Bài 1: n có 4 chữ số dạng 20ab => 20ab + 2 + a +b=2013 => 11a+b=11

a=0 => b=11(loại)

a=1 => b=0 => n=2010

với n<2000 => tổng các chữ số của n lớn nhất là: 1+9+9+9=28 => n  ≥ 2013-28=1985

xét n có dạng 19ab: 19ab+1+9+a+b=2013 => 11a+b=103

do n ≥ 1985 => a ≥ 8

a=8 => b=7,5 (loại)

a=9 => b=2 => n=1992

Bài 2: Chắc là hợp số :D

từ \(a^2+b^2+c^2=e^2+f^2+d^2\)

=> \(a^2+b^2+c^2\text{ ≡}d^2+e^2+f^2\)(mod 2)

=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)  ≡ \(d^2+e^2+f^2+2\left(de+ef+fd\right)\)(mod 2)

=>\(\left(a+b+c\right)^2\text{ ≡}\left(d+e+f\right)^2\) (mod 2)

=>a+b+c ≡ d+e+f (mod 2)

=> a+b+c+d+e+f chia hết cho 2

Help me pls

Giải:

Vì $a\in Z^{+}$

$\Rightarrow 5^b=a^3+3a^2+5>a+3=5^c$

$\Rightarrow 5^b>5^c\Rightarrow b>c$

$\Rightarrow 5^b⋮5^c$

$\Rightarrow a^3+3a^2+5⋮a+3$

$\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5⋮a+3$

Mà $a^2\left(a+3\right)⋮$

Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

tự túc là hạnh phúc

\(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow b\left(a^2+b\right)-a\left(ab-1\right)⋮ab-1\)

\(\Rightarrow a+b^2⋮ab-1\)

Do đó, vai trò của a và b là hoàn toàn như nhau.

TH1: \(a=b\Rightarrow\dfrac{a^2+a}{a^2-1}\in Z\Rightarrow\dfrac{a}{a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{1}{a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a=2\Rightarrow a=b=2\)

TH2: \(b>a\Rightarrow b\ge a+1\)

Do \(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow a^2+b\ge ab-1\) (nếu \(a< b\) ta sẽ xét với \(a+b^2⋮ab-1\) cho kết quả tương tự nên ko cần TH3 \(a>b\))

\(a^2-1+2\ge ab-b\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)+2\ge b\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)\le2\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=\left\{0;1;2\right\}\)

TH2.1: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=a+1\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=1\Rightarrow\dfrac{b+1}{b-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{b-1}\in Z\Rightarrow b=\left\{2;3\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;2\right);\left(1;3\right)\) (và 2 bộ hoán vị \(\left(2;1\right);\left(3;1\right)\) ứng với \(a>b\), lần sau sẽ hoán vị nghiệm luôn ko giải thích lại)

- Với \(b=a+1\Rightarrow\dfrac{a^2+a+1}{a^2+a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{a^2+a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a^2+a-1=\left\{1;2\right\}\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2\) giống như trên

TH2.2: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=1\\b-a-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(2;4\right);\left(4;2\right)\) 

TH2.3: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=2=2.1=1.2\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right)\)

Vậy các bộ số thỏa mãn là: \(\left(1;2\right);\left(2;1\right);\left(1;3\right);\left(3;1\right);\left(2;2\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right)\)