Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.a)Chứng minh:tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.b)Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: AC.AB =AD.AM và ba điểm H,I,M thẳng hàng.c)Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a)Chứng minh:tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.
b)Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: AC.AB =AD.AM và ba điểm H,I,M thẳng hàng.
c)Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và EF.
a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥BC tại I
b: Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔACM vuông tại C
=>CA⊥CM tại C
Xét (O) có
\(\hat{ABC};\hat{AMC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC
=>\(\hat{ABC}=\hat{AMC}\)
Xét ΔADB vuông tại D và ΔACM vuông tại C có
\(\hat{ABD}=\hat{AMC}\)
Do đó: ΔADB~ΔACM
=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AM}\)
=>\(AD\cdot AM=AB\cdot AC\)
Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔABM vuông tại B
=>BA⊥BM
mà CH⊥BA
nên CH//BM
Ta có: CA⊥CM
BH⊥AC
Do đó: BH⊥MC
Xét tứ giác BHCM có
BH//CM
BM//CH
Do đó; BHCM là hình bình hành
=>BC cắt HM tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HM
=>H,I,M thẳng hàng