tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(2^{2n}\)+\(4^{n+2}\)=264
nhanh lên mk đang cần gấp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
Ta có: $9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$
Xét modulo $3$:
$n^2(n+1)^2+2n\equiv0\pmod3$
Thử $n\equiv0,1,2\pmod3$ thì suy ra:
$n\equiv0$ hoặc $1\pmod3$.
Bây giờ xét modulo $9$.
Với $m\ge2$:
$9^m-3^m\equiv0\pmod9$ nên:
$n^4+2n^3+n^2+2n\equiv0\pmod9$.
Ta thử $n$ theo modulo $9$, suy ra:
$n\equiv0,1,3,6,7\pmod9$.
Để tìm nghiệm, xét $m=1$:
$9-3=6$
$n^4+2n^3+n^2+2n=6$
$n^2(n+1)^2+2n=6$
Thử $n=1$:
$1+2+1+2=6$.
Vậy $(m,n)=(1,1)$.
Với $m\ge2$, ta có:
$3^{2m}-3^m=n^2(n+1)^2+2n$
$<n^2(n+1)^2+2n+1$
$=(n(n+1)+1)^2$.
Suy ra:
$3^{2m}<\left(n(n+1)+1\right)^2$
$\Rightarrow 3^m<n(n+1)+1$.
Mặt khác:
$n^2(n+1)^2<3^{2m}$
$\Rightarrow n(n+1)<3^m$.
Do đó:
$n(n+1)<3^m<n(n+1)+1$,
điều này không thể xảy ra vì $n(n+1)$ và $3^m$ đều là số nguyên.
Vậy chỉ có: $(m,n)=(1,1)$.
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
Ta có:
$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2$
Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:
$k^2=a(a-1)-2$
$k^2=a^2-a-2$
$4k^2=(2a-1)^2-9$
$\Rightarrow (2a-1-2k)(2a-1+2k)=9$
Vì $a=3^m\ge3$, hai thừa số dương và là số nguyên lẻ.
Do đó:
$2a-1-2k=1$
$2a-1+2k=9$
Cộng hai phương trình:
$4a-2=10$
$a=3$
$\Rightarrow 3^m=3\Rightarrow m=1$
Khi đó:
$k=2$
$n(n+1)=2$
$\Rightarrow n=1$.
Vậy: $(m,n)=(1,1)$.
CB
0
22 tháng 12 2021
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
ai lm dc mk cho 4 k
Ta có: \(2^{2n-1}+4^{n+2}=264\)
\(\Rightarrow\)\(2^{2n}:2+4^n.4^2=264\)
\(\Rightarrow\)\(2^{2n}.\frac{1}{2}+2^{2n}.16\)=264
\(\Rightarrow\)\(2^{2n}.\frac{1}{2}+16\)=264
\(\Rightarrow\)\(2^{2n}.\frac{1}{2}=264-16\)
\(\Rightarrow\)\(2^{2n}.\frac{1}{2}=248\)
\(\Rightarrow\)\(2^{2n} =496\)
Từ đó tính ra nha.