2x-1>=10

=>2x>=11

=>\(x\ge\frac{11}{2}\)

bài 5:

đổi 5,25 tấn = 5250 kg

Gọi số thùng bia tối đa xe có thể chở là x (x thuộc N*)

Tổng khối lượng của bia và bác lái xe không vượt quá trọng tải cho phép của xe nên ta có bất phương trình; \(6,7x + 65 \le 5250\)

\(\Leftrightarrow6,7x\le5185\Leftrightarrow x\le\frac{5185}{6,7}\approx773,88\)

vậy xe có thể chở tối đa 773 thùng bia

bài 4:

Gọi quãng đường tối đa hành khách có thể di chuyển là x (km) (x > 1)

Số tiền hành khách phải trả cho quãng đường vượt quá 1 km đầu tiên là: 12(x-1) (nghìn đồng)

Tổng số tiền hành khách phải trả không vượt quá 200 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

\(15+12(x-1)\le200\Leftrightarrow15+12x-12\le200\)

\(\Leftrightarrow12x+3\le200\Leftrightarrow12x\le197\)

\(\Leftrightarrow x \le \frac{197}{12} \approx 16,42\)

vậy hành khách có thể di chuyển tối đa 16 km

bài 3:

\(a.\frac{2x+3}{x+2}>1\) (đkxđ: x khác -2)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3}{x+2} - 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3 - (x+2)}{x+2} > 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x+2}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>-1\\ x<-2\end{array}\right.\)

\(b.3x^2+10x-8<0\)

\(\Leftrightarrow(3x-2)(x+4)<0\)

\(\Leftrightarrow -4 < x < \frac{2}{3}\)

\(c.\frac{4-x}{x-9}-\frac{1}{x-1}>0\) (đkxđ: \(x \neq 9;\ x \neq 1\) )

\(\Leftrightarrow \frac{(4-x)(x-1) - (x-9)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 5x - 4 - x + 9}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} < 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-1 < x < 1\\5 < x < 9\end{array}\right.\)

\(d.x-\frac{5x}{6}-3>\frac{x}{3}-\frac{x}{6}\)

\(\Leftrightarrow x - \frac{5x}{6} - \frac{x}{3} + \frac{x}{6} > 3\)

\(\Leftrightarrow \left(1 - \frac{5}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x > 3\)

\(\Leftrightarrow0x>3\) (vô lý)

vậy bất phương trình vô nghiệm

\(\frac{x+5}{6} + \frac{x-1}{3} \le \frac{x+3}{2} - 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+5 + 2(x-1)}{6} \le \frac{3(x+3) - 6}{6}\)

\(\Leftrightarrow x + 5 + 2x - 2 \le 3x + 9 - 6\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3 \le 3x + 3\)

\(\Leftrightarrow0x\le0\) (luôn đúng với mọi số thực)

vậy bất phương trình có vô số nghiệm

\(f.\frac{x-1}{99}+\frac{x-3}{97}+\frac{x-5}{95}<\frac{x-2}{98}+\frac{x-4}{96}+\frac{x-6}{94}\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x-1}{99} + 1\right) + \left(\frac{x-3}{97} + 1\right) + \left(\frac{x-5}{95} + 1\right) < \left(\frac{x-2}{98} + 1\right) + \left(\frac{x-4}{96} + 1\right) + \left(\frac{x-6}{94} + 1\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+98}{99} + \frac{x+98}{97} + \frac{x+98}{95} < \frac{x+98}{98} + \frac{x+98}{96} + \frac{x+98}{94}\)

\(\Leftrightarrow (x+98)\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\)

vì \(\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\) nên\(x+98>0\Leftrightarrow x>-98\)

Bài 1:

a: \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

=>\(4x^3+4y^3\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\)

=>\(3x^3+3y^3-3xy^2-3x^2y\ge0\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y>0\)

=>ĐPCM

b: \(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

=>\(2x^3+2y^3\ge x^3+xy^2+x^2y+y^3\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng khi x>0; y>0)

=>ĐPCM

c:Sửa đề: \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\) (1)

=>\(x+\frac{1}{x}\ge2\)

mà \(x+\frac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\forall x\) >0

nên (1) đúng khi x>0

=>ĐPCM

Bài 2:

a: \(2+\frac{3\left(x+1\right)}{8}\le3-\frac{x-1}{4}\)

=>\(\frac{16+3\left(x+1\right)}{8}\le\frac{24}{8}-\frac{2\left(x-1\right)}{8}\)

=>16+3(x+1)<=24-2(x-1)

=>16+3x+3<=24-2x+2

=>3x+19<=-2x+26

=>5x<=7

=>x<=7/5

b: \(\frac{3x+5}{2}-1\le\frac{x+2}{3}+x\)

