1. Phương pháp giải chung

Xét phương trình mũ: ax = b (1)

Dựa vào tính chất của hàm số, tập giá trị của hàm số y = ax là (0; +∞) nên ta chia thành 2 trường hợp như sau:

• b > 0: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = loga b.
• b ≤ 0: Phương trình (1) vô nghiệm.

Tuy nhiên phương pháp này thường chỉ ứng dụng cho các bài toán tổng quát hoặc cái bài toán đơn giản. Và thường là xuất hiện trong bước giải toán cuối cùng của một phương trình.

#2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng cùng cơ số. Khi đó ta cho các số mũ bằng nhau được một phương trình tương đương mới.

af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x), với 0 < a ≠ 1

Chú ý: Nếu cơ số a có chứa biến thì cần xét thêm trường hợp a = 1 (Vì 1f(x) = 1g(x) luôn đúng)

#3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Thông thường, ta sẽ đặt t = ax, Điều kiện t > 0

Một số phương trình thường gặp và cách đặt:

+) m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 → Đặt t = af(x), (t > 0)

+) m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a․b = 1 → Đặt t = af(x), (t > 0), suy ra 

+) m.a2f(x) + n.(a․b)f(x) + p.b2f(x) = 0 → Chia hai vế cho b2f(x) và đặt 

Chú ý: Nếu đặt t = ax và x ∈ (m; n) thì

+) t ∈ (am; an) khi a >1.

+) t ∈ (an; am) khi 0 < a < 1.

#4. Phương pháp logarit hoá

Phương trình 

Phương trình af(x) = bg(x) (*), với a,b không đưa được về cùng cơ số nên không sử dụng được phương pháp số 2. Ta thực hiện bằng cách lấy logarit cơ số a cho hai về của phương trình (*).

Từ đó ta được phương trình tương đương như sau:

(*) ⇔ loga af(x) = loga bg(x) ⇔ f(x) = g(x)․loga b

Đây sẽ là một phương trình cơ bản hơn rất nhiều so với phương trình (*) theo đầu bài cho.

Cách giải phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng sau:

loga x = b, (Trong đó điều kiện được cho: 0 < a ≠ 1).

Để giải phương trình này với nhiều biến thể khác nhau, VerbaLearn giới thiệu đến các bạn 4 phương pháp phổ biến sau. Thử lần lượt các phương pháp bạn sẽ có cách giải bài toán một cách hoàn hảo nhất.

#1. Phương pháp giải cơ bản

Xét lại phương trình logarit: loga x = b (*)

Theo như bài hàm số logarit, tập giá trị của hàm số y = loga x là ℝ. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất là:

x = ab.

Ở phương pháp cơ bản này, bạn cần chú ý một số công thức như sau để có thể giải toán nhanh hơn:

+) ln x = b ⇒ x = eb

+) log x = b ⇒ x = 10b

+) logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

#2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng:

Một lưu ý quan trọng trong phương pháp này. Khi gặp phương trình có từ 2 biểu thức logarit trở lên thì chúng ta cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. Nếu không đặt điều kiện sẽ sai bản chất hoặc thừa nghiệm và mất điểm đáng tiếc.

#3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ở các bài toán thường gặp, phép đặt phổ biến nhất là: t = loga x, Điều kiện t ∈ ℝ. Điều kiện này dựa vào tập giá trị của hàm số logarit.

Chú ý:

Để xác định miền của t. Nếu đặt t = loga x và x ∈ (m; n) thì:

+) t ∈ (loga m; loga n) khi a > 1

+) t ∈ (loga n; loga m) khi 0 < a < 1

Với 0 < x ≠ 1 ta có: . Do đó, nếu đặt t = loga x thì 

#4. Phương pháp mũ hoá

Ta có: 

Trường hợp phương trình logarit không thể xử lý được. Phương pháp cuối cùng là mũ hóa (có kèm theo điều kiện), sau đó vận dụng các kiến thức từ phương trình mũ để giải bài toán. Hướng đi này cần một tầm nhìn tốt để tránh làm bài toán trở nên phức tạp hơn.

