A B C O D E H K I M N P S

a/

Ta có

\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) => B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc \(90^o\)

=> B; C nằm trên đường tròn đường kính AO => A; B; O; C cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

OA chung; OB=OC (bán kính (O)) => tg ABO = tg ACO (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau)

Xét tg ABH và tg ACH có

AH chung

AB=AC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...)

tg ABO = tg ACO (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

=> tg ABH = tg ACH (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=\widehat{BHC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\Rightarrow OA\perp BC\) tại H

Ta có ID=IE (gt) \(\Rightarrow OI\perp DE\) (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

Xét tg vuông AHK và tg vuông AIO có

\(\widehat{OAI}\) chung

=> tg AHK đồng dạng với tg AIO 

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}\Rightarrow AH.AO=AK.AI\)

c/

a) Do AB, AC tiếp xúc (O) tại B, C nên \(\widehat{OBA}=90^o\) và \(OA\perp BC\) tại H.

 Xét tam giác OAB vuông tại B có đường cao BH, ta có \(OB^2=OA.OH\)

 Mà \(OB=OD\left(=R_{\left(O\right)}\right)\) nên \(OD^2=OA.OH\). Từ đó suy ra \(\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{OH}{OD}\). Từ đó dễ dàng suy ra 2 tam giác OHD và ODA đồng dạng.

b) Tam giác OAB vuông tại B có đường cao BH nên \(AB^2=AH.AO\)

 Mặt khác, ta có \(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\) vì chúng lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD.

 \(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

Từ đó suy ra \(AH.AO=AD.AE\) hay \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AE}{AO}\). Do đó \(\Delta AHE~\Delta ADO\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{AOD}\) hay tứ giác OHDE nội tiếp.

 \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{DEO}=\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\)

\(\Rightarrow90^o-\widehat{AHD}=90^o-\widehat{OHE}\) \(\Rightarrow\widehat{DHI}=\widehat{EHI}\).

Ta suy ra được đpcm.

a: ΔODE cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc DE

=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA

=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔBSC và ΔCSD có

góc SBC=góc SCD

góc S chung

=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD

=>SB/CS=SC/SD

=>CS^2=SB*SD

góc DAS=gócEBD

=>góc DAS=góc ABD

=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA

=>SA/SB=SD/SA

=>SA^2=SB*SD=SC^2

=>SA=SC
c; BE//AC

=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS

mà SA=SC
nênHB=EH

=>H,O,C thẳng hàng

Sửa đề: BD là đường kính của (O), AD cắt (O) tại E.

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE⊥AD tại E

Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔABO vuông tại B có

\(\hat{HAB}\) chung

Do đó: ΔAHB~ΔABO

=>\(\frac{AH}{AB}=\frac{BH}{BO}\)

=>\(BA\cdot BH=AH\cdot BO=2\cdot AI\cdot\frac12BD=AI\cdot BD\)

=>\(\frac{BH}{AI}=\frac{BD}{AB}\)

Xét ΔBHD và ΔAIB có

\(\frac{BH}{AI}=\frac{BD}{AB}\)

\(\hat{HBD}=\hat{IAB}\left(=90^0-\hat{BOA}\right)\)

Do đó: ΔBHD~ΔAIB

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao

nên \(AB^2=AD\cdot AC\)

b: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>EB⊥EC

mà EC//OA

nên EB⊥OA tại H

ΔOBE cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BE và OH là phân giác của góc BOE

Xét ΔOBA và ΔOEA có

OB=OE

\(\hat{BOA}=\hat{EOA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOEA

=>\(\hat{OBA}=\hat{OEA}\)

=>\(\hat{OEA}=90^0\)

=>AE là tiếp tuyến của (O)

Xin lỗi các bạn. Đề bài đúng phải là so sánh BD với \(\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow OE\perp AB\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Do C đối xứng A qua M \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AC\)

Do E là trung điểm AB \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AM+AE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BD=ME\)

Trong tam giác vuông OAE, do OA là cạnh huyền và OE là cạnh góc vuông \(\Rightarrow OE< OA\Rightarrow OE< r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(ME^2=OM^2-OE^2=d^2-OE^2>d^2-r^2\)

\(\Rightarrow BD^2>d^2-r^2\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=> A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Ta có: ΔOED cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)ED tại I

=>OI\(\perp\)AE tại I

Xét ΔAIO vuông tại H và ΔAHK vuông tại H có

\(\widehat{IAO}\) chung

Do đó: ΔAIO~ΔAHK

=>\(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AO}{AK}\)

=>\(AH\cdot AO=AI\cdot AK\)

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I

Ta có: \(\hat{SIO}=\hat{SAO}=90^0\)

=>S,I,O,A cùng thuộc đường tròn đường kính SO

b: Xét (O) có

\(\hat{SAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AB

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{SAB}=\hat{ACB}\)

Xét ΔSAB và ΔSCA có

\(\hat{SAB}=\hat{SCA}\)

góc ASB chung

Do đó: ΔSAB~ΔSCA

=>\(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SA}\)

=>\(SB\cdot SC=SA^2\)