Ta có : \(x^2+2018y^2-4xy-3x+6y+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4xy+4y^2-3\left(x-2y\right)+2+2014y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2-3\left(x-2y\right)+2=-2014y^2\)

do \(y^2\ge0\Rightarrow-2014y^2\le0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2-3\left(x-2y\right)+2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y-1\right)\left(x-2y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le x-2y\le2\) Vậy Min P = 1 khi x = 1 ; y = 0

Max P = 2 khi x = 2 ; y = 0

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/83670859470.html

https://olm.vn/hoi-dap/detail/83670859470.html

https://olm.vn/hoi-dap/detail/83670859470.html

\(x+2y^3+8xy\ge2\) (1)

Nếu x<=0; y<=0 thì VT<=0<2

=>x và y không thể cùng âm

Đặt t=2y

(1)=>\(x+\frac{t^3}{4}+4xt\ge2\)

=>\(4x+t^3+16xt\ge8\)

\(P = 8x^4 + \frac{1}{2}y^4 - 2xy = 8x^4 + \frac{t^4}{32} - xt\)

Theo AM-GM, ta có:

\(8x^4 + \frac{1}{2}y^4 \ge 2\sqrt{8x^4 \cdot \frac{1}{2}y^4} = 2\sqrt{4x^4 y^4} = 4x^2 y^2\)

Dấu '=' xảy ra khi y=2x

=>\(P \ge 4x^2 y^2 - 2xy = (2xy)^2 - (2xy)\)

Thay y=2x vào (1), ta được:

\(x + 2(2x)^3 + 8x(2x) \ge 2\)

=>\(16x^3+16x^2+x-2\ge0\)

=>\((2x-1)(8x^2+12x+2)\ge0\)

=>2x-1>=0

=>x>=1/2

=>y=2x>=1; \(2xy=2x\cdot2x=4x^2\ge4\cdot\left(\frac12\right)^2=1\)

\(P = 8x^4 + \frac{1}{2}(2x)^4 - 2x(2x)\)

\(=8x^4+8x^4-4x^2=16x^4-4x^2=4x^2\left(4x^2-1\right)\ge0\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=1/2 và y=2x=1