a. Xét tam giác ABC có:

DE//BC (gt)

=>\(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}\)(định lý Ta-let) (1)

Xét tam giác ADE có:

AD//CF (gt)

=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{DE}{EF}\)(định lý Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:\(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{ED}{FE}\)

câu b) bạn cố tình kẻ EI//BC hay sao vậy nhỉ?

a: Xét ΔCDF vuông tại D và ΔCDK vuông tại D có

CD chung

\(\hat{DCF}=\hat{DCK}\)

Do đó: ΔCDF=ΔCDK

b: Sửa đề: cắt AC tại E

Ta có: DE//BC

=>\(\hat{EDC}=\hat{DCB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DCB}=\hat{ECD}\) (CD là phân giác của góc ECB)

nên \(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)

=>ΔECD cân tại E

Ta có: \(\hat{EDC}+\hat{EDK}=\hat{KDC}=90^0\)

\(\hat{ECD}+\hat{EKD}=90^0\) (ΔDKC vuông tại D)

mà \(\hat{EDC}=\hat{ECD}\) (ΔECD cân tại E)

nên \(\hat{EDK}=\hat{EKD}\)

=>ΔEDK cân tại E

c: DE//BC

=>\(\hat{ADE}=\hat{ABC};\hat{AED}=\hat{ACB}\) (các cặp góc đồng vị)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ADE}=\hat{AED}\)

=>AD=AE

Ta có: AD+DB=AB

AE+EC=AC

mà AD=AE và AB=AC

nên DB=EC

EC=ED

ED=EK

Do đó: EK=EC

=>E là trung điểm của CK

=>CK=2CE

=>CK=2BD

mà CK=CF

nên CF=2BD

d: ΔADE cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên M là trung điểm của DE

=>DE=2DM

=>\(DM=\frac12DE=\frac12\cdot\frac12\cdot CF=\frac14CF\)

a) Xét tứ giác DFCB có 

DF//BC

CF//DB

Do đó: DFCB là hình bình hành

Suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{CFE}\)

Xét ΔABC và ΔCFE có 

\(\widehat{ABC}=\widehat{CFE}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}=\widehat{FCE}\)(hai góc so le trong, BA//CF)

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔCFE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CF}=\dfrac{AC}{CE}\)

hay \(AB\cdot CE=AC\cdot CF\)

b) 

a: ΔABC đều

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^0\)

ME//BC

=>\(\hat{AEM}=\hat{ABD}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{AEM}=60^0\)

MD//AC

=>\(\hat{MDB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{MDB}=60^0\)

MF//AB

=>\(\hat{CFM}=\hat{CAB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{CFM}=60^0\)

Xét tứ giác BEMD có ME//BD và \(\hat{EBD}=\hat{MDB}\left(=60^0\right)\)

nên BEMD là hình thang cân

Xét tứ giác AEMF có MF//AE và \(\hat{EAF}=\hat{MEA}=60^0\)

nên AEMF là hình thang cân

Xét tứ giác MFCD có MD//CF và \(\hat{MFC}=\hat{DCF}\left(=60^0\right)\)

nên MFCD là hình thang cân

b: Sửa đề: Độ dài ba cạnh của ΔEDF bằng với độ dài ba cạnh của nào?

BEMD là hình thang cân

=>ED=MB(3)

MFCD là hình thang cân

=>DF=MC(2)

AEMF là hình thang cân

=>EF=MA(1)

Từ (1),(2),(3) suy ra độ dài ba cạnh của ΔEDF bằng với độ dài ba cạnh MA,MB,MC

a: MD//AC

=>góc MDB=góc ACB

=>góc MDB=60 độ

Xét tứ giác BEMD có

EM//BD

góc B=góc MDB

=>BEMD là hình thang cân

ME//BC

=>góc AEM=góc ABD=60 độ

Xét tứ giác AEMF có

MF//AE
góc A=góc MEA

=>AEMF là hình thang cân

MF//AE

=>góc CFM=góc CAB=60 độ

Xét tứ giác DCFM có

DM//FC

góc DCF=góc MFC

=>DCFM là hình thang cân

b: Sửa đề: Độ dài 3 cạnh MA,MB,MC bằng độ dài 3 cạnh của tam giác nào

AEMF là hình thang cân

=>AM=EF

BEMD là hình thang cân

=>BM=ED

FMDC là hình thang cân

=>MC=FD

=>Độ dài 3 cạnh MA,MB,MC bằng độ dài 3 cạnh của ΔEFD

a: Xét ΔBDF và ΔEFD có

\(\hat{BDF}=\hat{EFD}\) (hai góc so le trong, BD//EF)

DF chung

\(\hat{BFD}=\hat{EDF}\) (hai góc so le trong, BF//DE)

Do đó: ΔBDF=ΔEFD

=>BD=EF; BF=ED

BD=EF

BD=AD

Do đó: AD=EF

b: Xét ΔADE và ΔEFC có

\(\hat{ADE}=\hat{EFC}\left(=\hat{ABC}\right)\)

AD=EF

\(\hat{DAE}=\hat{FEC}\) (hai góc đồng vị, FE//AB)

Do đó: ΔADE=ΔEFC

c: ΔADE=ΔEFC

=>DE=FC

mà DE=BF

nên BF=FC

=>F là trung điểm của BC