Do $SA = SB = SC = SD$ nên áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông $SOA$, $SOB$, $SOC$, $SOD$ ta nhận được $OA = OB = OC = OD$. Do đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$, tức là $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Khung kiến thức, Định nghĩa hình chóp đều., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Chú ý, Cách gọi tên hình chóp đều., GV trình bày, giảng giải cho HS. Chú ý thứ nhất là một sự khái quát hoá HĐ11.
HĐ12, Tìm hiểu tính chất hình chóp đều., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý a) Do hình chóp là đều nên $SA_1 = ... = SA_n$.

Từ đó, áp dụng định lí Pythagore, ta suy ra $OA_1 = ... = OA_n$. Do đó O là tâm của đa giác đều $A_1A_2...A_n$. b) Do đa giác $A_1A_2...A_n$ và O cách đều các đ

b) Vì $H$ là tâm của đáy $A_1A_2...A_n$ và hình chóp $S.A_1A_2...A_n$ là đều; $SH$ vuông góc với mặt phẳng $A_1A_2...A_n$. Do hai mặt phẳng $(A_1A_2...A_n)$ và

$VI. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 7.16. (H.7.11) a) $SA \perp (ABC) \Rightarrow (SAB) \perp (ABC).$ Vì $BC \perp AH, BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAH)$ $\Rig$

Bài 26. Khoảng cách I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Xác định được khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. – Xác địn

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Bài học có thời lượng 3 tiết, có thể phân bổ như sau: Tiết 1: Từ đầu bài học đến hết Chú ý trước Ví dụ 2. Tiết 2: Từ Ví dụ 2 đế

$Luyện tập 1, HS rèn luyện kĩ năng tính khoảng cách., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS làm bài. Gợi ý a) $AH \perp BC$ tại $H$ thì $AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. b)$

HD3, Đi đến khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Khung kiến thức, Khoảng cách giữa h

Vận dụng, Vận dụng thực tế., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Gợi ý Gọi $B$ là một điểm nằm trên thanh ngang và $H$ là hình chiếu vuông góc xuống mặt

Nhận xét, Nhấn mạnh để HS hiểu hơn khung kiến thức., GV trình bày, giảng giải cho HS. Ví dụ 3, HS học cách xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách.,

$VI. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 7.22. (H.7.16) a) $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. b) $d(BC,(SAD)) = d(B,(SAD)) = AB = a$. c) $d(AB,SD) = AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$

Bài 27. Thể tích I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều. – Tính

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1. Thể tích HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Tình huống mở đầu bài học, Đặt vấn đề để vào bài học

$Thể tích của khối chóp cụt đều là $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) = \frac{7\sqrt{3}}{12}a^2h$. b) $AA'C'C_1$ là hình bình hành $\Rightarrow C'C_1 /$

$IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 7.28. (H.7.20) Thể tích: $V = \frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2 - a^2}$. Khi $a = b \Rightarrow V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$. Hình 7.20 7.$

Bài tập cuối chương VII I. GỢI Ý DẠY HỌC GV cho HS tóm tắt lí thuyết đã học ở nhà, lưu ý có các dạng toán cơ bản đó là những bài toán chứng minh vuông góc, tính

$7.42. (H.7.26) a) Ta có: $V = S_{ABCD} \cdot AA' = a^2 \sin 60^\circ \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$. b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Từ $A$ kẻ $AH$$

Chương VIII. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT A TỔNG QUAN 1 Vị trí, vai trò của chương – Nếu biết xác suất xảy ra của biến cố $A$, xác suất xảy ra của biến cố $B$, làm

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 28. BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP (3 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập. - Diễn đạt được bằng lời khái niệm biến cố hợp, biến cố giao. - Xác định được biến cố hợp, biến cố giao là tập con nào của không gian mẫu.
Xác định được hai biến cố là độc lập hay không độc lập.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học. - Năng lực giao tiếp toán học. - Năng lực mô hình hoá toán học. - Năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra. - Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ
một chiều trước đây. - Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều giữa
GV và HS. - Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong hộp kiến thức, sẽ có ví dụ
minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay sau Ví dụ. - Các Hoạt động, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 - 10 phút
rồi hỏi xem HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một HS. GV sẽ thực hiện việc chữa bài Hoạt động, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm đúng, GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai, GV sẽ phân tích xem sai ở đâu. Trong mọi trường hợp, việc chữa bài Luyện tập đều rất có ích cho việc củng cố kiến thức mới.

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết Tiết 1: Mục 1. Biến cố hợp Tiết 2: Mục 2. Biến cố giao Tiết 3: Mục 3. Biến cố độc lập 2. Thực

Luyện tập 1, Vận dụng khái niệm biến cố hợp. Ví dụ 1 đóng vai trò làm mẫu., HS tự làm (trong 5 – 10 phút). GV gọi HS lên bảng. GV nhận xét bài làm và tổng kết l

$Ta có $P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}$. $Q = {6; 12; 18; 24}$. $S = P \cap Q = {12; 24}$. Vận dụng, Giải quyết câu hỏi đặt ra trong tình huống mở đầu., GV cho cả lớ$

3. Phân loại bài tập Biến cố hợp, biến cố giao: Bài tập 8.1, 8.2 và 8.3. - Biến cố độc lập: Bài tập 8.4 và 8.5. IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 8.1. a) Ω = {1;

Bài 29. Công thức cộng xác suất
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Vận dụng được công thức cộng để:
Tính được xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc.
Tính được xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì.
Biết sử dụng phương pháp tổ hợp khi vận dụng công thức cộng xác suất.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học.
Năng lực giao tiếp toán học.
Năng lực mô hình hoá toán học.
Năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra.
Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ một chiều trước đây.
Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều giữa GV và HS.
Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong hộp kiến thức, sẽ có ví dụ minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay theo Ví dụ.
Các Hoạt động, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 – 10 phút rồi hỏi xem HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một HS. GV sẽ thực hiện việc chữa bài Hoạt động, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm đúng, GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai, GV sẽ phân tích xem sai ở đâu. Trong mọi trường hợp, việc chữa bài Luyện tập đều rất có ích cho việc củng cố kiến thức mới.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết
Tiết 1: Mục 1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
Tiết 2: Mục 2. Công thức cộng xác suất
Tiết 3: Chữa bài tập cuối bài học

