Ta có: O ∈ MN

=> MN = MO + ON (*)

Vì BO là tia phân giác của \(\hat{ABC}\)

=> \(\hat{MBO}=\hat{OBC}\)

Ta lại có: MN//BC hay MO//BC

=> \(\hat{MOB}=\hat{OBC}\) (hai góc so le trong)

=> \(\hat{MBO}=\hat{MOB}\left(=\hat{OBC}\right)\)

=> ∆MBO cân tại M

=> MO = MB (1)

Lại có: CO là tia phân giác của \(\hat{ACB}\)

=> \(\hat{NCO}=\hat{OCB}\)

Ta có: MN//BC hay ON//BC

=> \(\hat{NOC}=\hat{OCB}\) (hai góc so le trong)

=> \(\hat{NCO}=\hat{NOC}\left(=\hat{OCB}\right)\)

=> ∆NCO cân tại N

=> ON = NC (2)

Thay (1)(2) vào (*), ta được:

MN = MB + NC (đpcm)

Xét ∆ABC, có:

AB = AC = 3cm (đề bài)

=> ∆ABC cân tại A

=> \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (tam giác cân thì hai cạnh đáy bằng nhau)

Ta có:

+) MD//AC => MD//AE (vì E ∈ AC)

+) ME//AB => ME//AD (vì D ∈ AB)

Xét tứ giác ADME, có:

MD//AE

ME//AD

=> Tứ giác ADME là hình bình hành

=> \(\begin{cases}ME=AD\\ AE=DM\end{cases}\)

Mà MD//AC => \(\hat{DMB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

Mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (cmt)

=> \(\hat{ABC}=\hat{DMB}\)

=> ∆MDB cân tại D

=> MD = BD

Chu vi tứ giác ADME là:

C = AD + DM + ME + EA

=> C = AD + BD + AD + BD

=> C = 2.(AD+BD)

Vì D ∈ AB => AD + BD = AB = 3cm

=> C = 2 . AB

=> C = 2 . 3

=> C = 6cm

Vậy chu vi tứ giác ADME là 6cm

31,55 + 30,78 - 21,55 - 10,78

= (31,55 - 21,55) + (30,78 - 10,78)

= 10 +20

= 30

Đặt \(A=\left(1-\frac12\right)\cdot\left(1-\frac13\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)

=> \(A=\frac12\cdot\frac23\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n+1}\)

=> \(A=\frac{1}{n+1}\)

Hình câu 8:

\(A=5x^2+y^2+2xy+8x+4y+2031\)

\(\Leftrightarrow A=\left(y^2+2xy+4y\right)+5x^2+8x+2031\)

\(\Leftrightarrow A=\left\lbrack y^2+2y\left(x+2\right)+\left(x+2\right)^2\right\rbrack-\left(x+2\right)^2+5x^2+8x+2031\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+y+2\right)^2-\left(x^2+4x+4\right)+5x^2+8x+2031\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+y+2\right)^2+4x^2+4x+2027\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+y+2\right)^2+\left(4x^2+4x+1\right)+2026\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)^2+\left(2x+1\right)^2+2026\)

Ta có: \(\begin{cases}\left(x+y+2\right)^2\ge0\\ \left(2x+1\right)^2\ge0\end{cases}\forall x,y\in R\)

=> \(\left(x+y+2\right)^2+\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x,y\)

=> \(\left(x+y+2\right)^2+\left(2x+1\right)^2+2026\ge0+2026\)

=> \(A\ge2026\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\begin{cases}2x+1=0\\ x+y+2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=-\frac32\end{cases}\)

Vậy min A = 2026 khi \(x=-\frac12\) và \(y=-\frac32\)

Hình câu 1:

Hình câu 2:

\(-\frac{25}{35}\times\frac56<x<\left(-2\right)^2\) (x∈Z)

=> \(-\frac57\times\frac56<x<4\)

=> \(-\frac{25}{42}<x<4\)

=> \(-0,59<x<4\)

=> x∈{0;1;2;3} (tmđk)

Vậy các số nguyên x cần tìm là: 0,1,2,3

Gọi số áo phân xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc áo, x>0)

Gọi thời gian phân xưởng dự định hoàn thành là y (ngày, x>8)

Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may 60 chiếc áo

=>x = 60y

=>x-60y=0 (1)

Tổng số quần áo phân xưởng đã may được là x+240 (chiếc)

Thời gian phân xưởng làm việc là y-8 (ngày)

Vì thực tế mỗi ngày phân xưởng may được 120 chiếc áo

=>x+240=120(y-8)

=>x+240=120y-960

=>x-120y=-1200 (2)

Từ (1)(2)=>\(\begin{cases}x-60y=0\\ x-120y=-1200\end{cases}\)

Lấy (1) - (2), có:

(x-60y)-(x-120y)=0-(-1200)

=>60y=1200

=>y=20

Thay y=20 vào (1), có:

x-60.20=0

=>x=1200 (TM)

Vậy theo kế hoạch, phân xưởng phải may 1200 chiếc áo.

Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h, x>0)

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 30km/h nên vận tốc của ô tô là x+30 (km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \(\frac{200}{x}\) (giờ)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{200}{x+30}\) (giờ)

Vì ô tô đến B sớm hơn xe máy 6 giờ

=> \(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+30}=6\)

=> \(\frac{200\left(x+30\right)-200x}{x\left(x+30\right)}=\frac{6x\left(x+30\right)}{x\left(x+30\right)}\)

=> \(200x+6000-200x=6x^2+180x\)

=> \(6x^2+180x-6000=0\)

=> \(x^2+30x-1000=0\)

=> \(x^2+50x-20x-1000=0\)

=> \(x\left(x+50\right)-20\left(x+50\right)=0\)

=> \(\left(x-20\right)\left(x+50\right)=0\)

=> \(\left[\begin{array}{l}x=20\left(TM\right)\\ x=-50\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Vận tốc của xe máy là 20km/h

Vận tốc cảu ô tô là 20 + 30 = 50km/h