Xét đường thẳng (d) cố định ở ngoài (O;R) (khoảng cách từ O đến (d) không nhỏ hơnRV2 ). Từ một điểm M nằm trên đường thẳng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA,MB đến(O;R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng cát tuyến MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC < MD ). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của AB và MO.a, Chứng minh: 5 điểm M,A,E, O,B cùng nằm trên một đường tròn.b, Chứng minh: MC.MD...
Đọc tiếp
Xét đường thẳng (d) cố định ở ngoài (O;R) (khoảng cách từ O đến (d) không nhỏ hơn
RV2 ). Từ một điểm M nằm trên đường thẳng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA,MB đến
(O;R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng cát tuyến MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC < MD ). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của AB và MO.
a, Chứng minh: 5 điểm M,A,E, O,B cùng nằm trên một đường tròn.
b, Chứng minh: MC.MD = MA' = MO' -R2
c, Chứng minh: Các tiếp tuyến tại C,D của đường tròn (O;R) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thắng AB.
d, Chứng minh: Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
a: Ta có: ΔOCD cân tại O
mà OE là đường trung tuyến
nên OE⊥CD và OE là phân giác của góc COD
Ta có: \(\hat{OEM}=\hat{OAM}=\hat{OBM}=90^0\)
=>O,E,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)
Xét ΔMAC và ΔMDA có
\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)
góc AMC chung
Do đó: ΔMAC~ΔMDA
=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
=>\(OH\cdot OM=R^2\)
ΔOAM vuông tại A
=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)
=>\(MA^2=OM^2-OA^2=OM^2-R^2\)
=>\(MC\cdot MD=MA^2=OM^2-R^2\)
c: Gọi K là giao điểm của OE và AB
Xét ΔOEM vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có
\(\hat{EOM}\) chung
DO đó: ΔOEM~ΔOHK
=>\(\frac{OE}{OH}=\frac{OM}{OK}\)
=>\(OE\cdot OK=OH\cdot OM\)
=>\(OE\cdot OK=OC^2\)
=>\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\)
Xét ΔOEC và ΔOCK có
\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\)
góc EOC chung
Do đó: ΔOEC~ΔOCK
=>\(\hat{OEC}=\hat{OCK}\)
=>\(\hat{OCK}=90^0\)
=>KC là tiếp tuyến của (O) tại C(3)
Xét ΔOCK và ΔODK có
OC=OD
\(\hat{COK}=\hat{DOK}\)
OK chung
Do đó: ΔOCK=ΔODK
=>\(\hat{OCK}=\hat{ODK}\)
=>\(\hat{ODK}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O) tại D(4)
Từ (3),(4) suy ra các tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AB
.