Xét tứ giác AEDF có 

AE//DF

DE//AF

Do đó: AEDF là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của FE

nên O là trung điểm của AD

=>Khi D di chuyển trên BC thì O là trung điểm của AD

Ta có: ΔABC đều

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^0\)

ΔFDC vuông tại F

=>\(\hat{FDC}+\hat{FCD}=90^0\)

=>\(\hat{FDC}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: \(\hat{EDB}+\hat{EDF}+\hat{FDC}=180^0\)

=>\(\hat{EDF}=180^0-30^0-90^0=60^0\)

Đặt AB=BC=CD=a

BC=3BD

=>\(BD=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3}\)

BD+CD=BC

=>\(CD=a-\frac{a}{3}=\frac23a\)

Xét ΔBDE vuông tại D có tan B=\(\frac{DE}{DB}\)

=>\(DE=DB\cdot\tan B=\frac{a}{3}\cdot\tan60=\frac{a\sqrt3}{3}\)

Xét ΔDFC vuông tại F có sin C=\(\frac{DF}{DC}\)

=>\(DF=DC\cdot\sin60=\frac23a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}\)

=>DE=DF

Xét ΔDEF có DE=DF và \(\hat{EDF}=60^0\)

nên ΔDEF đều

ED//AB

=>\(\hat{EDC}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ECD}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)

=>ED=EC

Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AF//DE

Do đó: AEDF là hình bình hành

=>AF=ED=EC

Chu vi hình bình hành AEDF là:

\(C_{AEDF}=2\cdot\left(AF+AE\right)\)

\(=2\cdot\left(AE+EC\right)=2\cdot AC=2\cdot4=8\)

Lời giải:

$DF\parallel AE, DE\parallel AF$ nên $AEDF$ là hình bình hành

$P_{AEDF}=AE+DF+DE+AF$

Lại có:

$DF\parallel AC$ nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{DF}{AC}=\frac{BF}{AB}$. Mà $AB=AC$ nên $DF=BF$

$DE\parallel AB$ nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{CE}{AC}=\frac{DE}{AB}$ mà $AB=AC$ nên $CE=DE$

Do đó:

$P_{AEDF}=AE+BF+CE+AF=(AE+CE)+(BF+AF)=AC+AB=4+4=8$ (cm)

Hình vẽ:

A B C D E F

Đề sai rồi nhé \(E\varepsilon AB\)! mới đúng