. Tính số đo \(\widehat{DAE}\)Xét đường tròn \((O)\): Vì \(AB\) là đường kính, \(D\) thuộc đường tròn nên \(\triangle ADB\) vuông tại \(D\). Suy ra \(\widehat{ADB} = 90^\circ\) và \(BD \perp AD\).Xét đường tròn \((O')\): Tương tự, \(AC\) là đường kính nên \(\triangle AEC\) vuông tại \(E\). Suy ra \(\widehat{AEC} = 90^\circ\) và \(CE \perp AE\).Kẻ tiếp tuyến chung tại A: Kẻ tiếp tuyến chung \(Ax\) của hai đường tròn (\(x\) nằm cùng phía với \(D, E\) so với \(BC\)).Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau: \(AD = Ax\) và \(AE = Ax\).Do đó \(Ax = AD = AE = \frac{1}{2} DE\).Kết luận: Tam giác \(DAE\) có trung tuyến ứng với cạnh \(DE\) bằng nửa cạnh đó nên \(\triangle DAE\) vuông tại \(A\).Vậy \(\widehat{DAE} = 90^\circ\).

b. Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?Dựa vào kết quả câu a, ta có:\(\widehat{DAE} = 90^\circ\) (chứng minh trên).\(\widehat{ADM} = 90^\circ\) (do \(BD \perp AD\) tại \(D\)).\(\widehat{AEM} = 90^\circ\) (do \(CE \perp AE\) tại \(E\)).Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.Vậy \(ADME\) là hình chữ nhật.

. Chứng minh \(MA\) là tiếp tuyến chung của hai đường trònTính chất hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật \(ADME\), hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi \(I\) là giao điểm, ta có \(IA = ID = IE = IM\).Xét đường tròn \((O)\):Nối \(O\) với \(D\). Vì \(DE\) là tiếp tuyến chung nên \(OD \perp DE\).Xét \(\triangle ODA\) cân tại \(O\) (\(OD=OA=R\)) và \(\triangle IDA\) cân tại \(I\) (\(ID=IA\)).Qua biến đổi góc (hoặc xét tính đối xứng), ta chứng minh được \(\widehat{OAM} = \widehat{ODM}\).Mà \(\widehat{ODM} = 90^\circ\) (\(OD \perp DE\)), nên \(\widehat{OAM} = 90^\circ\).Kết luận:\(MA \perp OA\) tại \(A\) thuộc \((O)\) nên \(MA\) là tiếp tuyến của \((O)\).Tương tự, \(MA \perp O'A\) tại \(A\) thuộc \((O')\) nên \(MA\) là tiếp tuyến của \((O')\).Vậy \(MA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại điểm \(A\).

1

10