a) Hai số a và b cùng dấu.

b) Hai số a và b cùng dấu.

c) Hai số a và b trái dấu nhau.

d) Hai số a và b trái dấu nhau.

\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\) \(\Rightarrow\) ad < bc.

\(\Rightarrow\) ad + ab < bc + ab

       a.(d + b) < b(a+c) 

\(\Rightarrow\) \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)  (1)

ad< bc         \(\Rightarrow\) ad + cd < bc + cd

                        d.(a+c) < c(b+d)

                    \(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)

Ta có :

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< ac\Leftrightarrow ab+ad< ab+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\)\(\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\left(1\right).\)Nhân 2 vế của (1) với bd ta có:

\(\frac{a}{b}\times bd=ad< \frac{c}{d}\times bd=bc\)( đpcm )

ad < bc ( 2 ).Chia 2 vế của (2) cho bd ta có:

\(\frac{ad}{bd}=\frac{a}{b}< \frac{bc}{bd}=\frac{c}{d}\left(Đpcm\right)\)