\(x^2+4x+12\) là số chính phương

=>\(x^2+4x+12=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(x^2+4x+4-k^2=-8\)

=>\(\left(x+2\right)^2-k^2=-8\)

=>(x+2-k)(x+2+k)=-8

=>(x+2-k;x+2+k)∈{(1;-8);(-8;1);(-1;8);(8;-1);(2;-4);(-4;2);(-2;4);(4;-2)}

TH1: x+2-k=1 và x+2+k=-8

=>x+2-k+x+2+k=1-8

=>2x+4=-7

=>2x=-11

=>\(x=-\frac{11}{2}\) (loại)

TH2: x+2-k=-8 và x+2+k=1

=>x+2-k+x+2+k=1-8

=>2x+4=-7

=>2x=-11

=>\(x=-\frac{11}{2}\) (loại)

TH3: x+2-k=-1 và x+2+k=8

=>x+2-k+x+2+k=-1+8

=>2x+4=7

=>2x=3

=>\(x=\frac32\) (loại)

TH4: x+2-k=8 và x+2+k=-1

=>x+2-k+x+2+k=-1+8

=>2x+4=7

=>2x=3

=>\(x=\frac32\) (loại)

TH5: x+2-k=2 và x+2+k=-4

=>x+2-k+x+2+k=2-4

=>2x+4=-2

=>2x=-6

=>x=-3(nhận)

TH6: x+2-k=-4 và x+2+k=2

=>x+2-k+x+2+k=2-4

=>2x+4=-2

=>2x=-6

=>x=-3(nhận)

TH7: x+2-k=-2 và x+2+k=4

=>x+2-k+x+2+k=-2+4

=>2x+4=2

=>2x=-2

=>x=-1(nhận)

TH8: x+2-k=4 và x+2+k=-2

=>x+2-k+x+2+k=-2+4

=>2x+4=2

=>2x=-2

=>x=-1(nhận)

Ta có: \(n^4+n^3+n^2=n^2\left(n^2+n+1\right)\)

Theo đề ra thì \(n^2\left(n^2+n+1\right)\) mà \(n^2\)là một số chính phương \(\Rightarrow n^2+n+1\)là 1 số chính phương.

Gọi \(n^2+n+1=k^2\) =>\(4n^2+4n+1+3\)= \(4k^2\)

=> \(\left(2n+1\right)^2+3=4k^2\) => \(\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow2k-2n-1;2k+2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{3;1;-3;-1\right\}\)Và \(2k-2n-1;2k+2n+1\)phải đồng âm hoặc đồng dương,

Ta có bảng sau: 

Vậy n thỏa mãn đề bài là n=0 hoặc n=-1

\(n+1995=a^2,n+2014=b^2\)

Trừ vế theo vế ta được: 

\(b^2-a^2=59\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=59\)

Do \(59\)là số nguyên tố và \(b>a\)nên ta chỉ có một trường hợp: 

\(\hept{\begin{cases}b-a=1\\b+a=59\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=30\\a=29\end{cases}}\)

Khi đó \(n=-1114\).