SOS!!!

ra kq luôn đko, lười đánh máy

\(\left(A\backslash B\right)\cup\left(A\backslash C\right)=\varnothing\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\backslash B=\varnothing\\A\backslash C=\varnothing\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\subset B\\A\subset C\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow A\subset\left(B\cap C\right)\)

\(B\cap C=\left(-1;1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>-1\\2m+5\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\le-2\end{matrix}\right.\) ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

\(-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m-1\right)x-2m+1< 0\)

\(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x-2m+1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1\le0< 1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2+2m-1>0\\f\left(1\right)\le0\\f\left(0\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2>0\\1+2\left(m-1\right)-2m+1\le0\\-2m+1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

\(x^2+2\left(m-3\right)x-4m+8=0\) (1)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+8+2m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)+2m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4+2m\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2m+4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Y=\left\{2;-2m+4\right\}\)

Xét pt \(x^2+4x-2m+10=0\left(2\right)\)

a/ Để \(X\cup Y\)có đúng 4 phần tử \(\Leftrightarrow\) (1) và (2) đều có 2 nghiệm pb và ko có nghiệm chung

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m+4\ne2\\\Delta'_{\left(2\right)}=4-\left(-2m+10\right)>0\\2^2+4.2-2m+10\ne0\\\left(-2m+4\right)^2+4.\left(-2m+4\right)-2m+10\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>3\\m\ne11\\\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{7}{2}\\m\ne3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m\ne\left\{\frac{7}{2};11\right\}\end{matrix}\right.\)

b/

Để (1) và (2) có (thể có) 2 nghiệm chung

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-6=4\\-4m+8=-2m+10\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

Vậy (1) và (2) luôn có tối đa 1 nghiệm chung

Để (2) có nghiệm \(\Rightarrow\Delta'_{\left(2\right)}\ge0\Rightarrow m\ge3\)

\(X\cap Y\) có 1 phần tử khi và chỉ khi (1) và (2) có 1 nghiệm chung \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2m+4\end{matrix}\right.\) là nghiệm của (2)

TH1: \(x=2\) là nghiệm của (2)

\(\Rightarrow2^2+4.2-2m+10=0\)

\(\Leftrightarrow m=11\)

TH2: \(x=-2m+4\) là nghiệm của (2)

\(\Leftrightarrow\left(-2m+4\right)^2+4\left(-2m+4\right)-2m+10=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-26m+42=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\frac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=11\\m=3\\m=\frac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(-3;-1\right)\cup\left(1;2\right)\)

\(B=\left(-1;+\infty\right)\)

\(C=\left(-\infty;2m\right)\)

\(A\cap B=\left(-3;-1\right)\)

Để \(A\cap B\cap C\ne\varnothing\Leftrightarrow2m\ge-1\)

\(\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m\ge-\dfrac{1}{2}\) thỏa đề bài

\(x^4-2x^3+\left(m-14\right)x^2+\left(2m+6\right)x-3m+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3-14x^2+6x+9+m\left(x^2+2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x-3\right)\left(x^2-4x-3\right)+m\left(x^2+2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x-3\right)\left(x^2-4x+m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2x-3=0\\x^2-4x+m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\\x^2-4x+m-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

a/ Tập X có đúng 4 phần tử khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1 và -3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(m-3\right)>0\\1^2-4.1+m-3\ne0\\\left(-3\right)^2-4.\left(-3\right)+m-3\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 7\\m\ne6\\m\ne-18\end{matrix}\right.\)

b/ Do (1) không thể đồng thời có 2 nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) nên X có 2 phần tử khi:

TH1: \(\left(1\right)\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow m>7\)

TH2: (1) có nghiệm kép \(x=1\) hoặc \(x=-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\\\left[{}\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\-\frac{b}{2a}=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=7\\\left[{}\begin{matrix}2=1\\2=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (ko có m thỏa mãn)

Vậy \(m>7\)

Bạn viết nhầm tập hợp A

\(A\cap B\ne\varnothing\Leftrightarrow m+3>2m-1\)

\(\Rightarrow m< 4\)

Lời giải:

$A\cap B\cap C=A\cap (B\cap C)$

Để tập hợp trên khác rỗng thì trước hết $B\cap C\neq \varnothing$

Điều này xảy ra khi $2m>m\Leftrightarrow m>0$

Khi đó: $B\cap C=(m; 2m)$

$\Rightarrow A\cap B\cap C=((-3;-1)\cup (1;2))\cap (m; 2m)$

$=((-3;-1)\cap (m;2m))\cup ((1;2)\cap (m; 2m))$

$=(1;2)\cap (m; 2m)$ (do $m>0$)

Để $(1;2)\cap (m; 2m)\neq \varnothing$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} 2m>1\\ m< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in (\frac{1}{2};2)\)

Vậy...........