Bài 66:

a, Xét tam giác vuông \(ABE\) và \(CAD\) :

\(AB=AC\) ( giả thiết )

\(\widehat{A} = 90^\circ\)

\(AD = AE\) ( giả thiết )

\(\Longrightarrow\Delta ABE=\Delta CAD\left(c-g-c\right)\)

\(\Longrightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CAD}\) ( 2 góc tương ứng )

Kết hợp với các tính chất góc phụ nhau và tam giác vuông cân \(ABC\) ta chứng minh được \(\Delta AIN\) cân tại \(A\) , từ đó \(\Longrightarrow AI=AC\) , hay \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CI\)

b, Dựa vào tính chất đoạn chắn, hệ quả của các tam giác bằng nhau và góc trong tam giác vuông cân, ta suy ra được độ dài hai đoạn thẳng \(CM=MN\)

Bài 67:

a, Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta NCM\) :

\(\) \(\) \(BM = CM\) ( \(M\) là trung điểm \(BC\) )

\(\widehat{AMB} = \widehat{NMC}\) ( hai góc đối đỉnh )

\(AM = NM\) ( \(M\) là trung điểm của\(\) \(AN\) )

\(\Longrightarrow\Delta ABM=\Delta NCM\left(c-g-c\right)\)

\(\Longrightarrow AB=CN\) ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Longrightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CNM}\) ( 2 góc tương ứng )

Vì hai góc này ở vị trí so le trong nên ta có \(CN \parallel AB\)

b, Vì \(CN \parallel AB\) và \(AB \perp AC\) \(\Longrightarrow CN\perp AC\Longrightarrow\widehat{ACN}=90^{\circ}\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\) \(\Delta CNA\) :

\(\widehat{BAC} = \widehat{NCA} = 90^\circ\)

\(AC\) chung

\(AB = CN\) ( cm câu a )

\(\Longrightarrow\Delta ABC=\Delta CNA\left(c-g-c\right)\) \(\Longrightarrow BC=AN\) ( 2 cạnh tương ứng )

Vì \(\) \(M\) là trung điểm của \(AN\) nên ta có \(AM = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\)

Bài 68:

rên tia đối của tia \(DA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(DI=DA\) . Xét các tam giác bằng nhau liên quan đến trung điểm \(D\) của \(BC\) và các góc vuông tại \(A\left(AF\perp AB,AH\perp AC\right)\)

Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ICD\) (c-g-c) \(\Longrightarrow IC=AB=AF\) và các góc tương ứng bằng nhau

Xét \(\Delta FAH\) và \(\Delta CIA\) , ta chứng minh được hai tam giác này bằng nhau, từ đó \(\Longrightarrow\) độ dài cạnh \(FH=AI\)

b, Gọi giao điểm của \(AD\) và \(FH\) là \(K\) . Từ tổng các góc trong tam giác vuông và tính chất tam giác bằng nhau, ta suy ra góc tạo bởi \(AD\) và \(FH\) bằng \(90^\circ\) , tức là \(DA \perp FH\)

Bài 69:

Xét \(\Delta ADE\) và\(\) \(\Delta CFE\) có:

\(AE = CE\) ( \(E\) là trung điểm \(AC\) )

\(\widehat{AED} = \widehat{CEF}\) ( hai góc đối đỉnh )

\(DE = FE\) ( \(E\) là trung điểm của \(DF\) )

\(\Longrightarrow\Delta ADE=\Delta CFE\left(c-g-c\right)\) \(\Longrightarrow AD=CF\) ( 2 cạnh tương ứng )

Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AD=BD\) . Từ đó \(\Longrightarrow BD=CF\)

b, Từ \(\Delta ADE = \Delta CFE\) ta có \(\widehat{ADE} = \widehat{CFE}\) \(\Longrightarrow AD\parallel CF\) hay \(AB \parallel CF\)

Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta FCB\) có:

\(BD=CF\left(\operatorname{cm}t\right)\)

\(\widehat{DBC} = \widehat{FCB}\) ( hai góc so le trong do \(AB \parallel CF\) )

\(BC\) chung

Do đó \(\Delta BDC=\Delta FCB\left(c-g-c\right)\) \(\Longrightarrow DC=FB\) và \(\widehat{DCB} = \widehat{FBC}\)

\(\Longrightarrow\) Có \(DE = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2}BC\) và \(DE \parallel BC\) ( tính chất đường trung bình trong tam giác )