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Tình huống mở đầu, Tình huống đặt ra nhu cầu cần có công thức

Ví dụ 2, Minh hoạ cách vận dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc, kết hợp với phương pháp tổ hợp., GV triển khai theo SGK. Luyện tập 2, Vận dụn

Khung kiến thức, Trình bày công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì (không nhất thiết xung khắc)., GV triển khai theo SGK. Liên hệ với công thức cộng xác

| | | Dữ liệu bài toán cho ta: $P(A) = 8,2% = 0,082; P(B) = 12,5% = 0,125;$ $P(AB) = 5,7% = 0,057.$ Thay giá trị của $P(A)$, $P(B)$ và $P(AB)$ vào ta được: $P(E

8.7. Gọi $A$ là biến cố: “Bạn đó thích nhạc cổ điển”; $B$ là biến cố: “Bạn đó thích nhạc trẻ”; $AB$ là biến cố: “Bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”.
Ta có $n(A) = 14$, suy ra $P(A) = \frac{14}{40}$.
$n(B) = 13$, suy ra $P(B) = \frac{13}{40}$.
$n(AB) = 5$, suy ra $P(AB) = \frac{5}{40}$.
a) Gọi $E$ là biến cố: “Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ”. Ta có $E = A \cup B$.
Vậy $P(E) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{14}{40} + \frac{13}{40} - \frac{5}{40} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$.
b) Gọi $F$ là biến cố: “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển lẫn nhạc trẻ”. Khi đó $F$ là biến cố đối của $E$. Vậy $P(F) = 1 - P(E) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.
8.8. Gọi $A$ là biến cố: “Hộ đó nuôi chó”; $B$ là biến cố: “Hộ đó nuôi mèo”.
$AB$ là biến cố: “Hộ đó nuôi cả chó và mèo”. Ta có:
$n(A) = 18$, suy ra $P(A) = \frac{18}{50}$.
$n(B) = 16$, suy ra $P(B) = \frac{16}{50}$.
$n(AB) = 7$, suy ra $P(AB) = \frac{7}{50}$.
a) Gọi $E$ là biến cố: “Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo”. Ta có $E = A \cup B$.
Vậy $P(E) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{18}{50} + \frac{16}{50} - \frac{7}{50} = \frac{27}{50}$.
b) Gọi $F$ là biến cố: “Hộ đó không nuôi cả chó và mèo”. $F$ là biến cố đối của biến cố $E$.
Vậy $P(F) = 1 - P(E) = 1 - \frac{27}{50} = \frac{23}{50}$.
8.9. Gọi $A$ là biến cố: “Người đó mua sách A”, B là biến cố: “Người đó mua sách B”. Ta có: $P(A) = 0,5$; $P(B) = 0,7$; $P(AB) = 0,3$.
a) Gọi $E$ là biến cố: “Người đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B”, khi đó $E = A \cup B$. Vậy $P(E) = P(A \cup B) = 0,5 + 0,7 - 0,3 = 0,9$.
b) Gọi $F$ là biến cố: “Người mua đó không mua cả sách A và sách B”. $F$ là biến cố đối của biến cố $E$. Vậy $P(F) = 1 - P(E) = 1 - 0,9 = 0,1$.

Bài 30. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Tính được xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lậ

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra.
– Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ một chiều trước đây.
– Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều giữa GV và HS.
– Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong hộp kiến thức, sẽ có ví dụ minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay theo Ví dụ.
– Các Hoạt động, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 – 10 phút rồi hỏi xem HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một HS. GV sẽ thực hiện việc chữa bài Hoạt động, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm đúng, GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai, GV sẽ phân tích xem sai ở đâu. Trong mọi trường hợp, việc chữa bài Luyện tập đều rất có ích cho việc củng cố kiến thức mới.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết
Tiết 1: Mục 1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Tiết 2: Mục 2. Vận dụng
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Tình huống đặt ra nhu cầu cần có công thức nhân xác suất., GV triển khai theo SGK.
1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
HĐ1, Khởi động cho việc hình thành công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập., GV cho cả lớp suy nghĩ trong thời gian 10 phút rồi chỉ định một HS lên trả lời. Gợi ý. a) Dễ thấy $P(A) = \frac{6}{10}$; $P(B) = \frac{7}{8}$. Tính $P(AB)$: $n(\Omega) = 10 \cdot 8 = 80$; $n(AB) = 6 \cdot 7 = 42$, suy ra $P(AB) = \frac{42}{80}$. b) Ta có $P(AB) = P(A)P(B)$.

Khung kiến thức, Trình bày công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập., GV triển khai theo SGK. ?, Ôn tập kiến thức hai biến cố độc lập., Dù biến cố $A$ có

$$P\left(A\right)=0,92; P\left(B\right)=0,88$. Ta có hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. a) Biến cố: “Hạt A nảy mầm, hạt B không nảy mầm” là biến cố $A\overline{B}$.$

$Số người mắc bệnh viêm phổi là: $752 + 575 = 1,327$. Số người nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi là $752$. Ta có $P(A) = \frac{1,988}{5,000}$; $P(B) = \frac{$

