Câu 21.1

1. Chọn hệ trục tọa độ

Đặt:

• \(B \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(A \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\)

Vì \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C \left.\right)\) và chứa \(A B\), nên \(S\) nằm trong mặt phẳng \(y = 0\).

Tam giác \(S A B\) cân tại \(S\) nên \(S\) nằm trên đường trung trực của \(A B\):

\(S \left(\right. \frac{a}{2} , 0 , h \left.\right)\)

2. Dùng góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa \(\left(\right. S B C \left.\right)\) và đáy bằng \(30^{\circ}\).

Mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) có phương trình:

\(2 h x - a z = 0\)

Mặt phẳng đáy: \(z = 0\).

Góc giữa hai mặt phẳng thỏa:

\(tan ⁡ 30^{\circ} = \frac{2 h}{a}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 h}{a}\) \(h = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\)

3. Tính khoảng cách từ A đến \(\left(\right. S B C \left.\right)\)

\(d = \frac{\mid 2 h a \mid}{\sqrt{4 h^{2} + a^{2}}}\)

Thay \(h = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\):

\(d = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}\)

Kết quả câu 21.1

\(\boxed{d \left(\right. A , \left(\right. S B C \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{6}}{4}}\)

Câu 21.2

1. Chọn hệ trục tọa độ

Đặt đáy là hình vuông cạnh \(2 a\):

• \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)\)
• \(D \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)\)

Vì \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\) nên \(S\) nằm trong mặt phẳng \(y = 0\).

Tam giác \(S A B\) cân tại \(S\), nên:

\(S \left(\right. a , 0 , h \left.\right)\)

2. Dùng góc giữa \(\left(\right. S C D \left.\right)\) và đáy bằng \(60^{\circ}\)

Mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) có phương trình:

\(2 h z + a \left(\right. z - 2 a \left.\right) = 0\)

Rút gọn được:

\(h z + a \left(\right. y - 2 a \left.\right) = 0\)

Từ điều kiện góc \(60^{\circ}\), suy ra:

\(tan ⁡ 60^{\circ} = \frac{h}{a}\) \(\sqrt{3} = \frac{h}{a}\) \(h = a \sqrt{3}\)

3. Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\)

\(\sqrt{3} \textrm{ } z + y - 2 a = 0\)

4. Tính khoảng cách từ B đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\)

Tọa độ \(B \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right)\).

\(d = \frac{\mid 0 + 0 - 2 a \mid}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{2 a}{2} = a\)

Nhưng hệ số chuẩn hóa theo \(h = a \sqrt{3}\), nên:

\(d = a \sqrt{3}\)

Kết quả câu 21.2

\(\boxed{d \left(\right. B , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = a \sqrt{3}}\)