Bài 1 [ĐS] :Cho \(x , y > 0\) thỏa mãn:

\(x + y = 1\)

a) Chứng minh:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + x^{2} + y^{2}\)

Bài 2 [HH] : Cho tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B < A C\), nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng tứ giác \(B H O C\) nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\). Chứng minh rằng \(A M \bot O H\).

c) Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\). Chứng minh rằng \(D , H , M\) thẳng hàng.

Bài 3 [XS] :Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh (các viên giống nhau về kích thước, chỉ khác màu). Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi (không hoàn lại).

a) Tính xác suất để 2 viên lấy ra cùng màu.

b) Biết rằng trong 2 viên lấy ra có ít nhất 1 viên đỏ, tính xác suất để cả 2 viên đều đỏ.

hai

làm / cách thực hiện :

1. Bật công tắc A trong vài phút (để bóng nóng lên), rồi tắt A.
2. Bật công tắc B.
3. Giữ công tắc C tắt.
4. Đi vào phòng (chỉ 1 lần).

quan sát trong phòng :

• Bóng đang sáng → thuộc công tắc B
• Bóng tắt nhưng còn ấm/nóng → thuộc công tắc A
• Bóng tắt và nguội → thuộc công tắc C

a) CMHN nội tiếp

• \(H M \bot A C\) ⇒ \(\angle C M H = 90^{\circ}\)
• \(H N \bot B C\) ⇒ \(\angle C N H = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle C M H = \angle C N H\)

👉 \(C , M , H , N\) cùng thuộc một đường tròn.

b)

(1) ΔNMC ∼ ΔABC

• \(\angle N M C = \angle A B C\) (cùng phụ với góc vuông)
• \(\angle N C M = \angle A C B\) (chung đỉnh C)

👉 Δ\(N M C sim A B C\)

(2) \(H P / / M N\)

• \(I , K\) là trung điểm ⇒ \(I N , K M\) là các đường trung tuyến trong cấu hình chiếu
• Từ đồng dạng ⇒ tỉ số chia tương ứng

⇒ \(P = I N \cap K M\) nằm sao cho \(H P\) song song \(M N\)

👉 \(H P / / M N\)

c) Max \(M K^{2} + N I^{2}\)

Ta có:

• \(K , I\) là trung điểm ⇒ liên hệ với định lý trung điểm + hình chiếu
• Biến đổi (hoặc dùng tọa độ) được:

\(M K^{2} + N I^{2} = \frac{1}{2} \left(\right. A C^{2} + B C^{2} \left.\right) - \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\)

Mà:

\(AC^2+BC^2=AB^2\textrm{ }\Longleftrightarrow\textrm{ }\triangle ABC\text{ vuông tại C }\)

⇒ biểu thức lớn nhất khi \(A C^{2} + B C^{2}\) lớn nhất
⇒ khi C là điểm chính giữa cung (đỉnh cao nhất)

👉 Khi đó \(C H\) lớn nhất (C đối xứng qua O)

1. A, M, C, O đồng viên

AM,CM là tiếp tuyến ⇒ OA⊥AM, OC⊥CM

⇒ ∠OAM=∠OCM=90

∘

⇒ A,C cùng thuộc đường tròn đường kính OM

👉 A,M,C,O đồng viên.

2. Chứng minh JB=JH và ∠MDH=∠MOB

JB=JH

NA=NB ⇒ ON là trung trực AB ⇒ K là trung điểm AB

ON cắt BH tại J ⇒ J nằm trên trục đối xứng của ABH

👉 JB=JH

∠MDH=∠MOB

MD là tiếp tuyến, DB là dây

⇒ ∠MDH=∠MCB (góc tiếp tuyến–dây)

∠MCB chắn cung MB, còn ∠MOB là góc ở tâm chắn cùng cung

👉 ∠MDH=∠MOB

3. Chứng minh E,I,J thẳng hàng

E là trung điểm BD

DI là đường kính ⇒ I thuộc trung trực BD

Từ trên: JB=JH ⇒ suy ra J cách đều B,D

👉 J thuộc trung trực BD

⇒ E,I,J thẳng hàng

Gọi năng suất 1 giờ của Hoa là \(x\), Mai là \(y\).

Ta có:

Thế vào:

Kết quả: Hoa \(25\) sp/giờ, Mai \(28\) sp/giờ.

haiiii

= 216 nha bn

Trong cuộc sống, sự đồng cảm giữa con người với con người có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Đồng cảm là khả năng hiểu, chia sẻ và cảm nhận được những vui buồn, khó khăn của người khác như chính mình. Khi có sự đồng cảm, con người sẽ xích lại gần nhau hơn, tạo nên những mối quan hệ chân thành và ấm áp. Đồng cảm giúp ta biết lắng nghe, biết đặt mình vào hoàn cảnh của người khác để không vội phán xét hay làm tổn thương họ. Trong những lúc khó khăn, một lời động viên hay một hành động quan tâm nhỏ bé cũng có thể tiếp thêm sức mạnh lớn lao cho người khác. Không chỉ vậy, đồng cảm còn góp phần xây dựng một xã hội nhân văn, đoàn kết và giàu tình yêu thương. Nếu thiếu đi sự đồng cảm, con người dễ trở nên thờ ơ, lạnh lùng và xa cách nhau hơn. Vì vậy, mỗi chúng ta cần rèn luyện lòng đồng cảm bằng cách quan tâm nhiều hơn đến những người xung quanh, biết sẻ chia và giúp đỡ khi có thể. Đồng cảm không chỉ làm đẹp tâm hồn mỗi người mà còn làm cho cuộc sống trở nên ý nghĩa và tốt đẹp hơn.

Ta có phương trình:

Vi-ét:

Điều kiện:

Thay \(x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) - x_{1}\) ⇒ rút gọn được:

Đặt \(t = \sqrt{x_{1}}\):

Thay vào phương trình gốc:

Kết luận: \(\boxed{m = - 1}\)