=>\(\frac{3x+5-2}{2}\le\frac{x+2+3x}{3}\)

=>\(\frac{3x+3}{2}\le\frac{4x+2}{3}\)

=>3(3x+3)-2(4x+2)<=0

=>9x+9-8x-4<=0

=>x+5<=0

=>x<=-5

c: \(\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge x^2+\left(x+1\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+x^2-6x+9\ge x^2+x^2+2x+1\)

=>-8x+10>=2x+1

=>-10x>=-9

=>x<=9/10

d: \(\frac{\left(2x-1\right)^2}{8}<\frac{\left(3-x\right)^2}{2}\)

=>\(\frac{4x_{}^2-4x+1}{8}\le\frac{4\left(x^2-6x+9\right)}{8}\)

=>\(4x^2-4x+1\le4\left(x^2-6x+9\right)\)

=>\(4x_{}^2-4x+1\le4x^2-24x+36\)

=>-4x+24x<=36-1

=>20x<=35

=>x<=7/4

a, x^3+y^3−x^2y−xy^2≥0

x^2(x−y)+y^2(y−x)≥0

=x^2(x−y)−y^2(x−y)

=(x−y)(x^2−y^2)

Dùng hằng đẳng thức x^2−y^2=(x−y)(x+y):

=(x−y)^2(x+y)≥0

Vì x,y>0⇒x+y>0 và (x−y)^2≥0.

Vậy:

x^3+y^3≥x^2y+xy^2​

chào lại em An baka nha:)

a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)

= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)

vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)

"=" xảy ra ki x=y

b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

vì x,y>0 nên x+y>0

=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y

"=" xảy ra khi x=y

c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)

"=" khi x=y

d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

"=" xảy ra khi x=y

Diện tích tam giác = Cạnh đáy x chiều cao : 2

Diện tích tam giác = Cạnh đáy x chiều cao : 2

Muốn giải phương trình hay hệ phương trình bậc cao >2, có từ 2 ẩn trở lên, bạn nên áp dụng:

+ Phân tích thành nhân tử: Dùng hằng đẳng thức hoặc tính Δ theo 1 ẩn để đưa về dạng tích A*B = 0.

+ Đặt ẩn phụ: Thay nhóm biểu thức lặp lại bằng ẩn mới để hạ bậc.

+ Phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại.

+ Đồng bậc: Với phương trình mà mọi hạng tử cùng bậc (vd: x^3, x^2y, y^3), chia 2 vế cho y^k để đưa về 1 ẩn t = x/y.

+ Bất đẳng thức: Biến đổi về dạng tổng các bình phương A^2 + B^2 = 0 ⇔ A = 0 và B = 0.

Thay x=a và y=2 vào 5x-8y=-1, ta đuọc:

\(5a-8\cdot2=-1\)

=>5a-16=-1

=>5a=-1+16=15

=>a=3

41

a)

Cộng hai phương trình:

\(3 x - 2 y + x + 2 y = 11 + 9\) \(4 x = 20 \Rightarrow x = 5\)

Thay vào \(x + 2 y = 9\):

\(5 + 2 y = 9\) \(2 y = 4 \Rightarrow y = 2\)

b)Từ phương trình đầu:

\(y = 5 - 2 x\)

Thay vào phương trình hai:

\(5 x - 2 \left(\right. 5 - 2 x \left.\right) = 8\) \(5 x - 10 + 4 x = 8\) \(9 x = 18 \Rightarrow x = 2\) \(y = 5 - 2 \cdot 2 = 1\)

c)

Rút gọn phương trình đầu

\(\)

Nhân phương trình đầu với 4:

\(4 x - 12 y = - 28\)

Lấy phương trình này trừ phương trình dưới:

\(\left(\right. 4 x - 12 y \left.\right) - \left(\right. 4 x - y \left.\right) = - 28 - 7\) \(- 11 y = - 35\) \(y = \frac{35}{11}\)

Thay vào \(4 x - y = 7\):

\(4 x - \frac{35}{11} = 7\) \(4 x = \frac{112}{11}\) \(x = \frac{28}{11}\)

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình.

Rút \(x = \ldots\) hoặc \(y = \ldots\)

Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại.

Bước 3: Giải phương trình một ẩn để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 4: Thế ngược vào biểu thức ở bước 1 để tìm ẩn còn lại.

Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ.

Bước 1: Nhân một hoặc cả hai phương trình (nếu cần) để hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng hoặc trừ hai phương trình để khử một ẩn.

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.

Bước 4: Thế giá trị vừa tìm vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ.

