Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ dây BD của (O) song song với OA. a) Chứng minh rằng O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn này. b) Chứng minh: C, O, D thẳng thàng. c) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D). H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng góc AHE bằng với góc...
Đọc tiếp
Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ dây BD của (O) song song với OA.
a) Chứng minh rằng O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn này.
b) Chứng minh: C, O, D thẳng thàng.
c) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D). H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng góc AHE bằng với góc OED từ đó suy ra BC là đường phân giác của góc DHE.
a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA
=>O,B,A,C cùng thuộc một đường tròn
Tâm là trung điểm của OA
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC
mà OA//BD
nên BD⊥BC
=>B nằm trên đường tròn đường kính CD
mà B,C,D cùng thuộc (O)
nên CD là đường kính của (O)
=>C,O,D thẳng hàng
c: Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCED vuông tại E
=>CE⊥AD tại E
Xét ΔACD vuông tại C có CE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AC^2\left(4\right)\)
Xét ΔACO vuông tại C có CH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AC^2\) (3)
Từ (3),(4) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)
=>\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)
Xét ΔAHE và ΔADO có
\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)
góc HAE chung
Do đó: ΔAHE~ΔADO
=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}=\hat{ODE}=\hat{OED}\)
Ta có: \(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
\(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)
Do đó: \(\hat{OHE}+\hat{ODE}=180^0\)
=>OHED là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OHD}=\hat{OED}\)
mà \(\hat{OED}=\hat{AHE}\)
nên \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)
Ta có: \(\hat{AHE}+\hat{EHB}=\hat{BHA}=90^0\)
\(\hat{OHD}+\hat{DHB}=\hat{OHB}=90^0\)
mà \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)
nên \(\hat{EHB}=\hat{DHB}\)
=>HB là phân giác của góc DHE
Hỏi lắm thế