Cho đường tròn (O;R) đường kính AB=2R. Đường kính CD thay đổi ,d là tiếp tuyến của (O)tại B.AC ,AD cắt d lần lượt tại P và Q.Trung trực của CD và trung trực của PQ cắt nhau tại K,Chứng minh K thuộc một đưởng thẳng cố định
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 3
a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I
Xét (O) có
IM,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc AOM; IO là phân giác của góc MIA
Xét (O') có
IA,IN là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IN; O'I là phân giác của góc AO'N; IO' là phân giác của góc AIN
Ta có: IM=IA
IA=IN
Do đó: IM=IN
=>I là trung điểm của MN
Xét ΔAMN có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\frac{MN}{2}\)
Do đó: ΔAMN vuông tại A
=>\(\hat{MAN}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BE tại M và \(\hat{EMA}=90^0\)
Xét (O') có
ΔANC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔANC vuông tại N
=>AN⊥EC tại N và \(\hat{ANE}=90^0\)
Xét tứ giác EMAN có \(\hat{EMA}=\hat{ENA}=\hat{MAN}=90^0\)
nên EMAN là hình chữ nhật
=>\(\hat{MEN}=90^0\)
=>\(\hat{BEC}=90^0\)
b: Ta có: EMAN là hình chữ nhật
=>EA cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của MN
nên I là trung điểm của EA
=>E,I,A thẳng hàng
Xét ΔEAB vuông tại A có AM là đường cao
nên \(EM\cdot EB=EA^2\left(1\right)\)
Xét ΔEAC vuông tại A có AN là đường cao
nên \(EN\cdot EC=EA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(EM\cdot EB=EN\cdot EC\)
c: AB=2AO=18(cm)
AC=2AO'=2*4=8(cm)
Xét ΔEBC vuông tại E có EA là đường cao
nên \(EA^2=AB\cdot AC=18\cdot8=144\)
=>EA=12(cm)
EMAN là hình chữ nhật
=>EA=MN
=>MN=12(cm)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
4 tháng 10 2025
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBCD có
O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC
=>OH là đường trung bình của ΔBCD
=>CD=2OH
Câu 1.
Đặt hệ trục tọa độ với O(0;0), A(-R;0), B(R;0)
Vì d là tiếp tuyến tại B nên d có phương trình:
x = R
Gọi
C(Rcos t; Rsin t), D(-Rcos t; -Rsin t)
vì CD là đường kính của (O)
Trung trực của CD đi qua O và vuông góc CD nên có phương trình:
xcos t + ysin t = 0
Tìm P, Q
Đường thẳng AC cắt d tại P, suy ra:
P(R; 2Rtan(t/2))
Đường thẳng AD cắt d tại Q, suy ra:
Q(R; -2Rcot(t/2))
Vì P, Q cùng có hoành độ bằng R nên PQ là đoạn thẳng thẳng đứng
Do đó trung trực của PQ là đường thẳng ngang đi qua trung điểm của PQ
Trung điểm của PQ là:
M(R; (2Rtan(t/2) - 2Rcot(t/2))/2)
= (R; R(tan(t/2) - cot(t/2)))
= (R; -2Rcot t)
Vậy trung trực của PQ có phương trình:
y = -2Rcot t
Gọi K là giao điểm của hai trung trực, ta có:
xcos t + ysin t = 0
y = -2Rcot t
Thế vào:
xcos t - 2Rcot t . sin t = 0
xcos t - 2Rcos t = 0
x = 2R
Suy ra:
K = (2R; -2Rcot t)
Vậy hoành độ của K luôn không đổi bằng 2R, nên K luôn thuộc đường thẳng cố định:
x = 2R
Đó là đường thẳng vuông góc với AB tại điểm có tọa độ (2R;0)