\(AC=10\cdot tan\left(30^o\right)=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\)

xét tam giác ABC cân tại A

có AM là trung tuyến

=> AM là đg cao

ta có góc AMB =90 độ

ADB=90 độ(BD vg góc AC)

=>Tứ giác ABMD nội tiếp

xét tam giác BDM có N,I lần lượt là trg điểm MB,BD

=> NI là đtb tam giác BMD

=>IN//DM=> góc INM= DMC

=> góc DMC =BAK 

ta có gócINM=BAK cùng= DMC

=> tứ giác ABNK nội tiếp

b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung

góc CNK= BAC(cmt)

=> 2 tam giác CNK, CAB đồng dạng(g.g)

=> CK/cb= CN/AC

=> AC.CK=BC.CN

mà CN=MN+MC= BC/4+BC/2=3BC/4

nên AC.CK=3.BC^2/4=> BC^2= 4/3AC.CK

a) xét tam giác ABC cân tại A

 AM là đường trung tuyến => AM là đường cao

ta có : AMB = 90 độ

 ADB = 90 độ ( BD vuông góc với AC)

=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn

xét tam giác BDM có lần lượt N, I là trung điểm của MB và BD

=> NI là đường trung bình của tam giác BDM

=> IN//DM

=>  +INM = DMC

+ DMC = BAK

=> INM = BAK

=> tứ giác $ABNK$ nội tiếp.

b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung 

góc CNK = BAC

=> tam giác CNK đồng dạng với tam giác CAB

=> CK/CB=CN/AC

=> AC.CK=BC.CN

mà CN = MN+MC= BC/4 + BC/2=3BC/4

nên AC.CK=3BC^2/4=> BC2=34​CA.CK

1 A

2 D

3 B

4 A

5 B

6 D

ngủ đi

A. Ta có: $\angle BAD=\angle CAD$ $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle CAD =$ $\angle ACD$ Vậy $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ trong tam giác $ABC$ Do đó ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (định lí phân giác) Mà $\angle A=\angle AHD$ (Do $H$ thuộc đường thẳng $AC$ là đường cao của tam giác $ABD$) $\angle HDA=180^{\circ}-\angle BDA=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}=\angle C$ Vậy $\frac{HD}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ Vậy $HD=BD$ và $\angle B=60^{\circ}=\angle HAD$ Do đó $\triangle AHD \cong \triangle ABD$ Vậy $\triangle ABC \cong \triangle AHD$ B. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Lại có $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ Do đó, ta có: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DA}$ Vậy $DC=DA$, vậy $AD$ là đường trung trực của $BH$ C. Ta có $\angle AHD = \angle B = 60^{\circ}=\angle HAC$, vậy $\triangle AHD \sim \triangle ACH$ Do đó $\dfrac{HA}{HD}= \dfrac{HC}{HA}$ Vậy $HA=HC$ D. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có $DC>AB$ (Bất đẳng thức tam giác) E. Gọi $E$ là trung điểm của $CS$ thì ta có $CE=\frac{1}{2}CS$ Mà $\angle ACB=\angle AHB=90^{\circ}$, do đó $AH//CB$, ta có $\triangle AHB \sim \triangle ACB$ Vậy $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}$ Do đó $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$ Vì $HEBC$ là hình bình hành nên ta có $BC=HE$ Vậy $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HE}{AC}$ Lại có $\triangle HSD \sim \triangle AHC$ Vậy $\dfrac{HS}{AC}=\dfrac{HD}{AH}$ Do đó $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{HD+DE}{AC}=\dfrac{HD}{AC}+\dfrac{DE}{AC}$ Vì $HA=HC$ nên ta có $HD=\frac{1}{2}AC$ Vậy $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}$ Mà $HE=\frac{1}{2}CS=\frac{1}{4}AB$ nên $\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{1}{4}$ Do đó $\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}$ Vậy $\dfrac{DE}{AC}=-\dfrac{1}{4}$ Ta có $\triangle BDS \sim \triangle ACS$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}$ Mà $\angle B =\angle HAD=60^{\circ} =\angle SDC$ Nên tam giác $SDC$ cũng là tam giác đều với $SD=DC$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}=\dfrac{1}{2}$ Do đó $DE=\frac{-1}{4}AC$, suy ra $DE$ song song với $AC$ Lại có $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH$ vuông góc với $AC$ Do đó $AD$ là đường trung trực của $BH$ nên $DE$ cũng là đường trung trực của $BH$ Vậy ta được $A,D,E$ thẳng hàng Chúc bạn học tốt!

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21​BAC=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^DAx

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì