Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

Bài 1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(1=(a^2+b^2)(m^2+n^2)\geq (am+bn)^2\Rightarrow -1\leq am+bn\leq 1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}\) . Kết hợp với \(a^2+b^2=m^2+n^2=1\)

\(\Rightarrow \) dấu bằng xảy ra khi \(a=\pm m;b=\pm n\)

Bài 2)

Ta thấy:

\((ac-bd)^2\geq 0\Rightarrow a^2c^2+b^2d^2\geq 2abcd\Rightarrow (ac+bd)^2\geq 4abcd\)

\(\Leftrightarrow 4\geq 4cd\rightarrow cd\leq 1\Rightarrow 1-cd\geq 0\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(ac=bd=\pm 1\) và \(cd=1\) ....

Bài 3)

Vế đầu:

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

Nhân $2$ và chuyển vế \(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng nên BĐT đầu tiên cũng đúng.

Vế sau:

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó BĐT sau cũng luôn đúng với mọi số thực $a,b,c$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+n^2=1\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(m^2+n^2\right)=\left(am\right)^2+\left(an\right)^2+\left(bm\right)^2+\left(bn\right)^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left[\left(ambn-\left(an\right)^2\right)+\left(ambn-\left(bm\right)^2\right)\right]=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left[an\left(bm-an\right)\right]+\left[bm\left(an-bm\right)\right]=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left(bm-an\right)\left(an-bm\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left(an-bm\right)^2=1\\ \)

\(\left(an-bm\right)^2\ge0\forall_{a,b,m,n}\Rightarrow\left(am+bn\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow-1\le\left(am+bn\right)\le1\Rightarrow dpcm\)

BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?

Nếu có thì bn xem nhé!

Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn

Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!

1

Gọi d = ƯCLN(2n + 5; 3n + 7) (với d ∈N^*)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+5⋮d\\3n+7⋮d\end{cases}}\)                       \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+5\right)⋮d\\2\left(3n+7\right)⋮d\end{cases}}\)       \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+15⋮d\\6n+14⋮d\end{cases}}\)

\(\text{⇒ (6n + 15) – (6n + 14) ⋮ d}\)

\(\text{⇒1 ⋮d}\)

\(\text{⇒d = 1}\)

Do đó: \(\text{ƯCLN(2n + 5; 3n + 7) = 1}\)

Vậy hai số \(\text{2n + 5 và 3n +7 }\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(M=1+3+3^2+...+3^{100}\)

\(\Leftrightarrow M=1+3+\left(3^2+3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=4+3^2+\left(1+3+3^2\right)+3^5+\left(1+3+3^2\right)+...+3^{98}\left(1+3+3^2\right)\)

\(\Leftrightarrow M=4+3^2.13+3^5.13+...+3^{98}.13\)

\(\Leftrightarrow M=4+13\left(3^2+3^5+...+3^{98}\right)\)

mà \(13\left(3^2+3^5+...+3^{98}\right)⋮13\)

\(4:13\left(dư4\right)\)

\(\Leftrightarrow M:13\left(dư4\right)\)

   a. Vì hai số tự nhiên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 2 nên tích bất kì hai số tự nhiên liên tiếp nào cũng chia hết cho 2.

   b. Ví dụ n = số chẵn ( 2 )

2² + 2 + 1 = 7 ko chia hết cho 2 và 2 ( n )

     Ví dụ n = số lẻ ( 7 )

7² + 7 + 1 = 57 ko chia hết cho 2 và 7

Vậy nên A = n² + n + 1 ko chia hết cho 2 và n

a/ Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp là tích của 1 số lẻ với 1 số chẵn nên có kết quả là chẵn => chia hết cho 2

b/

+ Nếu N lẻ => N² lẻ => N²+N chẵn => N²+N+1 lẻ => không chia hết cho 2

+ \(\frac{N^2+N+1}{N}=N+1+\frac{1}{N}\left(N\ne0\right)\)

A không chia hết cho N trừ \(N=\pm1\)