Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

e: \(\begin{cases}x\left(x+5\right)<4x+2\\ \left(2x-1\right)\left(x+3\right)\ge4x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+5x-4x-2<0\\ 2x^2+6x-x-3-4x\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+x-2<0\\ 2x^2+x-3\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(x+2\right)\left(x-1\right)<0\\ 2x^2+3x-2x-3\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-2

=>-2<x<=-1

f: ĐKXĐ: x∉{1;4;2;5}

Ta có: \(\frac{1}{x^2-5x+4}\le\frac{1}{x^2-7x+10}\)

=>\(\frac{1}{x^2-5x+4}-\frac{1}{x^2-7x+10}\le0\)

=>\(\frac{x^2-7x+10-x^2+5x-4}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)}\le0\)

=>\(\frac{-2x+6}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)}\le0\)

=>\(\frac{x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)}\ge0\)

Đặt \(A=\frac{x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)}\)

Đặt x-3=0

=>x=3

Đặt x-1=0

=>x=1

Đặt x-2=0

=>x=2

Đặt x-4=0

=>x=4

Đặt x-5=0

=>x=5

Bảng xét dấu:

Theo bãng xét dấu, ta có: A>=0 khi 1<x<2; 3<=x<4; x>5

.

Bài 1:

b: ĐKXĐ: x∈R

\(x^2-x-\sqrt{x^2-x+13}=7\)

=>\(x^2-x-\sqrt{x^2-x+13}-7=0\)

=>\(x^2-x+13-\sqrt{x^2-x+13}-20=0\)

=>\(\left(\sqrt{x^2-x+13}-5\right)\left(\sqrt{x^2-x+13}+4\right)=0\)

=>\(\sqrt{x^2-x+13}-5=0\)

=>\(\sqrt{x^2-x+13}=5\)

=>\(x^2-x+13=25\)

=>\(x^2-x-12=0\)

=>(x-4)(x+3)=0

=>x=4(nhận) hoặc x=-3(nhận)

c: ĐKXĐ: \(x^2-3x+1\ge0\)

=>\(x^2-3x+\frac94-\frac54\ge0\)

=>\(\left(x-\frac32\right)^2\ge\frac54\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-\frac32\ge\frac{\sqrt5}{2}\\ x-\frac32\le-\frac{\sqrt5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x\ge\frac{3+\sqrt5}{2}\\ x\le\frac{3-\sqrt5}{2}\end{array}\right.\)

\(x^2+2\cdot\sqrt{x^2-3x+1}=3x+4\)

=>\(x^2-3x-4+2\cdot\sqrt{x^2-3x+1}=0\)

=>\(x^2-3x+1+2\cdot\sqrt{x^2-3x+1}-5=0\)

=>\(\left(\sqrt{x^2-3x+1}+1\right)^2=6\)

=>\(\sqrt{x^2-3x+1}+1=\sqrt6\)

=>\(\sqrt{x^2-3x+1}=\sqrt6-1\)

=>\(x^2-3x+1=7-2\sqrt6\)

=>\(x^2-3x-6+2\sqrt6=0\) (1)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6+2\sqrt6\right)=9+24-8\sqrt6=33-8\sqrt6\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{33-8\sqrt6}}{2\cdot1}=\frac{3-\sqrt{33-8\sqrt6}}{2}\left(nhận\right)\\ x=\frac{3+\sqrt{33-8\sqrt6}}{2}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

e: ĐKXĐ: x(x+2)>=0

=>x>=0 hoặc x<=-2

\(\sqrt{x^2+2x}=-2x^2-4x+3\)

=>\(2x^2+4x+\sqrt{x^2+2x}-3=0\)

=>\(2\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}\right)^2+\sqrt{x^2+2x}-3=0\)

=>\(\left(2\sqrt{x^2+2x}+3\right)\left(\sqrt{x^2+2x}-1\right)=0\)

=>\(\sqrt{x^2+2x}-1=0\)

=>\(x^2+2x=1\)

=>\(x^2+2x+1=2\)

=>\(\left(x+1\right)^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1=\sqrt2\\ x+1=-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\sqrt2-1\left(nhận\right)\\ x=-\sqrt2-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

a) \(\sqrt{7+\sqrt{2x}=3+\sqrt{5}}\)   (x≥0) Đặt \(\sqrt{2x}\) = a ( a>0 )

Khi đó pt :

<=> 7+a =3 + \(\sqrt{5}\)

<=> 4+a = \(\sqrt{5}\)

<=> (4+a)\(^2\) = 5

<=> 16 + 8a + a\(^2\) = 5

<=>a\(^2\) + 8a+ 11 = 0

<=> a = -4 + \(\sqrt{5}\) (Loại) và a = -4-\(\sqrt{5}\)(Loại) 

Vậy Pt vô nghiệm.

b) \(\sqrt{3x^2-4x}\) = 2x-3

<=> 3x\(^2\)- 4x = 4x\(^2\)-12x + 9 

<=> x\(^2\)-8x+9 = 0

<=> x=1 , x=9 

Vậy S={1;9} 

c\(\dfrac{\left(7-x\right)\sqrt{7-x}+\left(x-5\right)\sqrt{x-5}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}}\) = 2

<=> \(\dfrac{\left(\sqrt{7-x}\right)^3+\left(\sqrt{x-5}\right)^3}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}}=2\)

<=> \(\dfrac{\left(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\right)\left(7-x-\sqrt{\left(7-x\right)\left(x-5\right)}+x-5\right)}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}}=2\)

<=> \(\sqrt{\left(7-x\right)\left(x-5\right)}=0\)

<=> x=7,x=5

Vậy x=5 hoặc x=7

Bài 1:

Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\) hpt thành:

\(\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S+P=9\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S=9-P\end{cases}}\Leftrightarrow\left(9-P\right)^2-P=3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P=6\Rightarrow S=3\\P=13\Rightarrow S=-4\end{cases}}\).Thay 2 trường hợp S và P vào ta tìm dc

\(\hept{\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}}\)

Câu 3: ĐK: \(x\ge0\)

Ta thấy \(x-\sqrt{x-1}=0\Rightarrow x=\sqrt{x-1}\Rightarrow x^2-x+1=0\) (Vô lý), vì thế \(x-\sqrt{x-1}\ne0.\)

Khi đó \(pt\Leftrightarrow\frac{3\left[x^2-\left(x-1\right)\right]}{x+\sqrt{x-1}}=x+\sqrt{x-1}\Rightarrow3\left(x-\sqrt{x-1}\right)=x+\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow2x-4\sqrt{x-1}=0\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\Rightarrow x=t^2+1\Rightarrow2\left(t^2+1\right)-4t=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=2\left(tm\right)\)

Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)

\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)