Hiển nhiên \(P=4^{2010}+2^{2014}⋮2\). Ta chỉ cần chứng minh \(P⋮5\) là xong.

Trước hết ta chứng minh \(A=4^{2n}-1⋮5\), với mọi \(n\inℕ\)     (*)

 Với \(n=0\) thì \(A=0⋮5\). Với \(n=1\) thì \(A=15⋮5\).

 Giả sử (*) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\), ta có:

 \(A=4^{2\left(k+1\right)}-1\) \(=16.4^{2k}-1\) \(=16\left(4^{2k}-1\right)+15⋮5\), vậy (*) được chứng minh. Do đó \(4^{2010}-1⋮5\)              (1)

 Bây giờ ta sẽ chứng minh \(B=2^{4n+2}+1⋮5\) với mọi \(n\inℕ\).     (**)

 Với \(n=0\) thì \(B=5⋮5\). Với \(n=1\) thì \(B=65⋮5\).

 Giả sử (**) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\)  thì

 \(B=2^{4\left(k+1\right)+2}+1\) \(=16.2^{4k+2}+1\) \(=16\left(2^{4k+2}+1\right)-15⋮5\)

 Vậy (**) được chứng minh. Do đó \(2^{2014}+1⋮5\)         (2)

 Từ (1) và (2), suy ra \(P=4^{2010}+2^{2014}=\left(4^{2010}-1\right)+\left(2^{2014}+1\right)⋮5\)

 Như vậy \(2|P,5|P\Rightarrow10|P\) (đpcm)

n(2n-3) - 2n(n+1)

= 2n² - 3n - 2n² - 2n

= - 5n

Vậy n(2n-3) - 2n(n+1) chia hết cho 5 với mọi n

Chúc bạn học tốt! Nhớ k mình nha!

n(2n-3)-2n(n+1)

=2n²-3n-2n²-2n

= -5n chia hết cho 5(đpcm)

=8⁸-16⁵

=2²⁴-2²⁰

=2²⁰.[2⁴-1]

=2²⁰​.15 chia hết cho 15

Vậy 8⁸-16⁵ chia hết cho 15

b,

=10⁵-25³

=5⁵.2⁵-5⁶

=5⁵.[2⁵-5]

=5⁵.27 chia hết cho 27

Vậy 10⁵-25³​ chia hết cho 27

a: Đặt A=(n+10)(n+15)

TH1: n=2k

A=(n+10)(n+15)

=(2k+10)(2k+15)

=2(k+5)(2k+15)⋮2(1)

TH2: n=2k+1

A=(n+10)(n+15)

=(2k+1+10)(2k+1+15)

=(2k+11)(2k+16)

=2(k+8)(2k+11)⋮2(2)

Từ (1),(2) suy ra A⋮2

b: Đặt A=n(n+1)(2n+1)

Vì n;n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên n(n+1)⋮2

=>n(n+1)(2n+1)⋮2

=>A⋮2

A=n(n+1)(2n+1)

=n(n+1)(n+2+n-1)

=n(n+1)(n+2)+(n-1)*n*(n+1)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n+1)(n+2)⋮3(1)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\) ⋮3(2)

Từ (1),(2) suy a \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\) ⋮3

=>A⋮3

\(a,\left(n+10\right)\left(n+15\right)\)

Với n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+10\right)\left(n+15\right)=\left(2k+11\right)\left(2k+16\right)=2\left(k+8\right)\left(2k+11\right)⋮2\)

Với n chẵn \(\Rightarrow n=2q\left(q\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+10\right)\left(n+15\right)=\left(2q+10\right)\left(2q+15\right)=2\left(q+5\right)\left(2q+15\right)⋮2\)

Suy ra đpcm

\(b,\) Với n chẵn \(\Rightarrow n=2k\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Với n lẻ \(\Rightarrow n=2q+1\Rightarrow n+1=2q+2=2\left(q+1\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮2\)

Với \(n=3k\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+1\Rightarrow2n+1=6k+3=3\left(2k+1\right)⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3\left(k+1\right)⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮3\)

Suy ra đpcm