a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

​Gọi \(x\) là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (\(x \in \left[\right. 1 ; 2 500 \left]\right.\), đơn vị cái).

Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là \(\frac{x}{2}\)nên chi phí lưu kho tương ứng là \(10. \frac{x}{2} = 5 x\) \(\left(\right. \left.\right) \left(\right. \$ \left.\right) \left(\right.\)

Số lần đặt hàng mỗi năm là \(\frac{2 500}{x}\)và chi phí đặt hàng là:

\(\frac{2 500}{x} . \left(\right. 20 + 9 x \left.\right)\) \(\left(\right. \left.\right) \left(\right. \$ \left.\right) \left(\right.\)

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:

\(C \left(\right. x \left.\right) = \frac{2 500}{x} . \left(\right. 20 + 9 x \left.\right) + 5 x = 5 x + \frac{50 000}{x} + 22 500\)

Ta có \(5 x + \frac{50 000}{x} \leq 2 \sqrt{5 x . \frac{50 000}{x}} = 1 000\).

Suy ra \(C \left(\right. x \left.\right) \leq 23 500\). Dấu \(" = "\) xảy ra khi \(5 x = \frac{50 000}{x}\), khi đó \(x = 100\).

Vậy mỗi năm, cửa hàng nên đặt \(100\) cái ti vi để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.

Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(sin ⁡ \hat{B} = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{320} = \frac{3}{80}\) 

Suy ra \(\hat{B} \approx 2^{\circ} 9^{'}\).

Vậy góc nghiêng là \(2^{\circ} \&\text{nbsp}; 9^{'}\).

b)

Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(B C = \frac{A C}{sin ⁡ \hat{B}} = \frac{12}{sin ⁡ 5^{\circ}} \approx 137 , 7\) km.

Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay \(137 , 7\) km.

​\(A = 2. \sqrt{80} - 2. \sqrt{245} + 2 \sqrt{180}\)

\(A = 2. \sqrt{16.5} - 2. \sqrt{49.5} + 2 \sqrt{36.5}\)

\(A = 8 \sqrt{5} - 14 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5}\)

\(A = 6 \sqrt{5}\).

​\(A = 2. \sqrt{80} - 2. \sqrt{245} + 2 \sqrt{180}\)

\(A = 2. \sqrt{16.5} - 2. \sqrt{49.5} + 2 \sqrt{36.5}\)

\(A = 8 \sqrt{5} - 14 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5}\)

\(A = 6 \sqrt{5}\).

a) Xét tam giác \(A B C\) có \(A B = A C\) và \(A O\) là đường phân giác của góc \(B A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \(A O\) cũng là đường cao, đường trung tuyến của \(\Delta B A C\).

Vậy \(A O\) vuông góc với \(B C\).

b) Ta có \(\hat{B D C} = \frac{1}{2}\) (góc nội tiếp)

\(\hat{B O C} = \&\text{nbsp};\) (góc ở tâm)

Mặt khác \(\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B O C}\) nên \(\hat{B A C} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\hat{B A C} = \hat{B D C}\), suy ra \(O A / / C D\) (hai góc đồng vị bằng nhau).

c) Xét tam giác \(A B O\) và tam giác \(B K O\) có:

\(\hat{A B O} = \hat{B K O} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{B O A}\): góc chung 

Suy ra \(\Delta A B O sim \Delta B K O\) (g.g).

Do đó ta có tỉ số \(\frac{A O}{B O} = \frac{B O}{K O}\) hay \(O A . O K = O B^{2} = 6^{2} = 36\) (cm).

Xét tam giác vuông \(A B O\) có: \(sin ⁡ \hat{B A O} = \frac{O B}{O A} = \frac{6}{12}\).

Suy ra \(\hat{B A O} = 3 0^{\circ}\).

Gọi \(x\) là số máy in mà nhà xuất bản sử dụng \(\left(\right. 1 \leq x \leq 14 \left.\right)\).

Chi phí lắp đặt là \(120 x\) (nghìn đồng).

Số giờ để sản xuất đủ số ấn phẩm là: \(\frac{4 000}{30 x}\)(giờ).

Chi phí giám sát là: \(90. \frac{4 000}{30 x} = \frac{12 000}{x}\)(nghìn đồng).

