Đồ thị P của hàm số y=\(2x^2\)

a, vẽ Parabol (P) y=\(x^2\)

Lập bảng giá trị

\(\frac{x}{y=x^2}\frac{-2}{4}\frac{-1}{1}\) \(\frac00\frac11\frac24\)

b, Phương trình hoành độ giao điểm của P và d

\(x^2=-x-m+1\)

\(\lrArr x^2+x+m-1=0\)

Tìm điều kiện để có hai điểm phân biệt

∆ = \(b^2-4ac=1^2-4\left(m-1\right)=1-4m+4=5-4m\)

∆> 0 \(\lrArr5-4\) > 0 \(m\) < \(\frac54\)

Áp dụng công thức Vi-ét

X1+x2 = -1

X1.x2 = m -1

Giải điều kiện

( X1 - x2 \()^2\) = \(2^2\)

\(\lrArr\left(x1+x2\right)^2-4x1x2=4\)

Thay giá trị Vi-ét

\(\left(-1\right)^2-4\left(m-1\right)=4\)

\(\lrArr1-4m+4=4\)

\(\lrArr1-4m=0\) \(\lrArr m=\frac14\)

Vậy giá trị của m cần tìm là

b,Vẽ đồ thị(P) y=\(\frac12x^2\)

Bảng giá trị

\(\frac{x}{y\frac12x^2}\frac{-4}{8}\frac{-2}{2}\) \(\frac00\frac22\frac48\)

a, phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

\(\frac12x^2=x+\frac12\) \(m^2+m+1\)

Nhân hai vế với hai để làm gọn

\(x^2=2x+m^2+2m+2\)

\(\lrArr x^2-2x-\left(m^2+2m+2\right)=0\)

Điều kiện để cắt (d) và (P) tại hai điểm phân biệt

∆' =\(\left(-1\right)^2-1\) . [-(\(m^2+2m+2\) )] \(=1+m^2+2m+2=m^2+2m+3\)

Ta thấy \(m^2+2m+3=\left(m+1\right)^2+2\)

Vì \(\left(m+1\right)^2\ge0\) với mọi m, nên \(\left(m+1\right)^2+2\ge2\) >0 với mọi m

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

Áp dụng công thức Vi-ét

X1 + x2 = \(\frac{-b}{a}=2\)

X1x2 = \(\frac{c}{a}=-\left(m^2+2m+2\right)\)

Giải

\(\left(2\right)^2-2\left\lbrack-\left(m^2+2m+2\right)\rbrack=68\right\rbrack\)

\(4+2\left(m^2+2m+2\right)+68\)

\(2\left(m^2+2m+2\right)=64\) \(m^2+2m+2=32\)

\(m^2+2m-30=0\)

Giải phương trình bậc hai theo m

∆'m = \(1^2-1\) .\(\left(-30\right)=30\) >0

Nghiệm của phương trình là

M-1 = -1 + \(\sqrt{31}\) và n2 = -1-\(\sqrt{31}\)

Vậy

M = -1±

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d): y=2x -3m và (P)

\(x^2=2x-3m\lrArr x^2+3m=0\left(*\right)\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 phương trình \(\left(*\right)\) phải có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với

∆' > 0 \(\lrArr\left(-1\right)^2-1\) .3m > 0 \(\lrArr1-3m\lrArr m\) < \(\frac13\)

Theo hệ thức Vi-ét

X1 +x2 = 2

X1 x2 = 3m

Điều kiện

Phân phối x2 vào ngoặc x1x\(\frac22\) - 3mx2 - 2x1x2 =12

Thấy 3m = x1x2 vào biểu thức x1x\(\frac22\) -(x1x2)x2 - 2x1x2 = 12

X1x\(\frac22\) -x1\(\frac22\) -2x1x2 =12

-2x1x2 =12 \(\lrArr\) x1x2 = -6

Kết quả

3m = -6 \(\lrArr\) m = -2

a, vẽ Parabol (P)

Để vẽ (P) y\(=x^2\) ta lập bảng giá trị

\(\frac{x}{y=x^2}\frac{-2}{4}\frac{-1}{1}\frac00\) \(\frac11\frac24\)

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ Ở(0;0) nhận trục tung Oy làm đối xứng và bề lõm hướng lên trên

b, khi m = 2 tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

Với m = 2 phương trình đường thẳng (d) trở thành y = 2x + 3

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

\(x^2=2x+3\lrArr x^2-2x-3=0\)

Ta thấy phương trình có dạng à - b + có = 1 - (-2) + (-3) = 0 nên có 2 nghiệm

X1 = -1 \(\rArr y1=\left(-1\right)^2=1\)

