Gọi I là trung điểm của BC

Xét tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên \(AI=\frac{1}{2}BC\)

Theo quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có \(AH\le AI\Rightarrow AH\le\frac{1}{2}BC\)\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}\le\frac{1}{2}\)(1)

Ta có \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH^2}{AH.BC}=\frac{AH}{BC}\)(2)

Từ (1) (2) suy ra \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\le\frac{1}{2}\)

rảnh quá ha...ko có gì làm hay sao vậy

a) Tam giác ABC đều => Kẻ AH vuông góc với BC thì H là trung điểm của BC => BH = BC/2 = a/2

Tính được AH theo định lý Pytago: AH = a3√2a32

=> Diện tích của tam giác ABC là: 12.a3√2.a=a23√412.a32.a=a234

b) Xét các cặp tam giác bằng nhau dựa trên tam giác ABC đều vào tỉ số đề bài cho (CGC) em sẽ => Tam giác DEF có 3 cạnh bằng nhau => tam giác đều

c) Tam giác DEF và tam giác ABC đồng dạng

=> SDEF/SABC = (DE/AB)2

A C H B E F D

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHB

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔAHC

=>\(\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{EAF}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

Gọi M là trung điểm của BC

=>AH<=AM

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

=>\(\frac12\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot AH\cdot BC\)

\(S_{AEHF}-S_{ABC}=\frac{AH^3}{BC}-\frac14\cdot AH\cdot BC=AH\left(\frac{AH^2}{BC}-\frac14\cdot BC\right)\)

\(=AH\left(\frac{AH^2}{BC}-\frac{BC}{4}\right)=AH\left(\frac{4\cdot AH^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)\le\left(\frac{4\cdot AM^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)=\left(\frac{\left(2\cdot AM\right)^2-BC^2}{4\cdot BC}\right)=0\)

=>\(S_{AEHF}\le S_{ABC}\)

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>ΔABC vuông cân tại A

.