Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trong (O;R). Đường cao AD,BF,CE của tam giác ABC cắt tại điểm H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O;R) tại K. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O;R) tại I. Gọi N là giao điểm của CI và FEa, CM tứ giác AEHF nội tiếp dtron, xác định tâm của đường tròn đób, CM CE^2 = CN * CIc, CM góc NGC = góc CIA và 3 điểm M,N,P thẳng...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trong (O;R). Đường cao AD,BF,CE của tam giác ABC cắt tại điểm H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O;R) tại K. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O;R) tại I. Gọi N là giao điểm của CI và FE
a, CM tứ giác AEHF nội tiếp dtron, xác định tâm của đường tròn đó
b, CM CE^2 = CN * CI
c, CM góc NGC = góc CIA và 3 điểm M,N,P thẳng hàng
a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
Tâm là trung điểm của AH
b: Xét tứ giác BEFC có \(\hat{BEC}=\hat{BFC}=90^0\)
nên BEFC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{CEF}=\hat{CBF}\)
=>\(\hat{CBF}=\hat{CAK}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
nên \(\hat{CEF}=\hat{CAK}\) (1)
Xét (O) có
\(\hat{CIK};\hat{CAK}\) là các góc nội tiếp chắn cung CK
=>\(\hat{CIK}=\hat{CAK}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{CEN}=\hat{CIE}\)
Xét ΔCEN và ΔCIE có
\(\hat{CEN}=\hat{CIE}\)
góc ECN chung
Do đó: ΔCEN~ΔCIE
=>\(\frac{CE}{CI}=\frac{CN}{CE}\)
=>\(CE^2=CN\cdot CI\)
a.Ta có:ˆBEH=ˆBDH=90oBEH^=BDH^=90o
→BEHD→BEHD nội tiếp đường tròn đường kính HBHB
b.Ta có: ˆBEC=ˆBFC=90oBEC^=BFC^=90o
→BCEF→BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BCBC
→ˆCEN=ˆCEF=ˆCBF=90o−ˆFCB=90o−ˆACD=ˆCAD=ˆCAK=ˆCIK=ˆCIE→CEN^=CEF^=CBF^=90o−FCB^=90o−ACD^=CAD^=CAK^=CIK^=CIE^
→ΔCEN∼ΔCIE(g.g)→ΔCEN∼ΔCIE(g.g)
→CECI=CNCE→CECI=CNCE
→CE2=CN.CI→CE2=CN.CI
c.Ta có: ˆAEH=ˆAFH=90oAEH^=AFH^=90o
→A,E,H,F∈→A,E,H,F∈ đường tròn đường kính AHAH
→→Tâm (AEF)(AEF) là tâm (AEHF)(AEHF) là trung điểm AHAH
→P→P là trung điểm AHAH
Ta có: OM⊥BCOM⊥BC
→M→M là trung điểm BCBC
Kẻ EG⊥ACEG⊥AC
→CG.CA=CE2=CN.CI→CG.CA=CE2=CN.CI
→CGCN=CICA→CGCN=CICA
→ΔCGN∼ΔCAI(c.g.c)→ΔCGN∼ΔCAI(c.g.c)
→ˆCGN=ˆCIA=ˆCBA=ˆAFE=ˆGFN→CGN^=CIA^=CBA^=AFE^=GFN^
→ˆNGE=90o−ˆNGF=90o−ˆNFG=ˆNEG→NGE^=90o−NGF^=90o−NFG^=NEG^
→ΔNGF,ΔNGE→ΔNGF,ΔNGE cân tại NN
→NG=NF,NG=NE→NG=NF,NG=NE
→NE=NF→NE=NF
→N→N là trung điểm EFEF
Ta có: ΔBEC,ΔBFCΔBEC,ΔBFC vuông tại E,FE,F và MM là trung điểm BCBC
→ME=MB=MC=12BC=MF→ME=MB=MC=12BC=MF
→ME=MF→ME=MF
Mà NE=NF,PE=PFNE=NF,PE=PF
→P,N,M∈→P,N,M∈ trung trực EFEF
→P,N,M→P,N,M thẳng hàng