Cho \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}.\) Chứng minh A vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 7.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KV
13 tháng 11 2018
\(C=2+2^2+2^3+......+2^{100}⋮31\)
\(C=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^{95}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(C=2.31+.......+2^{95}+31\)
\(C=31.\left(2+2^{95}\right)⋮31\)
\(\Rightarrow C⋮31\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
20 tháng 10 2022
Sửa đề: \(B=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=15\left(2+2^5+...+2^{97}\right)⋮5\)
\(B=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(=31\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)
LB
2
TN
18 tháng 9 2017
Gọi C là giá trị của biểu thức trên
a) CMR : C chia hết cho 31
\(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(C=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{19}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)
\(C=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(C=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)
\(C=31\left(2+2^6+2^{10}+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)
b) CMR : C chia hết cho 5
\(C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\)
\(=\left(2+2^3\right)+\left(2^2+2^4\right)+...+\left(2^{97}+2^{99}\right)+\left(2^{98}+2^{100}\right)\)
\(=2\left(1+2^2\right)+2^2\left(1+2^2\right)+...+2^{97}\left(1+2^2\right)+2^{98}\left(1+2^2\right)\)
=\(2.5+2^2.5+...+2^{97}.5+2^{98}.5\)
\(=5\left(2+2^2+...+2^{97}+2^{98}\right)⋮5\)(đpcm)
Vậy 2 + 2^2 + 2^3 + ...+ 2^98 + 2^99 + 2^100 vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 31
LG
16 tháng 11 2025
a) CMR : C chia hết cho 31
\(C = 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{99} + 2^{100}\)
\(C = \left(\right. 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} \left.\right) + \left(\right. 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} + 2^{19} \left.\right) + . . . + \left(\right. 2^{96} + 2^{97} + 2^{98} + 2^{99} + 2^{100} \left.\right)\)
\(C = 2 \left(\right. 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} \left.\right) + 2^{6} \left(\right. 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} \left.\right) + . . . + 2^{96} \left(\right. 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} \left.\right)\)
\(C = 2.31 + 2^{6} . 31 + . . . + 2^{96} . 31\)
\(C = 31 \left(\right. 2 + 2^{6} + 2^{10} + . . . + 2^{96} \left.\right) 31\)(đpcm)
b) CMR : C chia hết cho 5
\(C = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + . . . + 2^{97} + 2^{98} + 2^{99} + 2^{100}\)
\(= \left(\right. 2 + 2^{3} \left.\right) + \left(\right. 2^{2} + 2^{4} \left.\right) + . . . + \left(\right. 2^{97} + 2^{99} \left.\right) + \left(\right. 2^{98} + 2^{100} \left.\right)\)
\(= 2 \left(\right. 1 + 2^{2} \left.\right) + 2^{2} \left(\right. 1 + 2^{2} \left.\right) + . . . + 2^{97} \left(\right. 1 + 2^{2} \left.\right) + 2^{98} \left(\right. 1 + 2^{2} \left.\right)\)
=\(2.5 + 2^{2} . 5 + . . . + 2^{97} . 5 + 2^{98} . 5\)
\(= 5 \left(\right. 2 + 2^{2} + . . . + 2^{97} + 2^{98} \left.\right) 5\)(đpcm)
Vậy 2 + 2^2 + 2^3 + ...+ 2^98 + 2^99 + 2^100 vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 31
28 tháng 10 2016
a, Ta co : M= ( 1 +4 + 42 ) + ( 43 + 44 + 45 ) +.......................+ ( 42010 + 42011 +42012 )
M = 1. (1+4+16 ) +43. (1+4+16 ) +.........................+ 42010. ( 1+4 +16
M = 1, 21 + 43. 21 +..............................................+ 42010 .21
M= 21.(1+43+.................................... + 42010 ) CHIA HẾT 21
TƯƠNG TƯ
10 tháng 11 2017
B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3
b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)
Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6
+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7
+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7
+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7
Vậy a^7-a chia hết cho 7
10 tháng 11 2017
b, a^7-a=a(a^6-1)
=a(a^3+1)(a^3-1)
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1)
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1)
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1)
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7)
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1)
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6)
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7)
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7)
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)]
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7.
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7
CM chia hết cho 3:
<=> A=\(2\left(2+1\right)+\cdots+2^{99}\left(2+1\right)\)
=> \(A=2\cdot3+.\ldots+2^{99}\cdot3\)
\(A=3\left(2+\cdots+2^{99}\right)\)
=> A⋮3
CM chia hết cho 7
\(\Leftrightarrow A=2\left(1+2+2^2\right)+.\ldots+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=2\cdot7+\cdots+2^{98}\cdot7\)
\(A=7\left(2+\cdots+2^{98}\right)\)
=>A⋮7
Ta có: $A = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \dots + (2^{99} + 2^{100})$
$A = 2 \cdot (1 + 2) + 2^3 \cdot (1 + 2) + \dots + 2^{99} \cdot (1 + 2)$
$A = 2 \cdot 3 + 2^3 \cdot 3 + \dots + 2^{99} \cdot 3$
$A = 3 \cdot (2 + 2^3 + \dots + 2^{99})$
Vì $3 \ \vdots \ 3$ nên $3 \cdot (2 + 2^3 + \dots + 2^{99}) \ \vdots \ 3$
Do đó: $A \ \vdots \ 3$ (1)
Lại có:
$A = 2 + (2^2 + 2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6 + 2^7) + \dots + (2^{98} + 2^{99} + 2^{100})$
$A = 2 + 2^2 \cdot (1 + 2 + 2^2) + 2^5 \cdot (1 + 2 + 2^2) + \dots + 2^{98} \cdot (1 + 2 + 2^2)$
$A = 2 + 2^2 \cdot 7 + 2^5 \cdot 7 + \dots + 2^{98} \cdot 7$
$A = 2 + 7 \cdot (2^2 + 2^5 + \dots + 2^{98})$
Vì $7 \cdot (2^2 + 2^5 + \dots + 2^{98}) \ \vdots \ 7$ nhưng $2$ không chia hết cho $7$ nên kết quả này cho thấy $A$ chia cho $7$ dư $2$.