Tử  :Vì a là stn khác 0 => trong 2 số a và a+1 có 1 số chẵn => a (a+1) là số chẵn =>a (a+1) + 2024 là số chẵn  =>  a(a+1) + 2024  chia hết cho 2
Mẫu :+)Nếu b+c chẵn thì bc(b+c) chẵn => bc(b+c) chia hết cho 2
         +)Nếu b+c lẻ thì trong 2 số b và c có  1 số chẵn và 1 số lẻ=> bc(b+c) chẵn =>bc(b+c) chia hết cho 2
 Vì cả tử và mẫu đều chia hết cho 2 => phân số đó chưa tối giản

a) \(\left(x-2024\right)^{2023}=1\)

\(\Rightarrow\left(x-2024\right)^{2023}=1^{2023}\)

\(\Rightarrow x-2024=1\)

\(\Rightarrow x=2025\)

b) \(\left(2x-1\right)^5=32\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^5=2^5\)

\(\Rightarrow2x-1=2\)

\(\Rightarrow2x=3\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(5< 2^x< 100\)

\(\Rightarrow4=2^2< 5< 2^x< 100< 128=2^7\)

\(\Rightarrow2< x< 7\)

b , x = 3/2 a và b mình ko biết

Ta có: \(a^2\left(a+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11ab+2024\) (1)

Lại có: \(a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}\) 

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\cdot2\sqrt{5}\cdot3+3^2}-2\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}+3\right)^2}-2\sqrt{5}\)

\(=2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}\)

\(=3\)

\(\Rightarrow a=b+3\)

Thay \(a=b+3\) vào (1), ta được:

\(\left(b+3\right)^2\left(b+3+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11\left(b+3\right)b+2024\)

\(=\left(b^2+6b+9\right)\left(b+4\right)-b^3+b^2-11b^2-33b+2024\)

\(=b\left(b^2+6b+9\right)+4\left(b^2+6b+9\right)-b^3-10b^2-33b+2024\)

\(=b^3+6b^2+9b+4b^2+24b+36-b^3-10b^2-33b+2024\)

\(=\left(b^3-b^3\right)+\left(6b^2+4b^2-10b^2\right)+\left(9b+24b-33b\right)+\left(2024+36\right)\)

\(=2060\)

$\Rightarrow$ Chọn đáp án $C$.

Ta có : \(a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow a-b=\sqrt{20+12\sqrt{5}+9}-2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow a-b=\sqrt{\left(2\sqrt{5}+3\right)^2}-2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow a-b=2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow a-b=3\)

Xét biểu thức : \(a^2\left(a+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11ab+2024\)

\(=a^3+a^2-b^3+b^2-11ab+2024\)

\(=a^3-b^3+a^2+b^2-2ab-9ab+2024\)

\(=a^3-b^3-9ab+a^2-2ab+b^2+2024\)

\(=a^3-3ab\left(a-b\right)-b^3+\left(a-b\right)^2+2024\) vì \(a-b=3\)

\(=\left(a-b\right)^3+\left(a-b\right)^2+2024\)

\(=3^3+3^2+2024\)

\(=2060\)

\(\Rightarrow C\)

* Ta c/m: \(x^5-x⋮30\forall x\in Z\)

+ \(x^5-x=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

Vì \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮5\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\) ( do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau ) (1)

+ \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2\\\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\) ( do \(\left(2,3\right)=1\) )

\(\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Trở lại bài toán ta có:

\(P-M=a^{2019}\left(a^5-a\right)+b^{2019}\left(b^5-b\right)+c^{2019}\left(c^5-c\right)⋮30\)

( do \(a^5-a⋮30,b^5-b⋮30,c^5-c⋮30\) )

=> P và M có cùng số dư khi chia 30

=> P chia 30 dư 7

Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)

- Chứng minh A chia hết cho 2:
 +) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2

 +) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2

- Chứng minh A chia hết cho 3:
 +) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

 +) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:

 +) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5

 +) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5

Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7

c, |2\(x\) + 1| + |3\(x\) - 1| = 0

   vì |2\(x\) + 1| ≥ 0; |3\(x\) - 1| = 0

  ⇒ |2\(x\) + 1| + |3\(x\) - 1| = 0

   ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\3x-1=0\end{matrix}\right.\)

   ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2x=-1\\3x=1\end{matrix}\right.\)

   \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

       \(-\dfrac{1}{2}\) < \(\dfrac{1}{3}\) 

Vậy \(x\) \(\in\) \(\varnothing\)

a, Nếu 4.|3\(x\) - 1| = |6\(x\) - 2| + |-1,5|

             4.|3\(x\) -1| - 2.|3\(x\) - 1|  = 1,5

           Nếu 3\(x\) - 1 ≥ 0 ⇒ \(x\) ≥ \(\dfrac{1}{3}\)