#1. Phương pháp giải chung

Xét phương trình mũ: ax = b (1)

Dựa vào tính chất của hàm số, tập giá trị của hàm số y = ax là (0; +∞) nên ta chia thành 2 trường hợp như sau:

• b > 0: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = loga b.
• b ≤ 0: Phương trình (1) vô nghiệm.

Tuy nhiên phương pháp này thường chỉ ứng dụng cho các bài toán tổng quát hoặc cái bài toán đơn giản. Và thường là xuất hiện trong bước giải toán cuối cùng của một phương trình.

#2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng cùng cơ số. Khi đó ta cho các số mũ bằng nhau được một phương trình tương đương mới.

af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x), với 0 < a ≠ 1

Chú ý: Nếu cơ số a có chứa biến thì cần xét thêm trường hợp a = 1 (Vì 1f(x) = 1g(x) luôn đúng)

#3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Thông thường, ta sẽ đặt t = ax, Điều kiện t > 0

Một số phương trình thường gặp và cách đặt:

+) m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 → Đặt t = af(x), (t > 0)

+) m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a․b = 1 → Đặt t = af(x), (t > 0), suy ra 

+) m.a2f(x) + n.(a․b)f(x) + p.b2f(x) = 0 → Chia hai vế cho b2f(x) và đặt 

Chú ý: Nếu đặt t = ax và x ∈ (m; n) thì

+) t ∈ (am; an) khi a >1.

+) t ∈ (an; am) khi 0 < a < 1.

#4. Phương pháp logarit hoá

Phương trình 

Phương trình af(x) = bg(x) (*), với a,b không đưa được về cùng cơ số nên không sử dụng được phương pháp số 2. Ta thực hiện bằng cách lấy logarit cơ số a cho hai về của phương trình (*).

Từ đó ta được phương trình tương đương như sau:

(*) ⇔ loga af(x) = loga bg(x) ⇔ f(x) = g(x)․loga b

Đây sẽ là một phương trình cơ bản hơn rất nhiều so với phương trình (*) theo đầu bài cho.

Cách giải phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng sau:

loga x = b, (Trong đó điều kiện được cho: 0 < a ≠ 1).

Để giải phương trình này với nhiều biến thể khác nhau, VerbaLearn giới thiệu đến các bạn 4 phương pháp phổ biến sau. Thử lần lượt các phương pháp bạn sẽ có cách giải bài toán một cách hoàn hảo nhất.

#1. Phương pháp giải cơ bản

Xét lại phương trình logarit: loga x = b (*)

Theo như bài hàm số logarit, tập giá trị của hàm số y = loga x là ℝ. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất là:

x = ab.

Ở phương pháp cơ bản này, bạn cần chú ý một số công thức như sau để có thể giải toán nhanh hơn:

+) ln x = b ⇒ x = eb

+) log x = b ⇒ x = 10b

+) logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

#2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng:

Một lưu ý quan trọng trong phương pháp này. Khi gặp phương trình có từ 2 biểu thức logarit trở lên thì chúng ta cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. Nếu không đặt điều kiện sẽ sai bản chất hoặc thừa nghiệm và mất điểm đáng tiếc.

#3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ở các bài toán thường gặp, phép đặt phổ biến nhất là: t = loga x, Điều kiện t ∈ ℝ. Điều kiện này dựa vào tập giá trị của hàm số logarit.

Chú ý:

Để xác định miền của t. Nếu đặt t = loga x và x ∈ (m; n) thì:

+) t ∈ (loga m; loga n) khi a > 1

+) t ∈ (loga n; loga m) khi 0 < a < 1

Với 0 < x ≠ 1 ta có: . Do đó, nếu đặt t = loga x thì 

#4. Phương pháp mũ hoá

Ta có: 

Trường hợp phương trình logarit không thể xử lý được. Phương pháp cuối cùng là mũ hóa (có kèm theo điều kiện), sau đó vận dụng các kiến thức từ phương trình mũ để giải bài toán. Hướng đi này cần một tầm nhìn tốt để tránh làm bài toán trở nên phức tạp hơn.