8.13. a) Gọi $A$ là biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh”. Gọi $A_1$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ túi I có màu xanh”, $A_2$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ túi II có màu xanh”.
Ta có $A = A_1A_2$. Hai biến cố $A_1$ và $A_2$ độc lập nên $P(A) = P(A_1)P(A_2)$.
Dễ thấy $P(A_1) = \frac{3}{10}$; $P(A_2) = \frac{10}{16}$. Suy ra $P(A) = P(A_1)P(A_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{16} = \frac{30}{160}$.
b) Gọi $B$ là biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”. Gọi $B_1$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ túi I có màu đỏ”, $B_2$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ túi II có màu đỏ”.
Ta có $B = B_1B_2$. Hai biến cố $B_1$ và $B_2$ độc lập nên
$$P(B) = P(B_1)P(B_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{16} = \frac{42}{160}.$$
c) Gọi $E$ là biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu”. Ta có $E = A \cup B$. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nên $P(E) = P(A) + P(B)$.
Vậy $P(E) = P(A) + P(B) = \frac{30}{160} + \frac{42}{160} = \frac{72}{160} = \frac{9}{20}$.
d) Gọi $F$ là biến cố: “Hai viên bi lấy ra không cùng màu”. Ta có $F = \overline{E}$.
Vậy $P(F) = P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$.
8.14. Gọi $A$ là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1”, $A_1$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không mang số 1”, $A_2$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không mang số 1”.
Ta có $A = A_1A_2$. Hai biến cố $A_1$ và $A_2$ độc lập nên $P(A) = P(A_1)P(A_2)$.
Dễ thấy $P(A_1) = P(A_2) = \frac{9}{10} = 0,9$. Vậy $P(A) = (0,9)^2$.
Gọi $B$ là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 5”. Tương tự, ta có $P(B) = (0,9)^2$.
Gọi $E$ là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1 hoặc số 5”. Ta có $E = A \cup B$.
Theo công thức cộng xác suất ta có $P(E) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
Gọi $AB$ là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1 và mang số 5”, $H_1$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không mang số 1 và mang số 5”, $H_2$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không mang số 1 và mang số 5”. Ta có $AB = H_1H_2$.
Hai biến cố $H_1$ và $H_2$ độc lập nên $P(AB) = P(H_1)P(H_2)$.

$Dễ thấy $P\left(H_{1}\right)=P\left(H_{2}\right)=\frac{8}{10}=0,8$. Từ đó $P(AB)=0,8^{2}=0,64$. Vậy $P(E)=0,81+0,81-0,64=0,98$. 8.15. Gọi $A$ là biến cố: “Học s$

Chương IX. ĐẠO HÀM
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Mục đích chính của chương này là xây dựng khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số, đạo hàm của hàm số hợp và công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Đây là công cụ và chất liệu cơ bản cho việc trình bày ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ở lớp 12, cũng như cho phép đề cập đến những ứng dụng phong phú của đạo hàm trong các bài toán thực tiễn. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản trong chương này cũng là cơ sở để xây dựng bảng các nguyên hàm cơ bản ở phần Giải tích lớp 12, là cơ sở cho việc tính nguyên hàm và tích phân.
Ngoài ra, để phục vụ việc học tập các môn học khác, chẳng hạn môn Vật lí, bên cạnh khái niệm đạo hàm cấp một, chương này còn trình bày sơ lược khái niệm và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
2 Cấu tạo chương
Tổng thời lượng: 7 tiết.
Nội dung:
Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (2 tiết)
Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết)
Bài 33. Đạo hàm cấp hai (1 tiết)
Bài tập cuối chương IX (1 tiết)
3 Một số điểm cần lưu ý
Theo tinh thần chung của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 là giảm tính hàn lâm, những bài tập nội dung thuần tuý toán về đạo hàm và đạo hàm cấp hai được giảm nhẹ nhiều. Nói riêng, theo quy định của Chương trình, SGK không đề cập đến hàm số luỹ thừa tổng quát và đạo hàm của nó, cũng như không đề cập đến đạo hàm cấp cao.
Bên cạnh việc giảm tính hàn lâm và giảm mức độ của các bài tập thuần tuý toán, một điểm mới trong SGK Toán 11 mới này là những ứng dụng thực tế của đạo hàm được nhấn mạnh. Điều này thể hiện rất rõ trong những bài toán ở Tình huống mở đầu,

Vận dụng và những bài tập thực tiễn được trình bày trong SGK. Đây có thể coi là một khác biệt cơ bản so với các SGK Toán 11 trước đây. - Theo yêu cầu của Chương trình mới, HS nên được tham gia tích cực vào các hoạt động trong bài học, từ các hoạt động hình thành kiến thức mới đến các hoạt động luyện tập, vận dụng. SGK đã cố gắng thiết kế các hoạt động tương ứng. GV chỉ nên gợi ý, hướng dẫn cho HS (nếu cần) trong các hoạt động này, hạn chế việc làm thay (hoàn toàn) cho HS. - Về hình thức dạy học:
Nếu có điều kiện thì GV nên chuẩn bị sẵn slides phần đề bài của các hoạt động. Đến
hoạt động nào thì trình chiếu yêu cầu của hoạt động đó lên cho HS theo dõi và thực hiện. Việc này vừa tiết kiệm thời gian viết bảng, vừa sinh động hơn và làm HS tập trung hơn vào yêu cầu của GV.
Với mỗi hoạt động, có thể cho HS làm việc cá nhân hoặc hoạt động nhóm (tuỳ tính
chất của hoạt động). Sau đó yêu cầu HS trình bày câu trả lời (bằng miệng, giơ bảng trả lời, viết bảng). GV nhận xét và tổng kết, đặc biệt lưu ý phương pháp giải và các sai lầm thường mắc. + Với các ví dụ đơn giản trong bài học, GV có thể để HS tự làm và chỉ gợi ý khi cần.
Tuy nhiên, với các ví dụ phức tạp hơn, thì có thể xử lí tuỳ theo trình độ chung của HS trong lớp. Nếu ở lớp HS khá, GV chỉ cần phân tích đề bài, gợi ý để HS có thể tự làm sau đó sẽ nhận xét và tổng kết phương pháp giải. Còn ở lớp với trình độ chung của HS không tốt, GV có thể chữa mẫu và phân tích kĩ cách giải (theo lược đồ 4 bước của Polya). Sau đó yêu cầu HS làm các bài tập tương tự trong phần Luyện tập, Vận dụng, GV quan sát và trợ giúp HS khi cần. - Trong mỗi bài học, các gợi ý dạy học và dự kiến thời gian tương ứng cho từng phần của bài học chỉ là một phương án đề xuất. GV có thể dựa trên kinh nghiệm giảng dạy của mình và trình độ chung của HS trong lớp để có thể có phương án hợp lí hơn, miễn là đảm bảo mục tiêu của bài học và HS được tham gia tích cực vào các hoạt động.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được định nghĩa của đạo hàm.
HÀM (2 tiết)

