Cho tam giác \(A B C\) nhọn có \(A B < A C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) cắt nhau tại \(H\).a) Chứng minh:\(\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}\)b) Chứng minh:\(\hat{A E F} = \hat{C E D}\)c) Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(D\). Giao điểm của \(E F\) với \(A M\) là \(N\).Chứng minh:\(H N \cdot A D = A N \cdot D M\) ...
Đọc tiếp
Cho tam giác \(A B C\) nhọn có \(A B < A C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh:
\(\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}\)b) Chứng minh:
\(\hat{A E F} = \hat{C E D}\)c) Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(D\). Giao điểm của \(E F\) với \(A M\) là \(N\).
Chứng minh:
\(H N \cdot A D = A N \cdot D M\)
a) Xét ∆ABE và ∆ACF, ta có:
\(\widehat{A}\) là góc chung.
\(\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ\) (do BE, CF là đường cao).
=> ∆ABE = ∆ACF (g . g)
Do đó, \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (tỉ số đồng dạng)
Vậy \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (đpcm).
b) Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (cmt)
=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
Xét ∆AEF và ∆ABC, ta có:
\(\widehat{A}\) là góc chung.
\(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) (cmt)
=> ∆AEF = ∆ABC (c . g . c)
Do đó, \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Xét ∆CAD và ∆CBA, ta có:
\(\widehat{C}\) là góc chung.
\(\widehat{ADC} = \widehat{BEC} = 90^\circ\) (do AD, BE là đường cao).
=> ∆CAD = ∆CBA (g . g)
Do đó, \(\frac{CD}{CE} = \frac{CA}{CB} \Rightarrow \frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA}\)
Xét ∆CED và ∆CBA, có:
\(\widehat{C}\) là góc chung.
\(\frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA}\) (chứng minh trên).
=> ∆CED = ∆CBA (c . g . c)
=> \(\Rightarrow \widehat{CED} = \widehat{CBA}\) (hay \(\widehat{ABC}\) ) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy \(\widehat{AEF}\) và \(\widehat{CED}\) đều bằng \(\widehat{ABC}\).
Hay \(\widehat{AEF}=\widehat{CED}\)
Vậy \(\widehat{AEF}=\widehat{CED}\) (đpcm)
c) Vì ∆AEF = ∆ABC(cmt) nên \(\widehat{AFE} = \widehat{ACB}\)
Ta có: \(\widehat{AFE} + \widehat{EFH} + \widehat{HFB} = 180^\circ\)
Mà \(\widehat{HFB} = 90^\circ\) nên \(\widehat{AFE} + \widehat{EFH} = 90^\circ\).
Ta lại có: \(\widehat{BFD} + \widehat{DFH} = 90^\circ\)
Vì \(\widehat{AFE} = \widehat{BFD}\) (cùng bằng \(\widehat{ACB}\) ) nên \(\widehat{EFH} = \widehat{DFH}\).
=> FH là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\).
=> EH là tia phân giác \(\widehat{FED}\).
Xét ∆FED có H là giao điểm của hai đường phân giác FH và EH nên H là tâm dường tròn nội tiếp của ∆FED.
=> DH là tia phân giác trong của \(\widehat{EDF}\).
Vì AD⊥BC tại D nên DB là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của ∆FED.
Xét ∆ADN, có:
EF cắt AD tại H và AM tại N.
=> \(\frac{AN}{HN} = \frac{AD}{HD}\).
Mà M đối xứng với H qua D nên HD = DM.
Thay HD = DM vào \(\frac{AN}{HN}=\frac{AD}{HD}\), ta có:
\(\frac{AN}{HN} = \frac{AD}{DM}\)
=> HN . AD = AN . DM.(đpcm)
a) xét △ABE và △ACF có:
góc A chung
góc AEB= góc AFC= 90 độ
=>△ABE~△ACF(g.g)
=> \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)