a: ĐKXĐ: x>=-9/2 và x<>0

\(3 - \sqrt{9 + 2x} = \frac{9 - (9 + 2x)}{3 + \sqrt{9 + 2x}} = \frac{-2x}{3 + \sqrt{9 + 2x}}\)

=>\((3 - \sqrt{9 + 2x})^2 = \frac{4x^2}{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}\)

\(\frac{2x^2}{(3 - \sqrt{9 + 2x})^2} < x + 21\)

=>\(\frac{2x^2 \cdot (3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{4x^2} < x + 21\)

=>\(\frac{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{2} < x + 21\)

=>\((3 + \sqrt{9 + 2x})^2 < 2x + 42\)

=>\(9 + 6\sqrt{9 + 2x} + (9 + 2x) < 2x + 42\)

=>\(18 + 2x + 6\sqrt{9 + 2x} < 2x + 42\)

=>\(6\sqrt{9 + 2x} < 24\)

=>\(\sqrt{2x+9}<4\)

=>2x+9<16

=>2x<7

=>x<7/2

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: -9/2<=x<7/2 và x<>0

ĐKXĐ: x<>0 và \(\begin{cases}x+\frac{1}{x^2}\ge0\\ x-\frac{1}{x^2}\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^3+1\ge0\\ x^3-1\ge0\end{cases}\)

=>x>=1

\(\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{1}{x^2}}>\frac{2}{x}\)

=>\(\left( \sqrt{x + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{x - \frac{1}{x^2}} \right)^2 > \left( \frac{2}{x} \right)^2\)

=>\(\left(x+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x-\frac{1}{x^2}\right)+2\sqrt{\left(x + \frac{1}{x^2}\right)\left(x - \frac{1}{x^2}\right)}>\frac{4}{x^2}\)

=>\(2x+2\sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}}>\frac{4}{x^2}\)

=>\(x + \sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}} > \frac{2}{x^2}\)

=>\(\sqrt{x^2 - \frac{1}{x^4}}>\frac{2}{x^2}-x\)

TH1: \(\frac{2}{x^2}-x\le0\)

=>\(\frac{2 - x^3}{x^2}\le0\)

=>\(x^3\ge2\)

=>\(x\ge\sqrt[3]{2}\)

Khi \(x\ge\sqrt[3]{2}\) thì VT<=0; VT>0

=>Bất phương trình luôn đúng với \(x\ge\sqrt[3]{2}\) (2)

TH2: \(\frac{2}{x^2}-x>0\)

=>\(\frac{2 - x^3}{x^2}>0\)

=>\(x^3<2\)

=>\(x<\sqrt[3]{2}\)

BPT sẽ tương đương: \(x^2 - \frac{1}{x^4} > \left( \frac{2}{x^2} - x \right)^2\)

=>\(x^2 - \frac{1}{x^4} > \frac{4}{x^4} - \frac{4}{x} + x^2\)

=>\(-\frac{1}{x^4} > \frac{4}{x^4} - \frac{4}{x}\)

=>\(\frac{4}{x} > \frac{5}{x^4}\)

=>\(4x^3>5\)

=>\(x^3>\frac54=\frac{10}{8}\)

=>\(x>\frac{\sqrt[3]{10}}{2}\)

=>\(\frac{\sqrt[3]{10}}{2} (1)

Từ (1),(2) suy ra \(S = \left( \sqrt[3]{\frac{5}{4}}; +\infty \right)\)

a: ĐKXĐ: x>=3

Sửa đề: \(\sqrt{4x-12}-\sqrt{9x-27}+\sqrt{\dfrac{25x-75}{4}}-3=0\)

=>\(2\sqrt{x-3}-3\sqrt{x-3}+\dfrac{5}{2}\sqrt{x-3}-3=0\)

=>\(\dfrac{3}{2}\sqrt{x-3}=3\)

=>\(\sqrt{x-3}=2\)

=>x-3=4

=>x=7(nhận)

b: ĐKXĐ: x>=0

\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< =-\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{3}{4}< =0\)

=>\(\dfrac{4\sqrt{x}-8+3\sqrt{x}+3}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< =0\)

=>\(7\sqrt{x}-5< =0\)

=>\(\sqrt{x}< =\dfrac{5}{7}\)

=>0<=x<=25/49

c: ĐKXĐ: x>=5

\(\sqrt{9x-45}-14\sqrt{\dfrac{x-5}{49}}+\dfrac{1}{4}\sqrt{4x-20}=3\)

=>\(3\sqrt{x-5}-14\cdot\dfrac{\sqrt{x-5}}{7}+\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot\sqrt{x-5}=3\)

=>\(\dfrac{3}{2}\sqrt{x-5}=3\)

=>\(\sqrt{x-5}=2\)

=>x-5=4

=>x=9(nhận)

a: ĐKXĐ: x<0 hoặc x>1

TH1: x<0

=>x-1<-1<0

\(\sqrt{x^2 - x} = \sqrt{x(x-1)}\)

\(\frac{x - 1}{(x - 1) - \sqrt{-x(1-x)}} = \frac{-(1-x)}{-(1-x) - \sqrt{-x}\sqrt{1-x}} = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{-x}}\)

