Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.BC=BH\left(BH+CH\right)\)

\(\Leftrightarrow36=BH\left(BH+6,4\right)\)

\(\Leftrightarrow BH^2+6,4BH-36=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BH=3,6\\BH=-10\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=10\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)

Xét ΔAHC có

I là trung điểm của AH

N là trung điểm của AC

DO đó: IN là đường trung bình của ΔAHC

Suy ra: \(IH=3cm\)

Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H ta có : 

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{36-\left(4,8\right)^2}=\frac{18}{5}\)cm 

Xét tam giác AHB và tam giác CHA ta có : 

^AHB = ^CHA = 90⁰

^BAH = ^HCA (cùng phụ ^HAC)

Vậy tam giác AHB ~ tam giác CHA ( g.g ) 

\(\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}\Rightarrow AH^2=HB.HC\)

\(\Rightarrow HC=\frac{AH^2}{HB}=\frac{\left(4,8\right)^2}{\frac{18}{5}}=\frac{32}{5}\)cm 

=> \(BC=HC+HB=\frac{18}{5}+\frac{32}{5}=10\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{100-36}=8\)cm 

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

Câu 4:

1: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

2: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

XétΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=AM\cdot AN=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{4.8^3}{10}\) ≃11,06\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Bài 3:

1: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{\left(4a\right)^2}{2a}=\frac{16a^2}{2a}=8a\)

2: Xét ΔHAB vuông tại H có tan B=\(\frac{AH}{HB}=\frac{4a}{2a}=2\)