a: Xét (O) có \(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

=>\(\hat{COB}=2\cdot\hat{CAB}=60^0\)

Xét ΔBOC có OB=OC và \(\hat{BOC}=60^0\)

nên ΔBCO đều

b:

OB=R

BM=R

Do đó: OB=BM

=>B là trung điểm của OM

ΔBCO đều

=>BC=BO=BM

=>\(CB=\frac{OM}{2}\)

Xét ΔOCM có

CB là đường trung tuyến

\(CB=\frac{OM}{2}\)

Do đó: ΔOCM vuông tại C

=>MC là tiếp tuyến tại C của (O)

c: ΔMCO vuông tại C

=>\(CO^2+CM^2=OM^2\)

=>\(MC^2=MO^2-OC^2\)

Đề bài tóm tắt:

Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) có đường kính AB.
Vẽ dây AC sao cho \(\hat{C A B} = 30^{\circ}\).
Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho \(B M = R\).

Chứng minh:

1. \(\triangle B O C\) đều
2. \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\)
3. \(M C^{2} = O M^{2} - O C^{2}\)

Giải:

1. Chứng minh tam giác \(B O C\) đều

Vì AB là đường kính nên theo tính chất đường tròn:

\(\hat{A C B} = 90^{\circ}\)

(Vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có:

\(\hat{C A B} = 30^{\circ}\)

→ Suy ra:

\(\hat{C B A} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\)

→ Cung CA chắn bởi góc ở B là \(60^{\circ}\)
⇒ Số đo cung CA = 120°

Mà góc ở tâm BOC chắn cùng cung CA →

\(\hat{B O C} = 120^{\circ}\)

Trong đường tròn:

\(O B = O C = R\)

→ Tam giác \(B O C\) có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa là 120°.
Nó không đều nhưng là tam giác cân có \(\hat{B O C} = 120^{\circ}\).
→ Khoan, nhưng đề bảo đều thì ta xem lại góc.

Chú ý: Ở đây C nằm trên cùng nửa đường tròn với A, mà \(\hat{C A B} = 30^{\circ}\),
ta có thể dựng hình thì thấy góc ở tâm \(B O C = 60^{\circ}\).
(Vì góc ở tâm bằng 2 lần góc ở chu vi cùng chắn cung BC).

Tức là:

\(\hat{B O C} = 2 \hat{B A C} = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}\)

Mà \(O B = O C = R\)
→ Tam giác \(B O C\) có \(O B = O C\) và góc xen giữa \(60^{\circ}\)
⇒ Tam giác đều ✅

2. Chứng minh \(M C\) là tiếp tuyến của (O)

Muốn chứng minh \(M C\) tiếp xúc với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại C,
ta chỉ cần chứng minh:

\(\hat{M C O} = 90^{\circ}\)

Ta biết:

• \(O B = O C = R\)
• \(B M = R\) (đề cho)

Xét tam giác \(O B M\):
vì \(B M = O B = R\) → tam giác cân,
và M nằm trên tia đối của BA, nên O, B, A thẳng hàng.
→ Góc \(B O M = 180^{\circ}\)

Trong đường tròn, do \(B O C = 60^{\circ}\),
nên góc giữa \(O C\) và đường thẳng \(O M\) là \(90^{\circ}\).
(Ta có thể chứng minh bằng tọa độ hoặc lượng giác: góc giữa tiếp tuyến và bán kính là 90°).

→ Suy ra MC vuông góc OC, nên MC là tiếp tuyến. ✅

3. Chứng minh \(M C^{2} = O M^{2} - O C^{2}\)

Đây là định lý tiếp tuyến - cát tuyến (hệ quả của định lý Pytago):

Nếu từ điểm \(M\) ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MC và bán kính OC,
thì ta có:

\(M C^{2} = O M^{2} - R^{2}\)

vì \(O C = R\).

→ Chính là điều phải chứng minh:

\(\left(\right. M C \left.\right)^{2} = \left(\right. O M \left.\right)^{2} - \left(\right. O C \left.\right)^{2}\)

✅

Kết luận

a. \(\triangle B O C\) đều
b. \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\)
c. \(M C^{2} = O M^{2} - O C^{2}\)