Điều này còn phụ thuộc vào giá trị của n nữa

Nếu n là số tự nhiên thì do n>n-1 và n+3<n+4 nên \(\frac{n}{n+3}>\frac{n-1}{n+4}\)

So sánh \(\frac{n}{n + 3}\) và \(\frac{n - 1}{n + 4}\)

Cách 1: So sánh hiệu hai phân số

Tính:

\(\frac{n}{n + 3} - \frac{n - 1}{n + 4} = ?\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số

\(= \frac{n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right)}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)

Bước 2: Phân tích tử số

\(n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 3 n - n - 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 2 n - 3 \left.\right)\)\(= n^{2} + 4 n - n^{2} - 2 n + 3 = 2 n + 3\)

Bước 3: Kết luận

Hiệu hai phân số là:

\(\frac{2 n + 3}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)

Bước 4: Xét dấu của hiệu

• Mẫu số: \(\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)\)
• • Nếu \(n > - 3\), cả \(\left(\right. n + 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. n + 4 \left.\right)\) đều dương ⇒ mẫu dương.
  • Nếu \(n < - 4\), cả hai âm ⇒ mẫu dương (âm × âm = dương).
  • Nếu \(- 4 < n < - 3\), mẫu âm (dương × âm).
• Tử số: \(2 n + 3\)
• • \(2 n + 3 > 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n > - \frac{3}{2}\)

Bảng xét dấu hiệu:

Kết luận:

• Khi \(n \in \left(\right. - 4 , - 3 \left.\right)\) hoặc \(n > - \frac{3}{2}\), hiệu dương ⇒

\(\frac{n}{n + 3} > \frac{n - 1}{n + 4}\)

• Khi \(n \in \left(\right. - \infty , - 4 \left.\right)\) hoặc \(n \in \left(\right. - 3 , - \frac{3}{2} \left.\right)\), hiệu âm ⇒

\(\frac{n}{n + 3} < \frac{n - 1}{n + 4}\)