Chọn A.

Đặt . Với  suy ra 1 ≤  t ≤ 2.

Phương trình đã cho trở thành t² + t = 2m + 2  (*)

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn   có nghiệm 1 ≤ t ≤ 2

Xét hàm số f(t) = t² + t với1 ≤ t ≤ 2 , ta thấy  f’(t) = 2t + 1 nên f(t)  là hàm đồng biến trên đoạn [1; 2]

Suy ra 2 = f(1) ≤ f(t) ≤ f(2) = 6

Vậy phương trình có nghiệm khi 2 ≤ 2m + 2 ≤ 6 hay 0 ≤ m ≤ 2

 Suy ra có 3 giá trị nguyên m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. Hàm số mũ

Cho số a > 0 và a ≠ 1. Hàm số y = a x  được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Các tính chất của hàm số mũ y =  a x

2. Hàm Logarit

Cho số a > 0 và a ≠ 1 . Hàm số y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a

Tập xác định	(0; +∞)
Đạo hàm
Chiều biến thiên	+ Nếu a > 1: hàm số luôn đồng biến + Nếu 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm (1; 0); (a; 1) Nằm bên phải trục tung.

3. Liên hệ giữa đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số: Đồ thị của hàm số mũ và đồ thị của hàm số logarit đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

20.

ĐKXĐ: \(0< x< 1\)

\(log_2\left(log_{\dfrac{1}{3}}x\right)< 3\)

\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}x< 2^3=8\)

\(\Rightarrow x>\left(\dfrac{1}{3}\right)^8=\dfrac{1}{3^8}\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\dfrac{1}{3^8}< x< 1\)

21.

ĐKXĐ: \(x< 0\)

\(log_{\dfrac{5}{6}}\left(log_3\left(1-x\right)\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow0< log_3\left(1-x\right)\le\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow1-x\le3^{\dfrac{5}{6}}\)

\(\Rightarrow x\ge1-3^{\dfrac{5}{6}}\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow1-3^{\dfrac{5}{6}}\le x< 0\)

a) \(\log_2\left(\log_{\dfrac{1}{3}}x\right)< 3\)

Điều kiện:

\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\log_{\dfrac{1}{3}}x>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< x< 1\)

Phương trình tương đương:

\(\log_2\left(\log_{\dfrac{1}{3}}x\right)< 3\)

\(\Leftrightarrow\log_{\dfrac{1}{3}}x< 8\)

\(\Leftrightarrow x>\left(\dfrac{1}{3}\right)^8\) 

\(\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{6561}\) (loại)

1. Hàm số mũ

Cho số a > 0 và a ≠ 1. Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Các tính chất của hàm số mũ y = a^x

2. Hàm Logarit

Cho số a > 0 và a ≠ 1 . Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a

3. Liên hệ giữa đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số: Đồ thị của hàm số mũ và đồ thị của hàm số logarit đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

HT

a) Với điều kiện x > 0, ta có

logx + 2logx = log9 + logx

⇔ logx = log3 ⇔ x = 3

b) Với điều kiện x > 0, ta có

4logx + log4 + logx = 2log10 + 3logx

⇔ logx = log5 ⇔ x = 5

c) Ta có điều kiện của phương trình đã cho là:

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

= log416 ⇔ x 2  − 4 = 16

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện (1).

d) Với điều kiện x > 2, ta có phương trình

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện x > 2.

b)

c)

d)

e) Đặt t = logx với điều kiện t ≠ 5, t ≠ −1 ta có:

Suy ra log x < -1 hoặc 2 < log x < 3 hoặc log x > 5.

Vậy x < 1/10 hoặc 100 < x < 1000 hoặc x > 100 000.

g) Với điều kiện x > 0, x ≠ 1 đặt t = log 4 x

ta có: 

\(log_5x=6;log_2x=1\)

\(\log_2\left(x+1\right)=8;\log_3\left(x^2+x+1\right)=2\)