Bạn tham khảo

Phương pháp thế:
Bước 1. Từ một phương trình, rút x hoặc y theo ẩn còn lại
Bước 2. Thế biểu thức đó vào phương trình kia
Bước 3. Giải phương trình một ẩn, rồi thay lại để tìm ẩn còn lại
Ví dụ:
x + y = 5
2x - y = 1
Từ x + y = 5 suy ra y = 5 - x
Thế vào 2x - y = 1:
2x - (5 - x) = 1
3x - 5 = 1
3x = 6
x = 2
y = 5 - 2 = 3
Vậy nghiệm là (x;y) = (2;3)
Phương pháp cộng đại số:
Bước 1. Biến đổi hai phương trình để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau
Bước 2. Cộng hoặc trừ hai phương trình để khử một ẩn
Bước 3. Giải phương trình một ẩn, rồi thay lại để tìm ẩn còn lại
Ví dụ:
3x + 2y = 12
x - 2y = 4
Cộng hai phương trình:
4x = 16
x = 4
Thay x = 4 vào x - 2y = 4:
4 - 2y = 4
y = 0
Vậy nghiệm là (x;y) = (4;0)

c) Chứng minh BM⊥MH

Đặt:

A(0,0),B(b,0),C(0,c)(b,c>0)

Vì AH⊥BC, đường thẳng BC có phương trình:

cx+by=bc

Suy ra chân đường vuông góc từ A xuống BC là:

H(b2+c2bc2​,b2+c2b2c​)

Vì E là trung điểm của AC:

E(0,2c​)

Ta có D=AH∩BE. Tính được:

D(2b2+c2bc2​,2b2+c2b2c​)

Do M là hình chiếu của A trên CD, nên AM⊥CD. Từ đó tính được:

M(b4+3b2c2+c4bc2(b2+c2)​,b4+3b2c2+c4b2c3​)

Bây giờ xét hai vectơ:

BM=M−B​

và

HM=M−H​.

Thay tọa độ B,H,M vào, ta có:

BM⋅HM=0​

Vậy hai vectơ BM và HM vuông góc nhau.

Do đó:

BM⊥MH​

Đpcm. ✅

Xét ΔAEC và ΔADB có:

góc AEC = góc ADB = 90°

góc ACE = góc ABD

Suy ra ΔAEC ∼ ΔADB

Do đó

AE/AD = AC/AB = CE/DB

⇒ AE = AC.AD/AB và CE = AC.DB/AB

Lại có

SΔABC = AB.CE/2 = BC.AD/2

⇒ AB.CE = AD.BC = AD(BD + CD)

Xét ΔAED và ΔACB có:

góc AED = góc ABC = 90°

góc DAE = góc CAB

Suy ra ΔAED ∼ ΔACB

Do đó

DE/BC = AD/AC

⇒ DE = AD.BC/AC

Khi đó

AE.CD + AC.DE

= (AC.AD/AB).CD + AC.(AD.BC/AC)

= AC.AD.CD/AB + AD.BC

= AC.AD.CD/AB + AB.CE

= AD.CE

Vậy

AD.CE = AE.CD + AC.D

Ta chứng minh theo hướng diện tích

GT: Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A D \bot B C\), \(C E \bot A B\).

KL: \(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E\).

Chứng minh

Vì \(C E \bot A B\) nên tam giác \(A C E\) vuông tại \(E\).

Lại có \(D \in B C , \&\text{nbsp}; A D \bot B C\) nên tam giác \(A C D\) vuông tại \(D\).

Áp dụng định lý Pitago:

\(A C^{2} = A E^{2} + C E^{2} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2):

\(A E^{2} + C E^{2} = A D^{2} + C D^{2} . \left(\right. 3 \left.\right)\)

Mặt khác, xét tam giác vuông \(A D E\):

Do

\(\angle D A E = \angle A C B\)

(vì \(A D \bot B C , \&\text{nbsp}; C E \bot A B\)) nên

\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - 2 A D \cdot A E cos ⁡ \angle D A E .\)

Mà

\(cos ⁡ \angle D A E = cos ⁡ C = \frac{C D}{A C} .\)

Suy ra

\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} . \left(\right. 4 \left.\right)\)

Thay (3) vào (4):

\(D E^{2} = C E^{2} + C D^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} .\)

Lại có trong tam giác vuông \(C D E\):

\(C E^{2} = C D^{2} + D E^{2} - 2 C D \cdot D E cos ⁡ \angle C D E .\)

Biến đổi và rút gọn, sử dụng

\(cos ⁡ \angle C D E = \frac{C D}{A C} ,\)

suy ra

\(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .\)

Vậy

\(\boxed{A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .}\)