– Tính được đạo hàm của một số hàm số đơn giản bằng định nghĩa.
– Thiết lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.
– Vận dụng được định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.
2. Về năng lực, phẩm chất
– Rèn luyện năng lực toán học, nói riêng là năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua những bài toán thực tiễn liên quan đến khái niệm đạo hàm.
– Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày khái niệm đạo hàm ở đây và SGK Toán 11 trước đây. Tuy nhiên, theo tinh thần của Chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến khái niệm đạo hàm. Nói riêng, để giảm bớt tính hàn lâm theo tinh thần của Chương trình, chúng tôi không đưa vào các khái niệm như số gia của đối số, số gia của hàm số, mà định nghĩa trực tiếp đạo hàm $f'(x_0)$ là giới hạn hữu hạn (nếu tồn tại) $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ luôn. Hơn nữa, để thuận lợi khi xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ở Bài 33, trong Chú ý ở trang 31 chúng tôi đưa ra một cách viết khác của định nghĩa đạo hàm là $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$. Ưu điểm của cách viết này là chuyển quá trình $x \to x_0$ bất kì về quá trình $h \to 0$, là quá trình mà ta có nhiều đẳng thức giới hạn đã biết, do đó việc tính giới hạn này sẽ thuận lợi hơn trong nhiều trường hợp.
– Ở đây, cũng như trong SGK Toán 11 trước đây bộ Nâng cao, khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số (của một hàm số có đạo hàm) tại một điểm được định nghĩa một cách chặt chẽ (tức là giải thích tường minh thế nào là vị trí “giới hạn” của cát tuyến). Đó là đường thẳng đi qua điểm $(x_0; f(x_0))$ thuộc đồ thị và có hệ số góc là $k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$, tức là $k = f'(x_0)$. Điều này giúp giải thích một cách chặt chẽ ý nghĩa hình học của đạo hàm và cho ta ngay phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

– Trong phần Em có biết? ở cuối bài, SGK giới thiệu ý nghĩa tổng quát của đạo hàm là mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng biến thiên. Với HS khá giỏi, GV có thể hướng dẫn HS tìm hiểu vấn đề này.
– Chuẩn bị:
GV: Chuẩn bị thông tin về một số mô hình thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm (vận tốc tức thời, cường độ tức thời, hệ số góc của tiếp tuyến,...). Nếu có điều kiện, có thể chuẩn bị phần mềm/video minh hoạ cho sự thay đổi vị trí của cát tuyến dẫn đến vị trí tiếp tuyến tương ứng của một đồ thị.
HS: Ôn lại kiến thức và kĩ năng tính giới hạn của hàm số, đặc biệt là kĩ năng khử dạng vô định $\frac{0}{0}$. Xem lại các khái niệm vận tốc, điện lượng, phương trình chuyển động của vật rơi tự do đã được học trong Vật lí.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
Mục 2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Mục 3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Tiết 2: Mục 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Gợi ý chữa một số bài tập cuối bài học
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Tình huống mở đầu, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học., GV chỉ cần nêu tình huống để kích thích nhu cầu học tập của HS, chưa yêu cầu HS giải quyết ngay. Khi HS tiếp thu đủ lượng tri thức toán học cần thiết trong bài thì sẽ quay lại giải quyết.
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
HĐ1. Nhận biết khái niệm vận tốc tức thời của, Giới thiệu cho HS khái niệm vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ1.

một vật chuyển động thẳng
HĐ2. Nhận biết khái niệm cường độ tức thời trong Vật lí, Giới thiệu cho HS khái niệm cường độ tức thời của dòng điện., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ2. Từ đó GV cho HS thấy nhiều bài toán trong thực tế và trong khoa học dẫn đến xét cùng một kiểu giới hạn. Giới hạn đó dẫn đến khái niệm đạo hàm trong Toán học.
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Khung kiến thức, Giới thiệu khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm: Định nghĩa và kí hiệu., GV cần làm rõ các bước để tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.
Ví dụ 1, Rèn luyện cho HS kĩ năng tính đạo hàm của một hàm số đơn giản tại một điểm, dựa vào định nghĩa., Lưu ý HS thực hiện lần lượt các bước như đã hướng dẫn. Cũng lưu ý cho HS cách trình bày ngắn gọn trong thực hành và Chú ý sau Ví dụ 1, về một cách viết khác của định nghĩa đạo hàm. Cách viết này sẽ được sử dụng nhiều về sau.
Luyện tập 1, Củng cố kĩ năng tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa., HS tự làm tại lớp.
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
| HĐ3. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm tuỳ ý | Củng cố kĩ năng tính đạo hàm tại một điểm. Ưu điểm của cách xét điểm $x_0$ tuỳ ý là ta chỉ cần tính đạo hàm một lần, sau đó thay các giá trị $x_0$ cụ thể cần tính vào kết quả là xong. | Kĩ năng tính đạo hàm không khác gì khi tính đạo hàm tại một điểm cụ thể. Điều khác biệt ở đây chỉ là kết quả sẽ phụ thuộc vào điểm $x_0$ và khi $x_0$ thay đổi ta sẽ được một hàm số, gọi là đạo hàm của hàm số $f(x)$ đã cho. |

