Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh

a3+11a⋮6a3+11a⋮6

Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6

Vậy ta có đpcm.

Lời giải:

Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6

Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n

A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n

Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2

⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3

Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3

Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6

Mà 12n⋮612n⋮6

⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6

Ta có đpcm.

ai cũng có thể giải đươc. Ai nhanh minh k

có : \(n^3-7n=n^3-n-6n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6n\) mà n,n-1,n+1 là  3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6 và 6n chia hết cho 6 nên ta có điều phải chứng minh.

Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên \(n\), ta luôn có \(n^3-n\) chia hết cho 6.

Thật vậy:

\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\).

Vì \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3.

Suy ra \(n^3-n\) chia hết cho 6.

a) Chứng minh tổng các lập phương của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng hai số nguyên đó chia hết cho 6.

Ta có:

\(a^3-a\) chia hết cho 6.

\(b^3-b\) chia hết cho 6.

Suy ra:

\((a^3+b^3)-(a+b)\) chia hết cho 6.

Hay \(a^3+b^3\) và \(a+b\) có cùng số dư khi chia cho 6.

Do đó:

- Nếu \(a^3+b^3\) chia hết cho 6 thì \(a+b\) chia hết cho 6.

- Nếu \(a+b\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3\) chia hết cho 6.

Vậy điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng ba số nguyên đó chia hết cho 6.

Tương tự câu a, ta có:

\(a^3-a\) chia hết cho 6.

\(b^3-b\) chia hết cho 6.

\(c^3-c\) chia hết cho 6.

Cộng ba biểu thức trên, ta được:

\((a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)\) chia hết cho 6.

Hay \(a^3+b^3+c^3\) và \(a+b+c\) có cùng số dư khi chia cho 6.

Do đó:

- Nếu \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6 thì \(a+b+c\) chia hết cho 6.

- Nếu \(a+b+c\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.

Vậy điều phải chứng minh. \(\square\)

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)\)

=a(a-1)(a+1) chia hết cho 3

Gọi a là 1 số nguyên

Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)( vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp.)

そちそらみきみらにそちにきにかなにのくらみきくにいな

Gọi 2 số đó lần lượt là a ; b (a,b \(\inℤ\))

Xét hiệu (a³ + b³) - (a + b) 

= (a³ - a) + (b³ - b)

= a(a² - 1) + b(b² - 1)

= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1)

Vì a ; b \(\inℤ\)=> (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp 

=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 3 , mà (2,3) = 1

=> (a - 1)a(a + 1) \(⋮\)6 

Tương tự (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6

=> (a³ + b³) - (a + b) \(⋮\)6

=> ĐPCM

Lời giải:

Xét biểu thức \(A=n^3-13n\). Ta cần cm \(A\vdots 6\)

Thật vậy: \(A=n^3-13n=n^3-n-12n=n(n^2-1)-12n\)

\(A=n(n-1)(n+1)-12n\)

Vì \(n,n-1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n(n-1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow n(n-1)(n+1)\vdots 3\)

Vì \(n-1,n,n+1\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)

Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: \(n(n-1)(n+1)\vdots 6\)

Mà \(12n\vdots 6\)

\(\Rightarrow A= n(n-1)(n+1)-12n\vdots 6\Leftrightarrow n^3-13n\vdots 6\)

Ta có đpcm.