Ta có:

3,2(31) = 3, 231313131....

=> 3, 23131

Gọi thương của phép chia cho 126 cho a là q \(\left(q\in\mathbb{N}\right)\)

Theo đề bài, phép chia 126 cho a có số dư là 25

Vì số chia luôn lớn hơn số dư nên ta có điều kiện: \(a>25\left(a\in\mathbb{N}\right)\)

Ta có:

\(126=a.q+25\left(q\in\mathbb{N}\right)\)

=> \(a.q=126-25\)

=> \(a.q=101\)

Do đó, a là ước của 101

Hay \(a\in\left(101\right)\)

Vì 101 là một số nguyên tố

=> \(Ư\left(101\right)=\left\lbrace1;101\right\rbrace\)

Do đó, \(a\in\left\lbrace1;101\right\rbrace\)

Mà điều kiện là \(a>25\)

=> Số tự nhiên cần tìm là 101