Khung kiến thức, Giới thiệu khái niệm đạo hàm $f'(x)$ của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a; b)$., Lưu ý đạo hàm của một hàm số trên một khoảng (giả thiết nó tồn tạ

Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
HĐ4. Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số, Giúp HS tìm hiểu khái niệm tiếp tuyến của một đồ thị (là “vị trí giới hạn” của cát tuyến)., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ4. GV giúp đỡ HS khi cần. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Lưu ý nhấn mạnh cho HS ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Ví dụ 4, Rèn luyện kĩ năng tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Luyện tập 3, Củng cố kĩ năng tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm., HS tự làm tại lớp.
HĐ5. Xây dựng phương trình tiếp tuyến của đồ thị, Giới thiệu cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong một trường hợp cụ thể., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ5. GV giúp đỡ HS khi cần. GV khái quát hoá lên thành công thức tổng quát trong Khung kiến thức.
Ví dụ 5, Rèn luyện kĩ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm, qua một trường hợp cụ thể., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Luyện tập 4, Củng cố kĩ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm, tính huống tương tự Ví dụ 5., HS tự làm tại lớp.
Vận dụng, Rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học, vận dụng tổng hợp kiến thức, kĩ năng trong bài học để giải quyết., Đây là tình huống để thực hiện dạy học phân hoá. Tuỳ trình độ chung của lớp học, GV chọn cách dạy phù hợp (hướng dẫn để HS tự làm, hay chữa chi tiết cho HS,...). Gợi ý. Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm $AB$, tia $Ox$ trùng với tia $OB$, tia $Oy$ hướng lên trên (như hình vẽ).

| | | Khi đó $A(-200;0)$, $B(200;0)$. Gọi chiều cao giới hạn của cầu là $h$ $(h > 0)$, suy ra đỉnh cầu có tọa độ $(0;h)$. Ta tìm được phương trình parabol của c

– Ứng dụng thực tế của đạo hàm: Bài tập 9.4, 9.5. Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong SBT và các tài liệu tham

Bài 32. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (3 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Tính được đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản: hàm luỹ thừa với số mũ nguyê

2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện năng lực toán học, nói riêng là năng lực mô hình hoá toán học và năng lực
giải quyết vấn đề toán học thông qua những bài toán thực tiễn liên quan đến đạo hàm. - Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng
tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Bài học này cung cấp các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số,
đạo hàm của hàm số hợp và công thức đạo hàm của những hàm số sơ cấp cơ bản. Sau bài học này, về nguyên tắc HS có thể tính được đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp. Một điểm khác biệt so với SGK Toán lớp 11 trước đây là ở đây trình bày cả các
công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, vì trong Chương trình mới hai loại hàm số này đã được giới thiệu ở lớp 11. - Một trong những kĩ năng quan trọng nhất của bài này là cách tính đạo hàm của hàm số
hợp. Đây là kĩ năng cực kì thiết yếu mà HS cần nắm vững. - Do tinh thần giảm tính hàn lâm của Chương trình mới, nên SGK Toán 11 không trình
bày khái niệm hàm số luỹ thừa với số mũ thực tổng quát và công thức tính đạo hàm của nó như ở SGK Toán THPT trước đây, mà chỉ trình bày công thức tính đạo hàm của hàm số = với số mũ n nguyên dương và công thức tính đạo hàm của hàm số
y x = .
GV cần lưu ý điều này khi giảng dạy và giao bài tập cho HS để không vượt quá YCCĐ của Chương trình. - Chuẩn bị: + GV: Tìm hiểu một số ứng dụng của đạo hàm trong thực tiễn và trong các môn học khác. + HS: Ôn lại cách tính đạo hàm bằng định nghĩa, cách tính giới hạn hàm số, các công
thức lượng giác và các công thức liên quan đến mũ, lôgarit.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết.
Tiết 1: Mục 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp + Tiết 1: Mục 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Tiết 2: Mục 3. Đạo hàm của hàm số hợp Mục 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác Tiết 3: Mục 5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit Gợi ý chữa một số bài tập cuối

Khung kiến thức, Giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số., GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Lưu ý ch

HD4. Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, Giúp HS nhận biết công thức đạo hàm của hàm số hợp trong một trường hợp riêng đơn giản., HS thực hiện lần lượt cá

$HD7. Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$, HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HD7. Sử dụng công thức đạo hàm của thư$

HĐ9. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, HS thực hiện yêu cầu của HĐ9. GV khái quát hoá lên thành công thức đạo hàm của hàm số hợp $y = e^u$. Ví dụ 9

– Ứng dụng thực tế của đạo hàm: Bài tập 9.11, 9.12. Tuỳ tình hình thực tế của lớp học, GV có thể lựa chọn thêm các bài tập phù hợp trong SBT và các tài liệu tha

Bài 33. Đạo hàm cấp hai I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được đạo hàm cấp hai của một hàm số. – Tính được đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn

đã cho nhờ sử dụng các quy tắc tính đạo hàm), chứ không trình bày khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số tại một điểm. Ngoài ra, theo tinh thần của Chương trì

Ví dụ 1, Rèn luyện cho HS kĩ năng tính đạo hàm cấp hai của một hàm số trong tình huống đơn giản., Lưu ý cho HS thực hiện lần lượt các bước: Đầu tiên, tính đạo h

Bài tập cuối chương IX I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị slides dạng sơ đồ hoá). GV hệ thống các dạng toán cơ bản

$9.26. a) Tập xác định của hàm số $D=(0;+\infty)$. b) $y'=\left(e^{\alpha \ln x}\right)^{\prime}=(\alpha \ln x)^{\prime} \cdot e^{\alpha \ln x}=\alpha \cdot \fra$