Bất phương trình sẽ trở thành: \(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{-x}} \ge 2x\)

x<0

=>2x<0

mà \(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{-x}}>0\forall x\) thỏa mãn

nên Bất phương trình thỏa mãn với mọi x<0

TH2: x>1

=>x-1>0 và \(\sqrt{x^2 - x} = \sqrt{x(x-1)} = \sqrt{x}\sqrt{x-1}\)

Bất phương trình sẽ tương đương: \(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}} \ge 2x\)

mà \(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x-1} - \sqrt{x})(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})}=\frac{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})}{(x-1) - x}=-\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})\)

nên \(-\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) \ge 2x\)

=>\(\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})+2x\le0\) (vô lý vì \(\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})+2x>0\) với mọi x>1)

=>x∈∅

Vậy: x<0

1) \(\sqrt[]{3x+7}-5< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{3x+7}< 5\)

\(\Leftrightarrow3x+7\ge0\cap3x+7< 25\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{7}{3}\cap x< 6\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{3}\le x< 6\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} + \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) + 2 > 0\) (1)

ĐKXĐ: \(\begin{cases}1-x^2>0\\ x<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2<1\\ x<>0\end{cases}\)

=>-1<x<1 và x<>0

Đặt \(y=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(y^2 = \left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)^2 + 2 + \left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \dfrac{1-x^2}{x^2} + 2 + \dfrac{x^2}{1-x^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)+2+\dfrac{x^2}{1-x^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{1-x^2}+1\)

=>\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} = y^2 - 1\)

Thay vào BPT ban đầu, ta được: \((y^2 - 1) + \dfrac{5}{2}y + 2 > 0\)

=>\(y^2+\dfrac{5}{2}y+1>0\iff2y^2+5y+2>0\)

=>(2y+1)(y+2)>0

=>y>-1/2 hoặc y<-2

TH1: 0<x<1

Theo AM-GM, ta được: \(y \ge 2 \cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}} = 2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y>=2>-1/2

nên (1) luôn đúng

Nếu y<-2 thì vì y>=2>-2

nên (1) vô nghiệm

TH2: -1<x<0

=>\(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}<0;\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}<0\)

Đặt \(t=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)

=>\(y=-t-\dfrac{1}{t}=-\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\le-2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y<=-2<-1/2

nên (1) luôn sai

=>(1) vô nghiệm

Nếu y<-2 thì vì y<=-2<-2

nên mọi giá trị của x sẽ thỏa mãn y, trừ giá trị thỏa mãn y=-2

Đặt y=-2

=>\(t+\dfrac{1}{t}=2\iff t=1\)

=>\(-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}=1\)

\(\iff\sqrt{1-x^2}=-x\)

=>\(1-x^2=x^2\)

=>\(2x^2=1\)

=>\(x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Do đó: x∈\(\left(-1;\frac{-1}{\sqrt2}\right)\) \(\cup\) \(\left(-\frac{1}{\sqrt2};0\right)\)

Vậy: \(S = \left(-1, -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \cup (0, 1)\)

a: ĐKXĐ: \(\begin{cases}5x^2+14x+9\ge0\\ x^2-x-20\ge0\\ x+1\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(x+1\right)\left(5x+9\right)\ge0\\ \left(x-5\right)\left(x+4\right)\ge0\\ x\ge-1\end{cases}\)

=>x>=5

TA có: \(\sqrt{5x^2+14x+9} \le 5\sqrt{x+1} + \sqrt{x^2-x-20}\)

=>\(5x^2+14x+9 \le 25(x+1) + x^2-x-20 + 10\sqrt{(x+1)(x^2-x-20)}\)

=>\(5x^2+14x+9 \le x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x+1)^2(x-5)}\)

=>\(4x^2 - 10x + 4 \le 10(x+1)\sqrt{x-5}\)

=>\(2x^2 - 5x + 2 \le 5(x+1)\sqrt{x-5}\)

=>\((2x-1)(x-2) \le 5(x+1)\sqrt{x-5}\) (1)

Đặt \(t=\sqrt{x-5}\ge0\implies x=t^2+5\)

(1) sẽ trở thành: \(2(t^2+5)^2 - 5(t^2+5) + 2 \le 5(t^2+6)t\)

=>\(2(t^4 + 10t^2 + 25) - 5t^2 - 25 + 2 \le 5t^3 + 30t\)

=>\(2t^4 + 20t^2 + 50 - 5t^2 - 23 \le 5t^3 + 30t\)

=>\(2t^4 - 5t^3 + 15t^2 - 30t + 27 \le 0\)

=>\((t-1)(2t-3)(t^2 + 6) \le 0\)

=>(t-1)(2t-3)<=0

=>1<=t<=3/2

=>\(1\le\sqrt{x-5}\le\frac{3}{2}\)

=>\(1\le x-5\le\frac{9}{4}\)

\(\iff6\le x\le\frac{29}{4}\)

ĐKXĐ: \(1< x< 9\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{9-x}=a\\\sqrt{x-1}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b>0\\a^2+b^2=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le16\Rightarrow a+b\le4\)

\(BPT\Leftrightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}\ge3\) (1)

Đặt \(P=\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}-3\)

\(P=a+b-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-3\le a+b-\dfrac{4}{a+b}-3\)

\(P\le\dfrac{\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)-4}{a+b}=\dfrac{\left(a+b+1\right)\left(a+b-4\right)}{a+b}\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}\le3\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(a=b=2\Leftrightarrow x=5\)

Vậy BPT đã cho có nghiệm duy nhất \(x=5\)