a: Xét tứ giác AEHD có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: AEHD là hình chữ nhật

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

BD chung

Do đó; ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)

=>\(\hat{BED}=90^0\)

=>DE⊥BC

ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE
c: AH⊥BC

DE⊥BC

Do đó: AH//DE

d: Ta có: \(\hat{EDC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔEDC vuông tại E)

\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

Do đó: \(\hat{EDC}=\hat{ABC}\)

e: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\hat{ADK}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAK=ΔDEC

=>DK=DC và AK=EC

BA+AK=BK

BE+EC=BC

mà BA=BE và AK=EC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của KC(1)

DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của KC(2)

MK=MC

=>M nằm trên đường trung trực của KC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,D,M thẳng hàng

HC=11cm

Áp dụng Định lý Pythagore cho 2 tam giác vuông ABH,ACH ta có

AB²=AH²+BH²\(\Leftrightarrow\)AH²=8²-4²=48=>AH=4\(\sqrt{3}\)cm

AC²=AH²+CH²\(\Leftrightarrow\)CH²=13²-(4\(\sqrt{3}\))²=121cm=>CH=11cm

Vậy CH=11cm

tam giác ABH vuông tại H ( AH vuong goc BC) \(\Rightarrow\) \(AB^2=BH^2+AH^2\left(pytago\right)\)

tg AHC vuông tại H \(\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2\) 

CÓ \(AB^2+CH^2=BH^2+AH^2+CH^2\) (1)

VÀ \(AC^2+BH^2=AH^2+HC^2+BH^2\) (2)

TỪ (1),(2) \(\Rightarrow\) \(AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)

Hình vẽ

B H C P E A F Q

Bài làm

Câu a)

Có góc APH = 90 độ ( HP vuông góc với AB)

Mà góc APH + góc APE = 180 độ (kề bù)

Suy ra góc APE = APH = 90 độ 

Xét tam giác APE và tam giác APH có

+ PE = PH (gt)

+ góc APE = góc APH = 90 độ (cmt)

+ AP là cạnh chung

Do đó tam giác APE = tam giác APH (c.g.c)

Có góc AQH + góc AQF = 180 độ (kề bù)

Suy ra góc AQH = góc AQF = 90 độ

Xét tam giác AQH và tam giác AQF có

+ QH = QF (gt)

+ góc AQH = góc AQF = 90 độ (cmt)

+ AQ là cạnh chung

Do đó tam giác AQH = tam giác AQF

Câu b)

Gợi ý: Để chứng minh E, A, F thẳng hàng cần phải chứng minh (cách đơn giản nhất) góc EAF là góc bẹt hay nói cách khác là góc EAF = 180 độ

Trong hình có

Vì tam giác AQF = tam giác AQH (cmt)

Nên góc QAF = góc QAH (hai góc tương ứng)

Vì tam giác APE = tam giác APH (cmt)

Nên góc PAE = góc PAH (hai góc tương ứng)

Mà góc PAQ = góc QAH + góc PAH = 90 độ ( AH nằm giữa AP và AQ)

Suy ra góc QAF + góc PAE = 90 độ

 Mà góc EAF = góc EAP + góc BAC + góc QAF

Suy ra góc EAF = 90 độ + góc EAP + góc QAF

Suy ra góc EAF = 90 độ + 90 độ = 180 độ 

Vậy E, A, F thẳng hàng