Bài 1:

\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac13\)

\(\frac{x+y}{xy}\) = \(\frac13\)

3(\(x+y\)) = \(xy\)

3\(x\) + 3y = \(xy\)

\(xy\) - 3\(y\) = 3\(x\)

y(\(x\) - 3) = 3\(x\)

y = \(\frac{3x}{x-3}\)

y ∈ Z ⇔ 3\(x\) ⋮ (\(x\) - 3)

(3\(x\) - 9 + 9) ⋮ (\(x\) - 3)

[(3\(x\) - 9) + 9] ⋮ (\(x\) - 3)

9 ⋮ (\(x\) - 3)

(\(x\) - 3) ∈ Ư(9) = {-9; - 3; - 1; 1; 3; 9}

\(x\) ∈ {- 6; 0; 2; 4; 6; 12}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có: (\(x\); y) = (-6; 2); (2; - 6); (4; 12) ; (6; 6); (12; 4)

Vậy (\(x\); y) = (-6; 2); (2; - 6); (4; 12); (6; 6); (12; 4)

vì vai trò các số x,y,z là như nhau ko mất tính tổng quát ta giả sử \(x\le y<z\)

TH1: giả sử x=0

=> \(0=2\left(0+y+z\right)\)

=> \(y+z=0\)

=>(x,y,z)=(0,0,0)

cả ba số đều khác 0( \(x,y,z\ge1\) )

vì \(x\le y\le z\) nên ta có: \(x+y+z\le z+z+z=3z\)

thay vào đề bài :

\(xyz=2\left(x+y+z\right)\le6z\)

vì \(z\ge1\) => \(xy\le6\)

do \(1\le x\le y\) và \(xy\le6\) ta xét các TH

TH1: x=1

=> \(1\cdot y\cdot z=2\left(1+y+z\right)\)

=> \(yz=2+2y+2z\)

\(yz-2y-2z=2\)

\(y\left(z-2\right)-2\left(z-2\right)-4=2\)

\(\left(y-2\right)\left(z-2\right)=6\)

vì \(x\le y\Rightarrow1\le y\Rightarrow y-2\le-1\) do \(y\le z\)

=> \(y-2\le z-2\)

ta lập bảng giá trị của 6

nếu x=2 thay vào phương trình ban đầu:

\(2\cdot y\cdot z=2\left(2+y+z\right)\)

=> \(yz=2+y+z\)

=> \(yz-y-z=2\)

=> \(y\left(z-1\right)-\left(z-1\right)-1=2\)

\(\left(y-1\right)\left(z-1\right)=3\)

ta lại có \(x\le y\Rightarrow2\le y\Rightarrow y-1\ge-1\) do \(y\le z\)

=> \(y-1\le z-1\)

thỏa mãn

nếu \(x\ge3\)

vì \(x\le y\Rightarrow y\ge3\Rightarrow xy\ge9\) (mâu thuẫn với \(xy\le6)\) loại

vậy (x;y;z)=(0,0,0)(1,3,8),(1,4,5)(2,2,4)

bài 3:

ko mất tính tổng quát ta giả sử: \(x\le y\le z\)

nếu có một số bằng 0 thì \(2\left(y+z\right)+9=0\) ( vô trái do luôn lớn hơn 0)

do đó \(x,y,z\ge1\)

vì \(x\le y\le z\Rightarrow x+y+z\le3z\) thay vào đề bài ta có:

\(3xyz=2\left(x+y+z\right)+9\le2\cdot3z+9=6z+9\)

TH1: \(xy\ge3\)

từ \(3xyz\le6z+9\) chia cả hai vế cho z

=> \(3xy\le6+\frac{9}{z}\le6+9=15\Rightarrow xy\le5\)

mặt khác \(xy\ge3\Rightarrow3xyz\ge9z\)

khi đó \(9z\le6z+9\) => \(3z\le9\Rightarrow z\le3\)

vì \(1\le x\le y\le z\le3\) và \(xy\ge3\) ta thử các bộ(x;y;z) có thể

bộ (1;3;3):2(1+3+3)+9=23≠3.1.3.3=27( loại)

bộ (2,2,2):2(2+2+2)+9=21≠3.2.2.2=24(loại)

bộ (2,2,3):2(2+2+3)+9=23≠3.2.2.3=36(loại)

bộ (2,3,3):2(2+3+3)+9=25≠3.2.3.3=54(loại)

bộ (3,3,3):2(3+2+3)+9=27≠3.3.3.3=81(loại)

TH2:\(xy<3\)

vì \(1\le x\le y\) nên xy chỉ có thể bằng 1 hoặc 2

nếu xy=1=> x=1;y=1

\(2\left(1+1+z\right)+9=3\cdot1\cdot1\cdot z\)

\(4+2z+9=3z\)

=> \(z=13\) ( thỏa mãn)

nếu xy=2=> x=1;y=2

\(2\left(1+2+z\right)+9=3\cdot1\cdot2\cdot z\)

=> \(6+2z+9=6z\)

=> \(15=4z\)

=> \(z=\frac{15}{4}\) (loại)

vậy (x;y;z)=(1;1;13)

bài 4:

\(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

vì vai trò cảu a;b;c là như nhau ta giả sử \(1\le a<b<c\)

do a,b,c là các số nguyên dương nên \(a\ge1,b\ge2,c\ge3\)

nếu \(a\ge3\Rightarrow b\ge4,c\ge5\) khi đó ta có

\(A\le\frac13+\frac14+\frac15+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5}=\frac{59}{60}<1\)

vì A phải là số nguyên dương \(A\ge1\) nên \(a\ge3\) ko có nghiệm

vậy a chỉ có thể nhận 1 hoặc 2

TH1:a=1

vì a<b<c => 1<b<c=> \(b\ge2,c\ge3\) thay a=1 vào biểu thức A

\(A=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{c}=1+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{bc}\)

nếu b=2 khi đó \(c\ge3\)

A=\(1+\frac22+\frac{2}{c}+\frac{1}{2c}=2+\frac{5}{2c}\)

để A nguyên thì \(\frac{5}{2c}\) phải là số nguyên tuy nhiên vì

\(c\ge3\Rightarrow2c\ge6>5\Rightarrow0<\frac{5}{2c}<1\) ( loại)

nếu b=3 khi đó \(c\ge4\)

A=\(1+\frac23+\frac{2}{c}+\frac{1}{3c}=\frac53+\frac{7}{3c}\)

vì \(c>4\Rightarrow A\le\frac53+\frac{7}{12}=\frac{27}{12}=2,25\)

mà A\(>\frac53=1,67.\ldots\) nên A=2

=> \(\frac53+\frac{7}{3c}=2\Rightarrow\frac{7}{3c}=\frac13\Rightarrow3c=21\Rightarrow c=7\left(TMc>b\right)\)

nếu \(b\ge4\Rightar...