Chi phí sản xuất của nhà sản xuất là: \(A = 120 x + \frac{12 000}{x}\)(nghìn đồng).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(A = 120 x + \frac{12 000}{x} \geq 2 \sqrt{120 x . \frac{12 000}{x}} = 2 400\).

Dấu bằng xảy ra khi \(120 x = \frac{12 000}{x}\)hay \(x = 10\).

Vậy số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất là \(10\) máy.

Đổi \(1\) giờ \(25\) phút \(= \frac{17}{12}\) giờ; \(1\) giờ \(30\) phút \(= \frac{3}{2}\) giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là \(x\) (km/h) và \(y\) (km/h). Điều kiện \(x > 0 , y > 0 , x > y\).

Trong lần 1

+) Vận tốc xuôi dòng là \(x + y\) km/h, quãng đường xuôi dòng là \(20\) km nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{20}{x + y}\) (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là \(x - y\) km/h, quãng đường ngược dòng là \(18\) km nên thời gian ngược dòng là \(\frac{18}{x - y}\) (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết \(\frac{17}{12}\) giờ nên ta có phương trình

\(\frac{20}{x + y} + \frac{18}{x - y} = \frac{17}{12}\)     (1)

Trong lần 2

+) Vận tốc xuôi dòng là \(x + y\) (km/h), quãng đường xuôi dòng là \(15\) km nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{15}{x + y}\) (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là \(x - y \left(\right. k m / h \left.\right)\), quãng đường ngược dòng là \(24\) km nên thời gian ngược dòng là \(\frac{24}{x - y}\) (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết \(\frac{3}{2}\) giờ nên ta có phương trình

\(\frac{15}{x + y} + \frac{24}{x - y} = \frac{3}{2}\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left{\right. & \frac{20}{x + y} + \frac{18}{x - y} = \frac{17}{12} \\ & \frac{15}{x + y} + \frac{24}{x - y} = \frac{3}{2}\)

\(\left{\right. & \frac{60}{x + y} + \frac{54}{x - y} = \frac{17}{4} \\ & \frac{60}{x + y} + \frac{96}{x - y} = \frac{7}{4}\)

\(\left{\right. & \frac{60}{x + y} + \frac{54}{x - y} = \frac{17}{4} \\ & \frac{42}{x - y} = \frac{7}{4}\)

Quy đồng ta được hệ \(\left{\right. & x + y = 30 \\ & x - y = 24\)

Giải hệ trên, ta được: \(\left{\right. & x = 27 \\ & y = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là \(27\) km/h và \(3\) km/h.

A=(x−5x​+6x​+2​−2−x​x​+3​−x​−3x​+2​):(2−x​+1x​​) 

\(A = \left(\right. \frac{\sqrt{x} + 2}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \left.\right) : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \left(\right. \frac{\sqrt{x} + 2}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} + \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 3 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} - \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)} \left.\right) : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} + 2 + x - 9 - x + 4}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} - 3}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}\) 

\(A = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}\).

b. Tìm các giá trị của x để \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\).

(ĐK: \(x \geq 0 , x \neq 4 , x \neq 9\))

Để \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\)thì

\(\frac{x - 4}{\sqrt{x} + 1} \leq - \frac{5}{2}\)

\(2 x - 8 \leq - 5 \sqrt{x} - 5\)

\(2 x + 5 \sqrt{x} - 3 \leq 0\)

\(- 3 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 0 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 0 \leq x \leq \frac{1}{4}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(0 \leq x \leq \frac{1}{4}\)thì \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\).

​A=2−3​​.(6​+2​)

\(​​ A = \sqrt{2} . \left(\right. \sqrt{2 - \sqrt{3}} \left.\right) + \sqrt{6} . \left(\right. \sqrt{2 - \sqrt{3}} \left.\right)\)

\(A = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{12 - 6 \sqrt{3}}\)

\(A = \sqrt{1 + 3 - 2 \sqrt{1.3}} + \sqrt{12 - 2.3 \sqrt{3}}\)

\(A = \sqrt{1^{2} - 2 \sqrt{1.3} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2}} + \sqrt{3^{2} - 2.3 \sqrt{3} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2}}\)

\(A = \sqrt{\left(\right. 1 - \sqrt{3} \left.\right)^{2}} + \sqrt{\left(\right. 3 - \sqrt{3} \left.\right)^{2}}\)

\(A = \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2\).