a: \(u_1=3\cdot1+1=4;u_2=3\cdot2+1=7;u_3=3\cdot3+1=10\)

Vì \(u_2-u_1=u_3-u_2\left(=3\right)\)

nên đây là cấp số cộng có \(u_1=4;d=3\)

b: Tổng của 100 số hạng đầu tiên là:

\(S_{100}=\frac{100\cdot\left\lbrack2u_1+99\cdot d\right\rbrack}{2}=50\cdot\left(2u_1+99d\right)\)

\(=50\cdot\left(2\cdot4+99\cdot3\right)=50\left(8+297\right)=50\cdot305=15250\)

d: \(S_{n}=3875\)

=>\(\frac{n\cdot\left\lbrack2u_1+\left(n-1\right)\cdot d\right\rbrack}{2}=3875\)

=>n(2*4+(n-1)*3)=7750

=>n(8+3n-3)=7750

=>n(3n+5)=7750

=>\(3n^2+5n-7750=0\)

=>\(3n^2-150n+155n-7750=0\)

=>(n-50)(3n+155)=0

=>n=50(nhận) hoặc n=-155/3(loại)

Số vị trí thỏa mãn để sách toán và quyển sách lịch sử không nằm cùng nhau là:

\(2\cdot2=4\left(cách\right)\)

Vậy có 4 cách xếp

Gọi thứ tự TOÁN - TA -TV -LS tương ứng là 1-2-3-4
Ta có các cách xếp: 1-2-3-4 ; 1-2-4-3 ; 2-1-3-4 ; 2-4-3-1 ; 3-1-2-4 ; 3-4-2-1 ; 4-2-1-3 ; 4-3-2-1

Tổng có 6 cách 

1: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

2: ADHE là hình chữ nhật

=>AD=HE; AE=HD; AH=DE

Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

\(AD\cdot AB+AE\cdot AC\)

\(=AH^2+AH^2=2AH^2=2DE^2\)

3: Xét ΔBAC có HD//AC

nên \(\frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(\frac{BD}{BH}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BD^2}{BH^2}=\frac{BA^2}{BC^2}\)

Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\left(\frac{CH}{CA}\right)^2=\left(\frac{CA}{CB}\right)^2=\frac{CA^2}{CB^2}\)

\(\frac{HC^2}{AC^2}+\frac{BD^2}{BH^2}\)

\(=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}\)

=1

bài nào thế ạ

giúp mk vs ạ