• (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6)
• = 11 + 11 + 11 + 11 + 11
• = 11 × 5 = 55

• Thay số vào công thức: $\frac{(1 + 10) \times 10}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Thứ Hai (ngày trong tuần): Monday

Phiên âm: /ˈmʌn.deɪ/

Phiên âm: /ˈmʌn.deɪ/

• $x_1 + x_2 = kb \implies x_2 = kb - a \in \mathbb{Z}$
• $x_1 \cdot x_2 = b^2 - k \implies x_2 = \frac{b^2 - k}{a}$

• Nếu $x_2 = 0 \implies b^2 - k = 0 \implies k = b^2$, khi đó $k$ là một số chính phương (mâu thuẫn với giả thiết phản chứng).
• Nếu $x_2 < 0 \implies x_2 \le -1$. Thay $x_2$ vào vế trái của phương trình bậc hai:
  $$x_2^2 - (kb)x_2 + (b^2 - k) \ge (-1)^2 - kb(-1) + b^2 - k = 1 + b^2 + k(b - 1)$$Do $b \ge 1$ nên $b - 1 \ge 0$, suy ra $1 + b^2 + k(b - 1) \ge 1 + b^2 > 0$. Vế trái luôn dương, vô lý vì $x_2$ là nghiệm.

• Phát triển nông nghiệp, đô thị, giao thông
• Phát triển công nghiệp
• Khai thác khoáng sản

• Phát triển du lịch, thủy điện, chăn nuôi
• Trồng cây công nghiệp lâu năm
• Khai thác khoáng sản
  (Địa hình núi cao còn gặp khó khăn: Giao thông khó khăn, Ít thuận lợi cho sản xuất)

• Xây dựng cảng biển, đánh bắt hải sản
• Phát triển du lịch
• Phát triển công nghiệp (hoặc giao thông hàng hải)

Trường hợp 1: $x, y, z$ đôi một khác số dư khi chia cho 3 (lần lượt nhận các số dư là 0, 1, 2 theo một thứ tự nào đó).

• • Tổng $S = x + y + z \equiv 0 + 1 + 2 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. Hiệu của hai số bất kỳ đều không chia hết cho 3, dẫn đến $P = (x-y)(y-z)(z-x) \not\equiv 0 \pmod 3$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $P = S$. Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.

• Trường hợp 2: Có ít nhất hai số trong $x, y, z$ có cùng số dư khi chia cho 3.
• • Không mất tính tổng quát, giả sử $x \equiv y \pmod 3$.
  • Suy ra $(x - y) \vdots 3 \implies P = (x-y)(y-z)(z-x) \vdots 3$.
  • Do $S = P$ nên $S = x + y + z \vdots 3$.
  • Thế $y \equiv x \pmod 3$ vào biểu thức $S \equiv 0 \pmod 3$:
    $$x + x + z \equiv 0 \pmod 3 \implies 2x + z \equiv 0 \pmod 3 \implies z \equiv -2x \equiv x \pmod 3$$
  • Như vậy, cả ba số đều có cùng số dư khi chia cho 3: $x \equiv y \equiv z \pmod 3$.

• $x - y = 3k_1$ với $k_1 \in \mathbb{Z}$
• $y - z = 3k_2$ với $k_2 \in \mathbb{Z}$
• $z - x = 3k_3$ với $k_3 \in \mathbb{Z}$

• Phép cộng và phép trừ ($\overline{ab} + c = \overline{de}$ hoặc $\overline{ab} - c = \overline{de}$):Vì $\overline{ab}$ và $c$ đều là số lẻ, nên tổng hoặc hiệu của hai số lẻ luôn là một số chẵn. Khi đó chữ số tận cùng $e$ phải là số chẵn $\rightarrow$ Loại (vì cả 5 chữ số đều phải là số lẻ).
• Phép nhân ($\overline{ab} \times c = \overline{de}$):Xét các trường hợp cho chữ số $c$:
  
• • $c = 1$: Khi đó $\overline{ab} = \overline{de} \rightarrow$ Loại (lặp lại chữ số).
  • $c = 5$: Tích của một số lẻ với 5 luôn có tận cùng là 5 $\rightarrow e = 5$, trùng với $c = 5 \rightarrow$ Loại.
  • $c = 7$ hoặc $c = 9$: Số hai chữ số nhỏ nhất gồm các chữ số lẻ là 13, mà $13 \times 7 = 91$ (lặp chữ số 1) và $15 \times 7 = 105$ (ra số 3 chữ số) $\rightarrow$ Loại.
  • $c = 3$: Thử lập $\overline{ab}$ từ các chữ số lẻ còn lại $\{1, 5, 7, 9\}$:
    
  • • $15 \times 3 = 45$ (có chữ số chẵn 4 $\rightarrow$ Loại)
    • $17 \times 3 = 51$ (lặp chữ số 1 $\rightarrow$ Loại)
    • $19 \times 3 = 57$ (chứa đúng 5 chữ số lẻ phân biệt: $1, 9, 3, 5, 7 \rightarrow$ Thỏa mãn)
• Phép chia ($\overline{ab} : c = \overline{de}$):Tương tự phép nhân, ta có phép tính ngược lại là $57 : 3 = 19$.

• Phép tính nhân: $19 \times 3 = 57$ (ứng với $a=1, b=9, c=3, d=5, e=7$)
• Phép tính chia: $57 : 3 = 19$ (ứng với $a=5, b=7, c=3, d=1, e=9$)

• Nếu $n$ là số tự nhiên ($n \in \mathbb{N}^*$):$n \in \text{Ư}(7) = \{1; 7\}$$\Rightarrow n \in \{1; 7\}$
• Nếu $n$ là số nguyên ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$):$n \in \text{Ư}(7) = \{-7; -1; 1; 7\}$$\Rightarrow n \in \{-7; -1; 1; 7\}$

Sửa lại đề bài là phải chia hết cho 13. Lời giải mới như sau:

• Số hạng thứ nhất: $1001 \cdot \overline{abc}$Do $1001 = 13 \times 77$ nên $1001 \ \vdots \ 13$, kéo theo $1001 \cdot \overline{abc} \ \vdots \ 13$.
• Số hạng thứ hai: $(\overline{abc} - \overline{def})$Theo giả thiết, $(\overline{abc} - \overline{def}) \ \vdots \ 13$.