ta có 2(ax+by)≥ a+b≥ (a+b)(x+y)

2(ax+by)≥ (a+b)(x+y)

2ax+2by≥ ax+ay+bx+by

ax-ay≥ bx-by

(a-b)(x-y)≥ 0

luôn luôn lớn hơn 0 vớ mọi ( x;y),(a;b) theo đk ban đầu

4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy
(x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0
= (x - 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0
Vậy 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy (luôn đúng với mọi (x;y))

4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy
(x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0
= (x - 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0
Vậy 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy (luôn đúng với mọi (x;y)

4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy
(x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0
= (x - 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0
Vậy 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy (luôn đúng với mọi (x;y)

4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy
(x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0
= (x - 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0
Vậy 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy (luôn đúng với mọi (x;y)

n = 3k (k ∈ Z)
Ta có:
n(n+1) = 3k(3k+1)
Nếu 3k là số chẵn:
3k = 2z
3k(3k+1) = 6z(6z+1)
⇒ 6z(6z+1) chia hết cho 6 (1)
Nếu 3k là số lẻ:
3k = 2z+1
3k(3k+1) = (2z+1)(2z+2)
= (6z+3)(6z+4)
= 36z² + 24z + 18z + 12
= 6(6z² + 7z + 2)
⇒ 6(6z² + 7z + 2) chia hết cho 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có: Suy ra:
⇒ n(n+1) chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.

Giả sử n là số lẻ
n = 8k + 1 (k ∈ N)
n³ = (2k + 1)³
= 8k³ + 12k² + 6k + 1
= 2k(4k² + 6k + 3) + 1
mà 2k(4k² + 6k + 3) chia hết cho 2
→ là số chẵn
→ 2k(4k² + 6k + 3) là số lẻ
⇒ n lẻ thì n³ là số lẻ (đpcm)