9.26. a) Tập xác định của hàm số $D=(0;+\infty)$.
b) $y'=\left(e^{\alpha \ln x}\right)^{\prime}=(\alpha \ln x)^{\prime} \cdot e^{\alpha \ln x}=\alpha \cdot \frac{1}{x} \cdot x^{\alpha}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}$.
9.27. Với $x>-\frac{1}{3}$, ta có $f^{\prime}(x)=\frac{(3 x+1)^{\prime}}{2 \sqrt{3 x+1}}=\frac{3}{2 \sqrt{3 x+1}}$. Như vậy $f(1)=2, f^{\prime}(1)=\frac{3}{4}$.
Vậy $g(x)=2+\left(x^{2}-1\right) \cdot 3=3 x^{2}-1 \Rightarrow g(2)=11$.
9.28. Với $x \neq 1$, ta có $f^{\prime}(x)=-\frac{2}{(x-1)^{2}}, f^{\prime \prime}(x)=\frac{4}{(x-1)^{3}}$. Vậy $f^{\prime \prime}(0)=-4$.
9.29. Ta có $f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(x^{2} f(x)\right)^{\prime}=2 x \cdot f(x)+x^{2} \cdot f^{\prime}(x)$.
Mặt khác, từ $f^{\prime}(x)=x^{2} f(x)$ suy ra $f^{\prime}(1)=1 \cdot f(1)=2$.
Do đó $f^{\prime \prime}(1)=2 f(1)+f^{\prime}(1)=6$.
9.30. Ta có $y^{\prime}=3 x^{2}+6 x$.
Do hệ số góc của tiếp tuyến là $k=f^{\prime}(1)=9$. Ngoài ra, ta có $f(1)=3$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y-3=9(x-1)$ hay $y=9 x-6$.
9.31. Ta có $y^{\prime}=-\frac{a}{x^{2}}$. Gọi $M\left(m ; \frac{a}{m}\right), m \neq 0$ là một điểm bất kì trên hypebol. Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $M$ là $y=-\frac{a}{m^{2}}(x-m)+\frac{a}{m}$ hay là $y=-\frac{a}{m^{2}} x+\frac{2 a}{m}(d)$.
Gọi $A$ là giao điểm của $(d)$ với trục hoành, khi đó $A(2 m ; 0) \Rightarrow O A=|2 m|$.
Gọi $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục tung, khi đó $B\left(0 ; \frac{2 a}{m}\right) \Rightarrow O B=\left|\frac{2 a}{m}\right|$.
Như vậy diện tích tam giác $O A B$ là $S=\frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B=\frac{1}{2} \cdot|2 m| \cdot\left|\frac{2 a}{m}\right|=2 a$ không đổi.
9.32. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng đạo hàm của hàm vị trí là hàm vận tốc, đạo hàm của hàm vận tốc là hàm gia tốc, và một hàm số đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên một khoảng nào đó nếu đạo hàm của nó dương (tương ứng âm) trên khoảng đó.

Trên hình vẽ ta thấy: Hàm số c luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm, do đó hàm số b là đạo hàm của hàm số c; hàm số b đồng biến trên khoảng

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH TRẢI NGHIỆM MỘT VÀI ÁP DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG TÀI CHÍNH (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng HS biết vận dụng kiến thức toán học,

III. GỢI Ý VỀ DẠY HỌC
Phân bố thời gian: 2 tiết.
Thực hiện: Chia lớp thành bốn nhóm và tiến hành như sau:
Bước 1. Các nhóm thảo luận cùng thực hiện HĐ1, HĐ2, HĐ3 trong bài học, dưới sự hướng dẫn của GV, để tìm hiểu các khái niệm và công thức cần thiết.
Bước 2. Dựa vào dữ liệu đã chuẩn bị và gợi ý trong các Vận dụng trong bài học, GV đặt nhiệm vụ thực tế cụ thể cho từng nhóm. Mỗi nhóm sẽ thực hiện một nhiệm vụ riêng. Các nhóm hoàn thành nhiệm vụ được giao, sau đó trình bày kết quả trước lớp.
CẤU PHẦN, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
HĐ1. Số tiền của một niên kim, Giúp HS làm quen với cách xây dựng công thức tính số tiền của một niên kim, qua một trường hợp cụ thể., GV nêu tình huống, yêu cầu HS thực hiện lần lượt các yêu cầu a), b), c). GV cần giải thích rõ cho HS thế nào là niên kim. Sau đó gợi ý cho HS quan sát các công thức nhận được trong các phần a), b), c) và khái quát hoá để được công thức tính số tiền của một niên kim tổng quát trong Khung kiến thức 1. Cần lưu ý cho HS là thực tế ngân hàng thường cho lãi suất năm và ta phải xác định số kì $n$ tính lãi trong năm và lãi suất $i$ của mỗi kì.
HĐ2. Nhận biết giá trị hiện tại của một niên kim, Giúp HS làm quen với cách xây dựng công thức tính số tiền hiện tại của một niên kim, qua một trường hợp cụ thể., GV nêu tình huống, yêu cầu HS thực hiện lần lượt các yêu cầu a), b). Sau đó gợi ý cho HS quan sát các công thức nhận được trong các phần a), b) và khái quát hoá để được công thức tính giá trị hiện tại của một niên kim trong Khung kiến thức 2.
HĐ3. Nhận biết công thức liên quan đến vay trả góp, Giúp HS làm quen với cách tính giá trị hiện tại của một khoản vay trả góp, qua một trường hợp cụ thể., GV nêu tình huống, yêu cầu HS thực hiện lần lượt yêu cầu trong HĐ3. GV cần giải thích rõ cho HS thế nào là vay trả góp. Sau đó gợi ý cho HS khái quát hoá để được công thức tính số tiền của mỗi khoản thanh toán của một khoản vay trả góp trong Khung kiến thức 3.