X2 = \(-\frac{c}{a}=3\rArr y2=3^2=9\)

Vậy toạ độ giao điểm là (-1:1)và (3;9)

c , tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn \(\frac{1}{x1}+\frac{1}{x2}=\frac32\)

Điều kiện cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm \(x^2\) = MX +3 \(\lrArr\) MX -3 =0 \(\left(*\right)\)

Vì a . c = 1 . (-3) = -3< 0 nên phương trình \(\left(*\right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1,x2 với mọi m . Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Lưu ý vì x1 x2 trái dấu nên x1 x2 \(\ne\) 0 biểu thức \(\frac{1}{x1}+\frac{1}{x2}\) luôn xác định

Áp dụng công thức Vi-ét

\(\begin{cases}x1+x2=m\\ x1x2=-3\end{cases}\)

Giải phương trình điều kiện

Theo đề bài \(\frac{1}{x1}+\frac{1}{x2}=\frac32\lrArr\frac{x1+x2}{x1x2}\) \(=\frac32\)

Thấy các giá trị từ hệ thức Vi-ét vào

\(\frac{m}{-3}=\frac32\rArr2m=-9\rArr m=-\frac92\)

Kết luận giá trị cần tìm là m = -4.5

a, Vẽ Parabol (P)

Để vẽ đồ thị (P) y\(=2x^2\) ta lập bảng giá trị

\(\frac{x}{y=2x^2}\frac{-2}{8}\) \(\frac{-1}{2}\frac00\frac12\frac28\)

Xác định các điểm A(-2;8), B(-1;2), O(0;0), C(1;2), D(2;8) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Vẽ đường cong Parabol đi qua các điểm trên. Đồ thị nhận trục Oxy làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên ( đó hệ số a=2>0)

b, Tìm giá trị của m

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

\(2x^2=-2x+m\lrArr2x^2+2x-m=0\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 phương trình \(*\) phải có hai nghiệm phân biệt , Điều này tương đương với

∆' > 0 \(\lrArr\left(1\right)^2-2\left(-m\right)\) > 0 \(\lrArr1+2m\) >0 \(\lrArr m\) > \(-\frac12\)

Khi đó, theo định lý Vi-ét ta có

\(\begin{cases}x1+x2=-1\\ x1x2=-\frac{m}{2}\end{cases}\)

Theo đề bài, ta cần phải thỏa mãn điều kiện

\(x1+x2-2x1x2=1\)

Thấy các giá trị từ định lý Vi-ét vào biểu thức trên

\(-1-2\left(-\frac{m}{2}\right)=1\)

\(-1+m=1\) \(m=2\)

Kiểm tra điều kiện: ta thấy m = 2 thoả mãn điều kiện m > \(-\frac12\)

Kết luận vậy giá trị tham số cần tìm là m = 2

Để tìm giáo điểm của (d) và (P), ta lập phương trình hoàng độ giáo điểm \(m^2\)

\(x^2\) = 2x +\(m^2\) \(\lrArr\) \(x^2\) \(-2x-m^2+0\)\(*\)

a ,Phương trình \(*\) là phương trình bậc 2 với các hệ số : \(a=1,b=-2,c=-m^2\)

Ta tính biệt thức Δ'\(=\left(-1\right)^2-2\) × \(\left(-m^2\right)=1+m^2\)

Vì \(m^2\) ≥ 0 với mọi m , nên Δ' = 1+ \(m^2\)

≥ 1 >0 với mọi m

Do Δ' > 0 nên phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

b , Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1,x2 thoả mãn \(\left(x1+1\right)\left(x2+1\right)=-3\)

Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình \(*\) ta có

x1 + x2 - \(\frac{b}{c}=2\)

x1 . x2 =\(\frac{c}{a}=-m^2\)

Biến đổi điều kiện đề bài\(\left(x1+x2\right)\left(x2+1\right)=-3\)

\(\lrArr x1x2+x1+x2+1=-3\)

\(\lrArr x1x2+\left(x1+x2\right)+1=-3\)

Thấy các giá trị từ hệ thức Vi-ét vào

\(-m^2+2+1=-3\)

\(\lrArr-m^2+3=-3\) \(\sqrt6\) hoặc m =

\(\lrArr m^2=6\)

\(\lrArr m\) ±\(\sqrt6\)

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m =

Để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm (0;- 5), ta thấy x = 0 và y = -5 vào phương trình của d

-5 = 2 (m-1)× 0+2m+3

-5 = 2m +3

2m = -8

m = -4

Vậy mà = -4 là giá trị cần tìm