Gọi C là đồ thị hàm số của y = lnx và D là một tiếp tuyến bất kì của C. chứng minh rằng trên (0; +∞), C nằm ở phía dưới của đường thẳng D.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
15 tháng 3 2019
Tập xác định D= R\{1}.
Đạo hàm 
(C) có tiệm cận đứng x=1 (d1) và tiệm cận ngang y=2 (d2) nên I(1 ;2).
Gọi 
.
Tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có phương trình
∆ cắt d1 tại 
và cắt d2 tại 
.
Ta có 
.
Do đó 
.
Chọn C.
CM
3 tháng 11 2017
Tập xác định D= R\ { 1}.
Đạo hàm y ' = - 3 ( x - 1 ) 2 , ∀ x ≠ 1 .
Đồ thị hàm số C có tiệm cận đứng là x= 1 và tiệm cận ngang y= 2 nên I (1 ;2 ) là giao của 2 đường tiệm cận.
Gọi M ( x 0 ; 2 x 0 + 1 x 0 - 1 ) ∈ ( C ) , x 0 ≠ 1 .
Tiếp tuyến ∆ của C tại M có phương trình là :
⇔ y = - 3 ( x 0 - 1 ) 2 ( x - x 0 ) + 2 x 0 + 1 x 0 - 1
∆ cắt TCĐ tại A ( 1 ; 2 x 0 + 2 x 0 - 1 ) và cắt TCN tại B( 2x0-1 ; 2) .
Ta có I A = 2 x 0 + 2 x 0 - 1 - 2 = 4 x 0 - 1 ; I B = ( 2 x 0 - 1 ) - 1 = 2 x 0 - 1 .
Do đó, S = 1 2 I A . I B = 1 2 4 x 0 - 1 . 2 x 0 - 1 = 4 .
Chọn D.
CM
3 tháng 10 2019
Chọn C.
Giả sử 
thuộc đồ thị (C) (với a
≠
1)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M có dạng:
Tiếp tuyến này cắt đường tiệm cận đứng x = 1 và đường tiệm cận ngang y = 2 lần lượt tại 
Khi đó
Dấu “=”xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ bằng 2 2
CM
31 tháng 1 2018
Đáp án C
Ta có y ' = - 1 x - 2 2 . Gọi M a ; 2 a - 3 a - 2 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y ' a = - 1 a - 2 2
Phương trình đường thẳng d là y = - 1 a - 2 2 x - a + 2 a - 3 a - 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 tiệm cận ngang là y = 2
Ta có A 2 ; 2 a - 2 a - 2 , B 2 a - 2 ; 2 ⇒ A B = 4 a - 2 2 + 4 a - 2 2 = 2 a - 2 2 + 1 a - 2 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có A B = 2 a - 2 2 + 1 a - 2 2 ≥ 2 2 a - 2 2 . 1 a - 2 2 = 2 2
Do đó khoảng cách ngắn nhất giữa A và B là 2 2 .
CM
3 tháng 11 2019
Đáp án C
Gọi M x 0 ; 2 x 0 − 3 x 0 − 2 là tiếp tuyến của d với (C)
Ta có y ' = − 1 x − 2 2 ⇒ y ' x 0 = − 1 x 0 − 2 2
Suy ra d : y = − 1 x 0 − 2 2 x − x 0 + 2 x 0 − 3 x 0 − 2 ⇔ d : y = − 1 x 0 − 2 2 x + 2 x 0 2 − 6 x 0 + 6 x 0 − 2 2
Ta có d ∩ x = 2 = A 2 ; 2 x 0 − 2 x 0 − 2 d ∩ y = 2 = B 2 x 0 − 2 ; 2 ⇒ A B = 4 x 0 − 2 2 + 4 x 0 − 2 2
Có A B 2 = 4 x 0 − 2 2 + 4 x 0 − 2 2 ≥ 24 x 0 − 2 2 4 x 0 − 2 2 = 8 ⇒ A B ≥ 2 2 ⇒ min A B = 2 2
Bước 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của \(C\) tại điểm \(M \left(\right. x_{0} ; ln x_{0} \left.\right)\)
Hàm số: \(y = ln x\)
Ta có:
\(y^{'} = \frac{1}{x}\)
Tại \(x = x_{0} > 0\), hệ số góc tiếp tuyến là:
\(k = y^{'} \left(\right. x_{0} \left.\right) = \frac{1}{x_{0}}\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M \left(\right. x_{0} ; ln x_{0} \left.\right)\) là:
\(D : y = ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
Bước 2. So sánh \(ln x\) và giá trị trên tiếp tuyến \(D\)
Xét hàm:
\(f \left(\right. x \left.\right) = ln x - \left[\right. ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right) \left]\right.\)
Ta cần chứng minh:
\(f \left(\right. x \left.\right) \leq 0 \forall x > 0\)
và \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) chỉ khi \(x = x_{0}\).
Bước 3. Xét dấu của \(f^{'} \left(\right. x \left.\right)\)
Tính đạo hàm:
\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}\)
→ \(f \left(\right. x \left.\right)\) tăng trên \(\left(\right. 0 , x_{0} \left.\right)\) và giảm trên \(\left(\right. x_{0} , + \infty \left.\right)\)
Vì \(f^{'} \left(\right. x \left.\right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x_{0}\), nên \(x_{0}\) là điểm cực đại của \(f \left(\right. x \left.\right)\).
Bước 4. Tính giá trị tại cực đại
\(f \left(\right. x_{0} \left.\right) = ln x_{0} - \left[\right. ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x_{0} - x_{0} \left.\right) \left]\right. = 0\)
Vì \(f \left(\right. x \left.\right)\) đạt cực đại bằng 0 tại \(x_{0}\), nên:
\(f \left(\right. x \left.\right) \leq 0 \forall x > 0\)
✅ Kết luận:
\(ln x \leq ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
với dấu “=” chỉ xảy ra khi \(x = x_{0}\).
Điều đó có nghĩa là: