* Chứng minh \(\frac16

Ta có: \(F=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\)

\(F=\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{6\cdot6}+\frac{1}{7\cdot7}+\cdots+\frac{1}{100\cdot100}\)

\(\Rightarrow F<\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\cdots+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(\) \(\Rightarrow F<\frac14-\frac15+\frac15-\frac16+\frac16-\frac17+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow F<\frac14-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow F<\frac{12}{25}\)

Mà \(\frac16=\frac{12}{72}<\frac{12}{25}\)

\(\Rightarrow\frac16 (1)

* Chứng minh \(F<\frac14\)

Lại có: \(\) \(F=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\)

\(F=\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{6\cdot6}+\frac{1}{7\cdot7}+\cdots+\frac{1}{100\cdot100}\)

\(\Rightarrow F>\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\cdots+\frac{1}{100\cdot101}\)

\(\Rightarrow F>\frac15-\frac16+\frac16-\frac17+\frac17-\frac18+\cdots+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(\Rightarrow F=\frac15-\frac{1}{101}\)

\(\Rightarrow F>\frac{96}{505}\)

Mà \(\frac14=\frac{96}{384}<\frac{96}{505}\)

\(\Rightarrow F<\frac14\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac16

Vậy \(\frac16

c: \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{49\cdot50}\)

\(=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}-2\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}-1-\frac12-\cdots-\frac{1}{25}\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}\)

giúp em câu a b nx dc hem tại khó quá em chx học kiểu chấm than ở mẫu số

a: \(A=\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\cdots+\frac{2}{99\cdot101}\)

\(=1-\frac13+\frac13-\frac15+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)

\(=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}\)

b: \(B=\frac12-\left(\frac{1}{5\cdot11}+\frac{1}{11\cdot17}+\frac{1}{17\cdot23}+\frac{1}{23\cdot29}+\frac{1}{29\cdot35}\right)\)

\(=\frac12-\frac16\left(\frac{6}{5\cdot11}+\frac{6}{11\cdot17}+\frac{6}{17\cdot23}+\frac{6}{23\cdot29}+\frac{6}{29\cdot35}\right)\)

\(=\frac12-\frac16\left(\frac15-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{35}\right)\)

\(=\frac12-\frac16\left(\frac15-\frac{1}{35}\right)=\frac12-\frac16\cdot\frac{6}{35}=\frac12-\frac{1}{35}=\frac{33}{70}\)

ta nhận xét rằng mỗi số hạng trong tổng \(M\) đều là số dương. Do đó, \(M > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức này cho từng số hạng của \(M\), ta có: \(M = \sum_{k = 1}^{2025} \frac{k}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{3}} < \sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)

Đặt \(j = k + 1\). Khi \(k = 1\) thì \(j = 2\), và khi \(k = 2025\) thì \(j = 2026\). Do đó, \(\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}}\).

Giá trị của \(\pi \approx 3.14159\), nên \(\pi^{2} \approx 9.8696\). \(\frac{\pi^{2}}{6} \approx \frac{9.8696}{6} \approx 1.6449\). Vậy \(\sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}} < 1.6449 - 1 = 0.6449\).

Do đó, \(M < 0.6449\).

\(=\frac{1}{2^{3}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{4^{3}}+...+\frac{2025}{202 6^{3}}\) \(M > \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0.125\)

Ta có \(0.125 < M < 0.6449\). Vì \(M\) nằm trong khoảng \(\left(\right. 0.125 , 0.6449 \left.\right)\), nên \(M\) không thể là một số tự nhiên

Do đó, giá trị của \(M\) không phải là số tự nhiên.

đây mik cx ko chắc chắn lắm

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{2}{x\left(x+1\right)}=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{20}+....+\frac{2}{x\left(x+1\right)}=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+....+\frac{1}{x\left(x+1\right)}\right)=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+.....+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow2\cdot\frac{x-1}{2x+2}=\frac{2009}{2011}\)

\(\Rightarrow\frac{2x-2}{2x+2}=\frac{2009}{2011}\)

Bạn làm nốt.Nhân chéo là ra

\(\left(x-1\right)f\left(x\right)=\left(x+4\right)\cdot f\left(x+8\right)\)

Với  \(x=1\) ta có:

\(\left(1-1\right)\cdot f\left(1\right)=\left(1+4\right)\cdot f\left(9\right)\)

\(\Rightarrow5\cdot f\left(9\right)=0\)

\(\Rightarrow f\left(9\right)=0\)

Vậy \(x=9\)

Thay \(x=-4\) vào ta được:

\(\left(-4-1\right)\cdot f\left(-4\right)=0\cdot f\left(4\right)\)

\(\Rightarrow f\left(-4\right)=0\)

Vậy \(x=-4\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm là 9;-4

\(A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2023\cdot2024}\)

\(=\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}\)

\(=\frac11-\frac{1}{2024}=\frac{2023}{2024}\)

A=1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+⋯+2023⋅20241​

\(= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \hdots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}\)

\(= \frac{1}{1} - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024}\)