\(8\left|x-2017\right|=25-y^{2\text{​​}}\)

\(\Leftrightarrow8\left|x-2017\right|+y^2=25=25+0=24+1=21+4=16+9\)

Mà \(8\left|x-2017\right|\) chẵn nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=0\\y^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017\\y=\pm5\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=24\\y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2020\\x=2014\end{matrix}\right.\\y=\pm5\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2019\\x=2015\end{matrix}\right.\\y=\pm3\end{matrix}\right.\)

\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)

Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm 

\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)

Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)

xy+x+y=8

<=>x(y+1)+y+1=9

<=>(y+1)(x+1)=9

=>lập bảng làm tiếp

a/ chuyển về (3-x).(y+3)=9  (dài dòng nên k làm đâu)

b/ xy+x+y=8

x.(y+1)+y+1=9

x.(y+1)+(y+1)=9

(x+1).(y+1)=9

c/(x,y)={(3;5),(4;4)}

\(8\left(x-2015\right)^2+y^2=25\)

=> 8(x-2015)² nhỏ hơn hoặc bằng 25 ( vì y² nhỏ hơn hoặc bằng 0)

=>   (x-2015)²----------------------------  25/8

=> x-2015 ={-1;0;1}  (hơi tắt xíu mong bạn hiểu)

Ta có bảng:

KL: Vậy có 2 cặp x,y thỏa mãn

Để tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình x^2 + xy = 6x - 5y - 8, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải đồng dư.

Đầu tiên, ta sẽ chuyển phương trình về dạng tương đương: x^2 + xy - 6x + 5y + 8 = 0.

Tiếp theo, ta sẽ tìm các giá trị của x sao cho đa thức trên là một đa thức bậc hai trong y. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng công thức giải đa thức bậc hai:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Ở đây, a = 1, b = x - 6 và c = x^2 - 5x - 8. Thay các giá trị này vào công thức, ta có:

y = (-(x - 6) ± √((x - 6)^2 - 4(x^2 - 5x - 8)))/(2(1))

y = (-x + 6 ± √(x^2 - 12x + 36 - 4x^2 + 20x + 32))/(2)

y = (-x + 6 ± √(-3x^2 + 8x + 68))/(2)

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các giá trị của x từ -100 đến 100 (hoặc bất kỳ phạm vi nào khác mà bạn muốn) và tìm các giá trị tương ứng của y để xem có cặp số nguyên (x, y) nào thỏa mãn phương trình ban đầu không.

Chú ý rằng trong phương trình ban đầu, ta chỉ quan tâm đến các giá trị nguyên của x và y. Do đó, chúng ta có thể sử dụng một vòng lặp để kiểm tra các giá trị này.

Dưới đây là một ví dụ về mã Python để tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:

Kết quả sẽ hiển thị các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình ban đầu.

Sửa đề: Tìm x,y nguyên biết

a: Sửa đề: \(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

Ta có: \(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

=>\(25-y^2\ge0\) và \(25-y^2\) ⋮8

=>\(y^2\le25\) và \(25-y^2\) ⋮8

mà y nguyên

nên \(y^2\in\left\lbrace1;9;25\right\rbrace\)

TH1: \(y^2=1\)

\(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

=>\(8\left(x-2009\right)^2=25-1=24\)

=>\(\left(x-2009\right)^2=3\)

mà x nguyên

nên x∈∅

TH2: \(y^2=9\)

\(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

=>\(8\left(x-2009\right)^2=25-9=16\)

=>\(\left(x-2009\right)^2=2\)

mà x nguyên

nên x∈∅

TH3: \(y^2=25\)

\(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

=>\(8\left(x-2009\right)^2=25-25=0\)

=>\(\left(x-2009\right)^2=0\)

=>x-2009=0

=>x=2009(nhận)

\(y^2=25\)

=>y=5(nhận) hoặc y=-5(nhận)

b: \(x^3y=xy^3+1997\)

=>\(x^3y-xy^3=1997\)

=>\(xy\left(x^2-y^2\right)=1997\)

=>xy(x-y)(x+y)=1997

Đặt A=xy(x-y)(x+y)

TH1: x chẵn; y chẵn

=>xy⋮2

=>xy(x-y)(x+y)⋮2

=>A⋮2(1)

TH2: x lẻ; y le

=>x+y chẵn

=>x+y⋮2

=>A⋮2(2)

TH3: x lẻ; y chẵn

=>xy⋮2

=>A=xy(x+y)(x-y)⋮2(3)

Th4: x chẵn; y lẻ

=>xy(x+y)(x-y)⋮2

=>A⋮2(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra A⋮2

mà 1997 lẻ

nên (x;y)∈∅

c: x+y+9=xy-7

=>xy-7-x-y-9=0

=>xy-x-y-16=0

=>x(y-1)-y+1-17=0

=>(x-1)(y-1)=17

=>(x-1;y-1)∈{(1;17);(17;1);(-1;-17);(-17;-1)}

=>(x;y)∈{(2;18);(18;2);(0;-16);(-16;0)}