Bài 3. Cho x; y là hai số dương. Chứng minh rằng:a) \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\) b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\) c) \(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\) d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)...
Đọc tiếp
Bài 3. Cho x; y là hai số dương. Chứng minh rằng:
a) \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
c) \(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
a, x^3+y^3−x^2y−xy^2≥0
x^2(x−y)+y^2(y−x)≥0
=x^2(x−y)−y^2(x−y)
=(x−y)(x^2−y^2)
Dùng hằng đẳng thức x^2−y^2=(x−y)(x+y):
=(x−y)^2(x+y)≥0
Vì x,y>0⇒x+y>0 và (x−y)^2≥0.
Vậy:
x^3+y^3≥x^2y+xy^2
chào lại em An baka nha:)
a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)
= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)
vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)
"=" xảy ra ki x=y
b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
vì x,y>0 nên x+y>0
=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)
\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y
"=" xảy ra khi x=y
c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)
\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)
"=" khi x=y
d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)
vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
"=" xảy ra khi x=y