Ta có: 4.(3\(x\) - 1) - 2.(3\(x\) - 1) = 1,5

           12\(x\) - 4 - 6\(x\) + 2 = 1,5

            6\(x\) - 2  = 1,5

            6\(x\)        = 1,5 + 2

            6\(x\)       = 3,5

               \(x\)      = 3,5: 6

                \(x\)    = \(\dfrac{7}{12}\)

Nếu 3\(x\) - 1 < 0 ⇒ \(x\) < \(\dfrac{1}{3}\)

Ta có: - 4.(3\(x\) - 1) = - (6\(x\) - 2) + 1,5

           -12\(x\) + 4 + 6\(x\) - 2 = 1,5

             -6\(x\) + 2 = 1,5

              6\(x\)         = 2- 1,5

              6\(x\)          = 0,5

                 \(x\)         = 0,5 : 6

                 \(x\)        = \(\dfrac{1}{12}\)

Vậy \(x\) \(\in\) {\(\dfrac{1}{12}\); \(\dfrac{7}{12}\)}

\(a,\dfrac{1}{2023}>0;-\dfrac{5}{2024}< 0\\ Nên:-\dfrac{5}{2024}< 0< \dfrac{1}{2023}\Rightarrow-\dfrac{5}{2024}< \dfrac{1}{2023}\\ b,\dfrac{678}{876}< 1;\dfrac{987}{789}>1\\ Nên:\dfrac{678}{876}< 1< \dfrac{987}{789}\Rightarrow\dfrac{678}{876}< \dfrac{987}{789}\)

\(c,\dfrac{535353}{585858}=\dfrac{535353:10101}{585858:10101}=\dfrac{53}{58}=1-\dfrac{5}{58}\\ \dfrac{301}{306}=1-\dfrac{5}{306}\\ Vì:\dfrac{5}{58}>\dfrac{5}{306}\Rightarrow1-\dfrac{5}{58}< 1-\dfrac{5}{306}\\ Nên:\dfrac{535353}{585858}< \dfrac{301}{306}\)

\(d,\dfrac{9}{71}=\dfrac{9.3}{71.3}=\dfrac{27}{213}\\ Vì:\dfrac{27}{213}< \dfrac{27}{211}\\ Nên:\dfrac{9}{71}< \dfrac{27}{211}\)

\(A=\dfrac{2024^{2023}+1}{2024^{2024}+1}\)

\(2024A=\dfrac{2024^{2024}+2024}{2024^{2024}+1}=\dfrac{\left(2024^{2024}+1\right)+2023}{2024^{2024}+1}=\dfrac{2024^{2024}+1}{2024^{2024}+1}+\dfrac{2023}{2024^{2024}+1}=1+\dfrac{2023}{2024^{2024}+1}\)

\(B=\dfrac{2024^{2022}+1}{2024^{2023}+1}\)

\(2024B=\dfrac{2024^{2023}+2024}{2024^{2023}+1}=\dfrac{\left(2024^{2023}+1\right)+2023}{2024^{2023}+1}=\dfrac{2024^{2023}+1}{2024^{2023}+1}+\dfrac{2023}{2024^{2023}+1}=1+\dfrac{2023}{2024^{2023}+1}\)

Vì \(2024>2023=>2024^{2024}>2024^{2023}\)

\(=>2024^{2024}+1>2024^{2023}+1\)

\(=>\dfrac{2023}{2024^{2023}+1}>\dfrac{2023}{2024^{2024}+1}\)

\(=>A< B\)

\(#PaooNqoccc\)

dễ

\(a,A=2024=2^3\times11\times23\\B=8^5\times 125^6=\left(2^3\right)^5\times\left(5^3\right)^6=2^{15}\times5^{18}\\ b,Ư\left(84\right)=\left\{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84\right\}\\\Rightarrow x\in\left\{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84\right\}\\ x\in B\left(21\right)=\left\{0;21;42;63;84;105;126;147;168;189;210;....\right\}\)

a: \(B=\dfrac{154}{155+156}+\dfrac{155}{155+156}\)

\(\dfrac{154}{155}>\dfrac{154}{155+156}\)

\(\dfrac{155}{156}>\dfrac{155}{155+156}\)

=>154/155+155/156>(154+155)/(155+156)

=>A>B

b: \(C=\dfrac{2021+2022+2023}{2022+2023+2024}=\dfrac{2021}{6069}+\dfrac{2022}{6069}+\dfrac{2023}{6069}\)

2021/2022>2021/6069

2022/2023>2022/2069

2023/2024>2023/6069

=>D>C