Câu này khó thật đấy!Chịu thôi!

Ta có:x^2-2x+1=6y^2-2x+2

          x^2+1-2=6y^2-2x+2x

              x^2-1=6y^2

                 y^2=x^2-1/6

Vì y^2 thuộc ước của x^2-1/6 suy ra y^2 là số chẵn mà y^2 là số chẵn suy ra y=2 

Thay vào ta có:x^2-1/6=4

                       x^2-1=24

                          x^2=25

suy ra x=5.Vậy x=5:y=2 (Thử lại nhé)

\(x^2+3y^2+4xy=2x+6y+24\)

=>(x+3y)(x+y)-2(x+3y)=24

=>(x+3y)(x+y-2)=24

=>(x+3y;x+y-2)∈{(1;24);(24;1);(-1;-24);(-24;-1);(2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(3;8);(8;3);(-3;-8);(-8;-3);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

mà x+3y+x+y-2=2x+4y-2=2(x+2y-1)⋮2

nên (x+3y;x+y-2)∈{((2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

TH1: x+3y=2 và x+y-2=12

=>x+3y=2 và x+y=14

=>x+3y-x-y=2-14

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=14

=>x=14-y=14-(-6)=20

=>Nhận

TH2: x+3y=12 và x+y-2=2

=>x+3y=12 và x+y=4

=>x+3y-x-y=12-4

=>2y=8

=>y=4

x+y=4

=>x=4-4=0

=>Nhận

TH3: x+3y=-2 và x+y-2=-12

=>x+3y=-2 và x+y=-10

=>x+3y-x-y=-2+10

=>2y=8

=>y=4

x+y=-10

=>x+4=-10

=>x=-14

=>Nhận

TH4: x+3y=-12 và x+y-2=-2

=>x+3y=-12 và x+y=0

=>x+3y-x-y=-12-0

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=0

=>x=-y=-(-6)=6

TH5: x+3y=4 và x+y-2=6

=>x+3y=4 và x+y=8

=>x+3y-x-y=4-8

=>2y=-4

=>y=-2

x+y=8

=>x-2=8

=>x=10

=>Nhận

TH6: x+3y=6 và x+y-2=4

=>x+3y=6 và x+y=6

=>x+3y-x-y=6-6=0

=>2y=0

=>y=0

x+y=6

=>x=6-y=6-0=6

=>Nhận

TH7: x+3y=-4 và x+y-2=-6

=>x+3y=-4 và x+y=-4

=>x+3y-x-y=-4-(-4)

=>2y=0

=>y=0

x+y=-4

=>0+y=-4

=>y=-4

TH8: x+3y=-6 và x+y-2=-4

=>x+3y=-6 và x+y=-2

=>x+3y-x-y=-6-(-2)

=>2y=-6+2=-4

=>y=-2

x+y=-2

=>x-2=-2

=>x=0

Ý tưởng: đưa về dạng \(2x^2+\left(7y-1\right)x+6y^2-y+a=b\) với \(b-a=25\)

Sao cho vế trái tách được thành nhân tử

\(\Rightarrow\Delta=\left(7y-1\right)^2-8\left(6y^2-y+a\right)\) là 1 bình phương

\(\Rightarrow y^2-6y-8a+1\) là 1 bình phương

\(\Rightarrow1-8a=9\Rightarrow a=-1\)

Khi đó: \(\Delta=\left(y-3\right)^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{-7y+1-y+3}{4}=-2y+1\\x=\frac{-7y+1+y-3}{4}=\frac{-3y-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x+3y+1=0\end{matrix}\right.\) hay vế trái khi đó sẽ được tách thành:

\(\left(x+2y-1\right)\left(2x+3y+1\right)\)

Vậy ta làm như sau:

\(\Leftrightarrow2x^2+6y^2+7xy-x-y-1=24\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y-1\right)\left(2x+3y+1\right)=24\)

Đây là pt ước số cơ bản, chắc bạn tự lập bảng và tính được

\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)

\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)

\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)

Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:

\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng

Tương tự: ...

\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)

\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

thầy cho em hỏi chỗ căn (x-3)^2+4^2 sao ra hay vậy thầy

-Có \(\left|x+1\right|+\left(y-2\right)^2=0\)

-Vì \(\left|x+1\right|\ge0\forall x;\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left|x+1\right|=0\) ; \(\left(y-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=-1;y=2\)

-Thay \(x=-1;y=2\) vào \(C=2x^6y-3xy^3-20\) ta được:

\(C=2.\left(-1\right)^6.2-3.\left(-1\right).2^3-20=8\)

Ta có: x² - 2x + 1 = 6y² - 2x + 2.

=> x² - 1 = 6y² => 6y² = (x - 1) . (x + 1) chia hết cho 2, do 6y² chai hết cho 2.

Mặt khác x - 1 + x + 1 = 2x chia hết cho 2 => (x - 1) và (x + 1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x - 1) và (x + 1) cùng chẵn => (x - 1) và (x + 1) là hai số chẵn liên tiếp.

(x - 1) . (x + 1) chia hết cho 8 => 6y² chia hết cho 8 => 3y² chia hết cho 4 => y² chia hết cho 4 => y chia hết cho 2

Từ đó suy ra y = 2 (Vì y là số nguyên tố), tìm được x = 5.