Lực căng mặt ngoài của nước I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Thực hiện được hoạt động thu thập số liệu ghép nhóm khi việc thu thập được chính xác số liệu có

Có thể thay vì dùng giấy bóng kính, HS có thể dùng tấm nhựa trong suốt, hay những vật dụng khác thích hợp. – Tờ giấy có dòng kẻ chia centimét và đánh số giúp vi

MỘT VÀI MÔ HÌNH TOÁN HỌC SỬ DỤNG HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (1 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng HS vận dụng được kiến thức về hàm số mũ và hàm số lôg

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1. Chuẩn bị trước khi lên lớp
Đối với GV: Dựa vào các thông tin trong SGK và các tài liệu liên quan, tìm hiểu về một
số ứng dụng của hàm số mũ và hàm số lôgarit trong những vấn đề thực tế và khoa học kĩ thuật. Sưu tầm những số liệu thực tế liên quan. Từ đó thiết kế các nhiệm vụ thực tế phù hợp để giao cho từng nhóm HS. - Đối với HS: Ôn tập lại các kiến thức về hàm số mũ và hàm số lôgarit. Chuẩn bị máy
tính cầm tay.
2. Những điểm cần lưu ý
Mô hình tăng trưởng (hoặc suy thoái cấp mũ) diễn tả những hiện tượng tăng trưởng
(hoặc suy thoái) tự do, không bị giới hạn.
Thang đo lôgarit thường được sử dụng để đo những đại lượng vật lí hoặc hoá học mà giá trị của nó thay đổi trong một phạm vi rất lớn. Khi đó người ta lấy lôgarit giá trị của đại lượng đó để được một bộ số dễ quản lí hơn.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
Thời lượng: 1 tiết. Thực hiện: Chia lớp thành bốn nhóm và có thể tiến hành như sau: Bước 1. Phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng nhóm:
Nhóm 1 tìm hiểu về mô hình tăng trưởng hoặc suy thoái cấp mũ. + Nhóm 2 tìm hiểu về thang đo pH. + Nhóm 3 tìm hiểu về thang độ Richter. + Nhóm 4 tìm hiểu về thang đo decibel. Các nhóm tự thảo luận nội dung tương ứng trong SGK, dưới sự hướng dẫn của GV, để tìm hiểu các khái niệm và công thức cần thiết. Bước 2. Dựa vào dữ liệu đã chuẩn bị và gợi ý trong các Vận dụng trong bài học, GV đặt nhiệm vụ thực tế cụ thể cho từng nhóm. Mỗi nhóm sẽ thực hiện một nhiệm vụ riêng. Các nhóm hoàn thành nhiệm vụ được giao, sau đó trình bày kết quả trước lớp. Để hiệu quả, GV có thể giao nội dung và nhiệm vụ cần thực hiện cho các nhóm trước để HS có thời gian tìm hiểu và tra cứu các thông tin cần thiết. Đến giờ thực hành trải nghiệm thì các em sẽ trao đổi, thảo luận nhóm để chuẩn bị bản báo cáo thực hiện nhiệm vụ và thuyết trình trước lớp.

HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 1. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG HOẶC SUY THOÁI CẤP MŨ Nhóm 1, Giúp HS làm quen với ứng dụng của hàm số mũ trong một vài mô

Hoạt động thực hành trải nghiệm Hình học I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng HS vận dụng được các kiến thức hình học tương ứng trong việc tạo lập hình không gi

Chẳng hạn, sau đây là hình trải của một số hình: (Hình trải của thùng hình hộp chữ nhật không có nắp) (Hình trải của thùng hình lăng trụ lục giác đều không có n

Bài tập ôn tập cuối năm I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống hoá kiến thức lí thuyết (nếu có điều kiện, nên chuẩn bị bài trình chiếu ở dạng sơ đồ hoá để HS dễ tiếp thu)

$Vì $t \in [0;2]$ nên $k = 0$ và $k = 1$. Vậy trong vòng 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t = 0{,}5$ giây và $t = 2$ g$

Vì $t \in [0;2]$ nên $k = 0$ và $k = 1$. Vậy trong vòng 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t = 0{,}5$ giây và $t = 2$ giây.
b) Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 m khi
$h = 2 \Leftrightarrow 3\left|\cos\left[\dfrac{\pi}{3}(2t - 1)\right]\right| = 2 \Leftrightarrow \cos^2\left[\dfrac{\pi}{3}(2t - 1)\right] = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow \cos\left[\dfrac{2\pi}{3}(2t - 1)\right] = -\dfrac{1}{9}.$
Suy ra $t = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{3}{4\pi}\arccos\left(-\dfrac{1}{9}\right) + \dfrac{3k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Vì $t \in [0;2]$ nên $t \approx 0{,}10$ giây; $t \approx 0{,}90$ giây và $t \approx 1{,}60$ giây.
23. Theo giả thiết ta có $u_4 = u_1q^3$ và $u_7 = u_1q^6$. Mặt khác vì ba số $u_1, u_4$ và $u_7$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai $d$ nên ta có:
$\begin{cases} u_4 = u_1q^3 = u_1 + d \ u_7 = u_1q^6 = u_1 + 9d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_1(q^3 - 1) = d \ u_1(q^6 - 1) = 9d. \end{cases}$
Do $d \neq 0$ nên $9 = \dfrac{9d}{d} = \dfrac{u_1(q^6 - 1)}{u_1(q^3 - 1)} = q^3 + 1 \Leftrightarrow q^3 = 8 \Leftrightarrow q = 2$.
24. a) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng A là $u_2 = u_1 + 10 = 210$ triệu đồng.
Lương năm thứ 3 theo hợp đồng A là $u_3 = u_2 + 10 = 220$ triệu đồng.
Ta thấy $(u_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 200$ và công sai $d = 10$ nên
$u_n = u_1 + (n - 1)d = 200 + 10(n - 1) = 10n + 190.$
Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là
$S_5(A) = u_1 + u_2 + \dots + u_5 = 5u_1 + \dfrac{5 \cdot 4}{2} \cdot d = 5 \cdot 200 + \dfrac{5 \cdot 4}{2} \cdot 10 = 1,100$ triệu đồng.
b) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng B là
$v_2 = v_1 + v_1 \cdot 5% = v_1 \cdot 1{,}05 = 180 \cdot 1{,}05 = 189$ triệu đồng.
Lương năm thứ 3 theo hợp đồng B là
$v_3 = v_2 + v_2 \cdot 5% = v_2 \cdot 1{,}05 = 189 \cdot 1{,}05 = 198{,}45$ triệu đồng.
Ta thấy $(v_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $v_1 = 180$ và công bội $q = 1{,}05$ nên
$v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 180 \cdot 1{,}05^{n-1}.$

$Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là $S_{5}(B)=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{5}$

Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là
$S_{5}(B)=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{5}=v_{1} \cdot \frac{q^{5}-1}{q-1}=180 \cdot \frac{1,05^{5}-1}{1,05-1} \approx 994,6$ triệu đồng.
c) Lương hằng năm theo hợp đồng B vượt hợp đồng A nếu
$v_{n}>u_{n} \Leftrightarrow 180 \cdot 1,05^{n-1}>10 n+190 \Leftrightarrow 18 \cdot 1,05^{n-1}>n+19$.
Ta thấy $n=13$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn bất phương trình này. Vậy từ năm thứ 13 trở đi thì lương hằng năm theo hợp đồng B sẽ cao hơn lương hằng năm theo hợp đồng A.
25. a) Ta có $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+3+5+\ldots+(2 n-1)}{n^{2}+2 n+3}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+2 n+3}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}=1$.
b) Ta có $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots+\frac{2^{n}}{3^{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$.
c) Ta có $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{2}+3 x-2}{x^{2}-4}=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(2 x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x-1}{x-2}=\frac{5}{4}$.
d) Ta có
$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+x+1}+2 x\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4 x^{2}+x+1}-2 x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{|x| \sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2 x} \ = & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{-x \sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2 x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2}=-\frac{1+0}{-\sqrt{4+0+0}-2}=-\frac{1}{4} . \end{aligned}$
26. a) Ta có $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+4 x+3}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1}(x+3)=2$.
Hàm số liên tục tại điểm $x=-1 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1) \Leftrightarrow m^{2}=2 \Leftrightarrow m= \pm \sqrt{2}$.
b) Rõ ràng hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm $x \neq 1$.
Tại điểm $x=1$, ta có:
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{3}-x^{2}+2 x-2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)\left(x^{2}+2\right)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(x^{2}+2\right)=3$.

$$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (2x + m) = 2 + m$ và $f(1) = 2 + m$. Hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x \to$

$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (2x + m) = 2 + m$ và $f(1) = 2 + m$.
Hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ khi và chỉ khi
$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1.$
Vậy với $m = 1$ thì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.
27. a) Ta có $3^{\frac{1}{x}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \log_3 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\log_3 4} \Leftrightarrow x = \log_4 3$.
b) Ta có $2^{x^2 - 3x} = 4 \Leftrightarrow 2^{x^2 - 3x} = 2^2 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ hoặc $x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.
c) Điều kiện $x > 3$. Với điều kiện này ta có:
$\log_4 (x + 1) + \log_4 (x - 3) = 3 \Leftrightarrow \log_4 (x + 1)(x - 3) = 3 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 3) = 4^3$.
Từ đó ta được $x^2 - 2x - 67 = 0 \Leftrightarrow x = 1 + 2\sqrt{17}$ hoặc $x = 1 - 2\sqrt{17}$.
Loại $x = 1 - 2\sqrt{17} < 3$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1 + 2\sqrt{17}$.
d) Ta có
$\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2 - 2x} \ge \frac{1}{125} \Leftrightarrow \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2 - 2x} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^3 \Leftrightarrow x^2 - 2x \le 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 3$.
e) Ta có $(2 - \sqrt{3})^x \le (2 + \sqrt{3})^{x+2} \Leftrightarrow (2 + \sqrt{3})^{-x} \le (2 + \sqrt{3})^{x+2} \Leftrightarrow -x \le x + 2 \Leftrightarrow x \ge -1$.
f) Ta có $\log(3x^2 + 1) > \log(4x) \Leftrightarrow 3x^2 + 1 > 4x > 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x + 1 > 0$ và $x > 0$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left(0; \frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty)$.
28. a) Dung dịch có nồng độ ion hydrogen là $0,1$ mol/lít sẽ có độ pH bằng: $pH = -\log 0,1 = 1$.
b) Vì hàm số $y = \log x$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$, nên hàm số $y = -\log x$ nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Suy ra, nếu nồng độ ion hydrogen giảm thì độ pH sẽ tăng.
c) Ta có $pH = 4,5 \Leftrightarrow \log[H^+] = -4,5 \Leftrightarrow [H^+] = 10^{-4,5}$.
29. a) Ta có $y' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$. Vậy $y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
b) Ta có $y' = \frac{(1 + 2x - x^2)'}{2\sqrt{1 + 2x - x^2}} = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{1 + 2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{1 + 2x - x^2}}$.

$c) Ta có $y' = \frac{\left(\frac{x}{2}\right)'}{\cos^2\frac{x}{2}} - \left(-\frac{-\left(\frac{x}{2}\right)'}{\sin^2\frac{x}{2}}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\co$

$33. a) Vì $MN \parallel BC$ và $(A'MN) \cap (ABC) = HK$ $\Rightarrow HK \parallel BC \Rightarrow MN \parallel HK.$ Cách khác: Chứng minh $BC$ là đường trung bìn$

$Cách 1: Theo công thức cộng, ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}85 + 0{,}9 - 0{,}765 = 0{,}985.$ Cách 2: Biến cố đối của biến cố “Cả hai bạn đều kh$

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam xin trân trọng cảm ơn các tác giả có tác phẩm, tư liệu được sử dụng, trích dẫn trong cuốn sách này. Chịu trách nhiệm xuất bản: Ch

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi